回归正交试验设计

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1、8回归正交试验设计前面介绍的正交试验设计是一一种很实用的试验设计方法，它能利用较少的试验次数获得较好的试验结果，但是通过正交设计所得到的优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定试验范围内的最优方案；回归分析是一种有效的数据处理方法，通过所确立的回归方程，可以对试验结果进行预测和优化，但回归分析往往只能对试验数据进行被动的处理和分析，不涉及对试验设计的要求。如果能将两者的优势统一起来，不仅有合理的试验设计和较少的试验次数，还能建立有效的数学模型，这正是我们所期望的。回归正交设计(orthogonalregressiondesign)就是这样一种试验设计方法，它可以在因素的试验范围内选择适当的试验

2、点，用较少的试验建立一个精度高、统计性质好的回归方程，并能解决试验优化问题。8.1一次回归正交试验设计及结果分析(y)与m个试验因素xi,X2,xm.一次回归正交设计就是利用回归正交设计原理，建立试验指标之间的一元回归方程:或者abiX-!b?X2LbmXm(8-1)m$abjXjbqXkXjj1kjk=1,2,，m-1(jT(8-2)8.1.1一次回归正交设计的基本方法(1)确定因素的变化范围根据试验指标y，选择需要考察的因素Xj的变化范围为Xj1,Xj2，分别称因素Xj的零水平，用Xj0。表示。m个因素Xj(j=1,2,，m),并确定每个因素的取值范围。设Xj1和Xj2为因素Xj的下水平和

3、上水平，并将它们的算术平均值称作X1jX2jXj0V(8-3)上水平与零水平之差称为因素Xj的变化间距，用j表示，即:jXj2Xj0Xj2Xj1(8-4)(8-5)(2) 因素水平的编码编码(coding)是将Xj的各水平进行线性变换，即:(8-6)XjXj0ZjJ式(86)中zj就是因素Xj的编码，两者是一一对应的。显然，与Xj1,Xjo和Xj2的编码分别为一1,0和1,即Zj1=-1,Zj2=0,Zj2=1。一般称Xj为自然变量，Z为规范变量。因素水平的编码结果可表示成表81。对因素Xj的各水平进行编码的目的，是为了使每个因素的每个水平在编码空间是平等”的，即规范变量Zj的取值范围都在1,

4、-1内变化，不会受到自然变量Xj的单位和取值大小的影响。所以编码能将试验结果y与因素Zj(J=1,2,，m)各水平之间的回归问题，转换成试验结果y与编码值zj之间的回归问题，从而大大简化了回归计算量。表81因素水平编码表规范变量Zj自然变量XjX1X2Xm下水平(1)X11X21Xm1上水平(1)X12X22Xm2零水平(0)X10X20Xm0变化间距12m(3) 次回归正交设计表将二水平的正交表中“2”用“一1”代换，就可以得到一次回归正交设计表。例如正交表L8(27)经过变换后得到的回归正交设计表如表82。表82一次回归正交设计表试验号列号l23456711111ll121l1111131

5、11111l411111115111l1116111111171lll11181111ll1代换后，正交表中的编码不仅表示因素的不同水平，也表示了因素水平数值上的大小。从表82可以看出回归正交设计表具有如下特点： 任一列编码的和为0,即：nZji0(87)i1所以有召0,j1,2丄，m(88) 任两列编码的乘积之和等于零，即：nzjizki0,k1,2,Lm1(jk)(89)i1这些特点说明了转换之后的正交表同样具有正交性，可使回归计算大大简化。(4) 试验方案的确定与正交试验设计类似，在确定试验方案之前，要将规范变量zj安排在一元回归正交表相应的列中，即表头设计。例如，需考察三个因素X1、X

6、2、X3，可选用L8(27)进行试验设计，根据正交表L8(27)的表头设计表，应将X1、X2、X3分别安排在第1、2和4列，也就是将zl,Z2,Z3安排在表82的第1、2和4列上。如果还要考虑交互作用X1X2、X1X3，也可参考正交表L8(27)的交互作用表，将ZIZ2和Z2z3,分别安排在表82的第3、5列上，表头设计结果见表83。每号试验的方案由Zl,Z2,Z3Z对应的水平确定，这与正交试验是一致的。表8-3三因素一次回归正交表试验号12345Z1Z2Z1Z2Z3Z1Z311111121111131111l4111115111116111117l111l8l1111900000100000

7、O从表83可以看出，第3列的编码等于第1,2列编码的乘积，同样第5列的编码等于第1,4列编码的乘积，即交互作用列的编码等于表中对应两因素列编码的乘积，所以用回归正交表安排交互作用时，可以不参考正交表的交互作用表，直接根据这一规律写出交互作用列的编码，这比原正交表的使用更方便。表8-3中的第9,10号试验称为零水平试验或中心试验。安排零水平试验的目的是为了进行更精确的统计分析（如回归方程的失拟检验等），得到精度较高的回归方程。当然，如果不考虑失拟检验，也可不安排零水平试验。8.1.2次回归方程的建立建立回归方程，关键是确定回归系数。设总试验次数为定的试验）和mo次零水平试验，即：nmcmon，其

8、中包括me次二水平试验（原正交表所规（810）如果试验结果为yi（i=1,2，n），根据最小二乘法原理和回归正交表的两个特点，可以得到一次回归方程系数的计算公式如下（证明略）:Yiy(811)nZjiYibju，j1,2丄,mmc(812)nZkZjiYii1mck，k1,2,L,m1(813)上述式中，Zji表示Zi列各水平的编码,（ZjZk）i表示ZjZk列各水平的编码。需要指出的是，如果一次回归方程中含有交互作用项ZjZk（jk），则回归方程不是线性的，但交互作用项的回归系数的计算和检验与线性项Zj是相同的，这是因为交互作用对试验结果也有影响，可以被看作是影响因素。通过上述方法确定偏回归

9、系数之后，可以直接根据它们绝对值的大小来判断各因素和交互作用的相对重要性，而不用转换成标准回归系数。这是因为，在回归正交设计中，所有因素的水平都经过了无因次的编码变换，它们在所研究的范围内都是“平等的”，因而所求得的回归系数不受因素的单位和取值的影响,直接反映了该因素作用的大小。另外，回归系数的符号反映了因素对试验指标影响的正负。8.1.3回归方程及偏回归系数的方差分析(1)无零水平试验时首先计算各种平方和及自由度。总平方和为:SSLyyni1yi(814)其自由度为dfTn1。根据式(444)和式(812),推导出一次项偏回归平方和的计算公式为：Rsq/sst(444)2SSjmRj,j1,

10、2,L,m(815)同理可以得到交互项偏回归平方和的计算公式：SSjmXj,jk,k1,2,L,m1(816)各种偏回归平方和的自由度都为1。一次项偏回归平方和与交互项偏回归平方和的总和就是回归平方和：SESS次项SS互项(817)所以回归平方和的自由度也是各偏回归平方和的自由度之和：dfRdf一次项df交互项(818)于是残差平方和为：SSSrSSr(819)其自由度为：dfedfTdfR(820)如果考虑了所有的一次项和交互项，则可参照表84进行方差分析。表8-4一次回归正交设计的方差分析差异源111111回归残差总和在实际做试验时，往往只需要考虑几个交互作用，或者可以不考虑交互作用，所以

11、在计算回归和残差自由度时应与实际情况相符。如果不考虑交互作用,dfRm，dfenm1。值得注意的是，无论是否考虑交互作用，都不影响偏回归系数的计算公式。经偏回归系数显著性检验，证明对试验结果影响不显著的因素或交互作用，可将其从回归方程中剔除,而不会影响到其他回归系数的值，也不需要重新建立回归方程。但应对回归方程再次进行检验，将被剔除变量的偏回归平方和、自由度并入到残差平方和与自由度中，然后再进行相关的分析计算。(2)有零水平试验时如果零水平试验的次数mo2，则可以进行回归方程的失拟性(lackoffit)检验。前面对回归方程进行的显著性检验，只能说明相对于残差平方和而言，各因素对试验结果的影响

12、是否显著。即使所建立的回归方程是显著的，也只反映了回归方程在试验点上与试验结果拟合得较好，不能说明在整个研究范围内回归mo(mo方程都能与实测值有好的拟合。为了检验一次回归方程在整个研究范围内的拟合情况，则应安排2)次零水平试验，进行回归方程的失拟性检验，或称拟合度检验(testofgoodnessoffit)。设mo次零水平试验结果为yo1,yo2，yomo,根据这mo次重复试验，可以计算出重复试验误差为:验不显著时，才能说明所建立的回归方程是拟合得很好的。m。SS1y0ii1mo2yoi1momoyoii1(821)试验误差对应的自由度为:dfe1mo1(822)由前述知，只有回归系数a与

13、零水平试验次数mo有关，其他各偏回归系数都只与二水平试验次数mo有关，所以增加零水平试验后回归平方和SSR没有变化，于是定义失拟平方和为:SSLfSStSSrSSe1(823)SSLfSSeSS51(824)可见，失拟平方和表示了回归方程未能拟合的部分，包括未考虑的其他因素及各异。它对应的自由度为：Xj的咼次项等所引起的差dfLfdfedfe1(825)所以有：SSrSSRSSeSSrSS_fSSe1(826)dfydfRdfedfRdfLfdfe1(827)这时FSSLfdfLfLfSS1dfe1(828)服从自由度为(dfLf,dfe1)的F分布。对于给定的显著性水平a(般取o.1)，当F

14、LfFdfLf,dfe2时,就认为回归方程失拟不显著，失拟平方和SSLf是由随机误差造成的，否则说明所建立的回归方程拟合得不好，需要进一步改进回归模型，如引入别的因素或建立更高次的回归方程。只有当回归方程显著、失拟检最后需要指出的是，回归正交试验得到的回归方程是规范变量与试验指标之间的关系式，还应对回归方程的编码值进行回代，得到自然变量与试验指标的回归关系式。【例8-1】用石墨炉原子吸收分光光度计法测定食品中的铅，为提高测定灵敏度，希望吸光度(y)大。为提高吸光度，讨论了xi(灰化温度/C)、X2(原子化温度/C)和X3(灯电流/mA)三个因素对吸光度的影响，并考虑交互作用X12,xi3。已知

15、xi=300700C,X2=18002400C,X3=810mA。试通过回归正交试验确定吸光度与三个因素之间的函数关系式。解：(1)因素水平编码因X1=300700C,所以其上水平X12=700,下水平X11=300,零水平x11x12300700X1011咚500，变化间距1X12X10700500200，以xh=300为例，对应22的编码z11300X03005001。同理可对其他因素水平进行编码，编码结果见表8-5。1200表85例81因素水平编码表编码Zj灰化温度XI/C原子化温度X2/C灯电流X3/mA上水平(1)700240010下水平(1)30018008零水平(0)500210

16、09变化间距2003001(2)正交表的选择和试验方案的确定依题意，可以选用正父表L8(27)，经编码转换后，得到表82所示的回归正交表。如表86所示，将乙、Z2、Z3分别安排在第1,2和4列，则第3列和第5列分别为交互作用Z1Z2、Z2Z3；列。不进行零水平试验，故总试验次数n=8，试验结果也列在表86中(注：本例的试验方案和试验结果与例6-5是完全一样的)。表8-6例81三元一次回归正交设计试验方案及试验结果试验号Z1Z2Z1Z2Z3Z1Z3灰化温度XI/C原子化温度X2/C灯电流X3/mA吸光度yi1111I17002400100.55221I1I1700240080.55431II11

17、7001800100.4804111II700180080.4725111113002400100.516611I1I300240080.5327I-11113001800100.44881-1111300180080.484(3)回归方程的建立依题意，m0=0,n=me=&根据回归系数的计算公式，将有关计算列在表87中。表87例81三元一次回归正交设计计算表试验号Z1Z2Z1Z2Z3Z1Z3yy2Z1yZ2yZ3y(z1Z2)y(z1Z3)y123456781I1I1111111I1111111111111111111111111I110.5520.5540.4800.4720.5160.5

18、320.4480.4840.3047040.3069160.2304000.222784O.266256O.2830240.2007040.2342560.5520.5540.4800.4720.5160.5320.4480.4840.5520.554O.4800.4720.5160.5320.4480.4840.5520.5540.4800.4720.5160.5320.4480.4840.5520.5540.4800.4720.5160.5320.4480.4840.5520.5540.4800.4720.5160.5320.4480.484刀4.0382.0490440.0780.270

19、0.0460.0380.058由表8-7得:所以回归方程为由该回归方程中偏回归系数绝对值的大小，可以得到各因素和交互作用的主次顺序为：X2XIX1X3X3X1X2，这与例65中正交试验的分析结果是一样的。(4)方差分析方差分析结果见表8&由表88,对于显著性水平=0.05，只有因素z2对试验指标y有非常显著的影响，其他因素和交互作用对试验指标都无显著影响，所以应将Z1,Z3,ZIZ3,ZIZ2的平方和及自由度并入残差项，然后再进行方差分析。这时的方差分析为一元方差分析，分析结果见表89。表88例81方差分析表差异源SSdfMSF显著性Z10.00076I10.00076112.27Z20.00

20、9113I0.009113146.98*Z30.00026510.0002654.27Z1Z30.000I8I10.00018I2.92ZIZ20.00042110.0004216.79回归0.01074150.00214834.65残差e0.00012320.000062*总和0.010864n1=7注：F0.05(1,2)=18.51,F0.01(1,2)=98.49,F。(5,2)=19.30,Foe(5,2)=99.30表89例81第二次方差分析表差异源SSdfMSF显著性回归(Z2)0.009113I0.00911331.21*残差e0.00175160.000292总和0.0108

21、64n1=7注：F0.05(1,6)=5.99,F0.01(1,6)=13.74由表89可知，因素Z2对试验指标y有非常显著的影响，因此原回归方程可以简化为：可见，只有原子化温度Z2对吸光度有显著影响，两者之间存在显著的线性关系，而且原子化温度取上水平时试验结果最好。根据编码公式z2X2X202100，将上述线性回归方程进行回代:300整理后得到:【例82】从某种植物中提取黄酮类物质，为了对提取工艺进行优化，选取三个相对重要的因素:乙醇浓度（xi）、液固比（X2）和回流次数（X3）进行了回归正交试验，不考虑交互作用。已知xi=60%80%,X2=812,X3=13次。试通过回归正交试验确定黄酮

22、提取率与三个因素之间的函数关系式。解：（1）因素水平编码及试验方案的确定表8-10例8-2因素水平编码表编码Zj乙醇浓度/%液固比回流次数16081070102180123j1021由于不考虑交互作用，所以本例要求建立一个三元线性方程。因素水平编码如表8-10所示。选正交表L8（27）安排试验，将三个因素分别安排在回归正交表的第1、2、4列，试验方案及试验结果见表8-11,表中的第9、10、11号试验为零水平试验。表8-11例8-2试验方案及试验结果试验号Z1z2z3乙醇浓度/%液固比回流次数提取率y/%1111801238.02111801217.3311180836.94l1l808l6.

23、45111601236.96111601216.5711l60836.0811160815.19000701026.610000701026.511000701026.6回归方程的建立将有关计算过程列在表812中。表812例82试验结果及计算表试验号Z1Z2Z3提取率y/%y2Z1yZ2yZ3y11118.064.008.08.08.021117.353.297.37.37.33l116.947.616.96.96.941116.440.966.46.46.451116.947.616.96.96.961116.542.256.56.56.571116.036.006.06.06.081115

24、.126.015.15.15.190006.643.560.00.00.0100006.542.250.00.00.0110006.643.560.00.00.0刀72.8487.14.14.32.5由表812计算回归方程为由该回归方程偏回归系数绝对值的大小，可以得到各因素的主次顺序为：X2X1X3,即液固比乙醇浓度回流次数。又由于各偏回归系数都为正，所以这些影响因素取上水平时，试验指标最好。(3)回归方程显著性检验有关平方和的计算如下：方差分析结果见表813。差异源SSdfMSF显著性Z12.10112.101142.9*Z22.31112.311157.2*Z30.78110.78153.

25、1*回归5.19331.731117.8*残差0.10370.0147总和5.296n-1=10表8-13例8-2方差分析表注：Fo.oi(1,7)=12.25,Fo.oi(3,7)=8.45可见，三个因素对试验指标都有非常显著的影响，所建立的回归方程也非常显著。(4)失拟性检验本例中，零水平试验次数mo=3，可以进行失拟性检验，有关计算如下。检验结果表明，失拟不显著，回归模型与实际情况拟合得很好。根据编码公式：Z1X11070,Z2X2210,Z3X312X321021(5)回归方程的回代代人上述回归方程得:整理后得到：8.2二次回归正交组合设计在实际生产和科学试验中，试验指标与试验因素之间

26、的关系往往不宜用一次回归方程来描述，所以当所建立的一元回归方程经检验不显著时，就需用二次或更高次方程来拟合。8.2.1二次回归正交组合设计表组合设计试验方案的确定假设有m个试验因素(自变量)Zj(j=1,2，m),试验指标为因变量为：y,则二次回归方程的一般形式mm$abkjXkXjbjjX：,k1,2,Lm1jkj1j1其中，a,bj,bkj,bjj为回归系数，可以看出该方程共有1mmm1/2m项，要使回归系数的估算成为可能，必要条件为试验次数同时,为了计算出二次回归方程的系数，每个因素至少要取3个水平，所以用一元回归正交设计的方法来安排试验，往往不能满足这一条件。例如，当因素数m=3时，二

27、次回归方程的项数为10,要求试验次数n10,如果用正交表L9（34）安排试验，则试验次数不符合要求，如果进行全面试验，则试验次数为33=27次，试验次数又偏多。为解决这一矛盾，可以在一次回归正交试验设计的基础上再增加一些特定的试验点，通过适当的组合形成试验方案，即所谓的组合设计。例如，设有两个因素xi和X2,试验指标为y,则它们之间的二次回归方程为：$ab2x2b）2x1x2gx；（830）该方程共有6个回归系数，所以要求试验次数n6,而二水平全面试验的次数为22=4次，显然不能满足要求，于是在此基础上再增加5次试验，试验方案如表814和图81所示。表814二元二次回归正交组合设计试验方案试验

28、号Z1Z2Z3说明l11y121ly2二水平3l1y3试验411y45Y0y56Y0y6星号试验70Yy780Yy8900y9零水平试验可见，正交组合设计由三类试验点组成，即二水平试验、星号试验和零水平试验。二水平试验是一次回归正交试验设计中的试验点，设二水平试验的次数为me,若为全面试验（全实施）,则me=2m,若根据正交表只进行部分二水平试验（1/2或1/4实施），这时me=2m-1或me=2m-2，对于二元二次回归正交组合设计，mc=22=4。由图81可以看出，58号试验点都在坐标轴上，用星号表示，所以被称作星号试验，它们与原点仲心点）的距离都为y,称作星号臂或轴臂。星号试验次数为mY与

29、试验因素数m有关，即m尸2m,对于二元二次回归正交组合设计，口丫=2X2=4。零水平试验点位于图81的中心点（原点），即各因素水平编码都为零时的试验，该试验可只做一次，也可重复多次，零水平试验次数记为mo。所以，二次回归正交组合设计的总试验次数为：nme2mm0(831)类似的，如果有三个因素xi,X2和X3,则它们与试验指标y的三元二次回归方程为:yab1x10X2b3x3b12x1x2b13x1x3b23x2x3b11x1b22x2b33x3(832)815和图82。三元二次回归正交组合设计的试验方案见表表815三元二次回归正交组合设计试验方案试验号Z1Z2Z3y1111y1211ly23

30、111y34111y45111y5二水平全面试验，mc=23=86I11y6711I屮8111y89Y00y9星号试验，m7=2X3=610Y00y101I0Y0y11120Y0y121300Yy131400Yy1415000y15零水平试验，m0=1如果将两因素的交互项和二次项列入组合设计表中，则可得到表816和表817。其中交互列和二次项列中的编码可直接由Zi和Z2写出。例如，交互列ZIZ2的编码是对应Z1和Z2的乘积，而zi2的编码则是Z1列编码的平方。星号臂长度与二次项的中心化由表816和表817可以看出，增加了星号试验和零水平试验之后，二次项失去了正交性，即该列编码的和不为零，与其他

31、任一列编码的乘积和也不为零。为了使表816和表817具有正交性，就应该确定合适的星号臂长度，并对二次项进行中心化处理。表816二元二次回归正交组合设计试验号Z1Z2Z1Z2Z12Z221111112I11113111114111115Y002Y06Y002Y070Y002Y80Y002Y900000表817三元二次回归正交组合设计试验号Z1Z2Z3ZlZ2Z1Z3Z2Z3Z12Z22Z32111l111111211111111131111111114111l1111l511111111l6111111111711111111181111111119Y000002Y0010Y000002Y001

32、10Y000002Y012OY000002Y01300Y000O02Y1400-Y000002Y1500O000000星号臂长度丫的确定(833)根据正交性的要求见式(8-7)和式(8-9)，可以推导出星号臂长度丁必须满足如下关系式(证明略):可见，星号臂长度丫与因素数m,零水平试验次数mo及二水平试验数mc有关。为了设计方便，将上述公式计算出来的一些常用的丫值列于表818。表8-18二次回归正交组合设计y值表m0因素数m234(1/2实施)45(1/2实施)511.0001.2151.3531.4141.5471.59621.0781.2871.4141.4831.6071.66231.14

33、71.3531.4711.5471.6641.72441.2101.4141.5251.6071.7191.78451.2671.4711.5751.6641.7711.84161.3201.5251.6231.7191.8201.89671.3691.5751.6681.7711.8681.94981.4141.6231.711L8201.9142.00091.4571.6681.7521.8681.9582.049101.4981.7工11.7921.9142.0002.097根据表8-18可知，对于二元二次回归正交组合设计，当零水平试验次数m=1时，丫=1。(2)二次项的中心化1,2,L

34、,mj；i1,2,L,n，其对应的编码用z：表示，可2设二次回归方程中的二次项为Zji以用下式对二次项的每个编码进行中心化处理:/212ZjiZjiZjini1(834)/2/式中，Zji是中心化之后的编码。这样组合设计表中的Zj列就可变为Zj列。表8-19是二次项中心化之后的二元二次回归正交组合设计编码表。表8-9二元二次回归正交组合设计编码表试验号Z1Z2Z1Z2Z12Z22Z1/Z2/1111111/31/321-1-1111/31/33-11-1111/31/34-1-11111/31/35100101/32/36-100101/32/37010012/31/380-10012/31/

35、39000002/32/3|6-9O2百Z11-92仃Z7/KTZ1i12Z116，所以有z1/192Zli表819中后两列是根据公式(834)计算得到的，以zi2列的中心化为例，该列的和对于三元二次回归正交组合设计，可用同样的方法得到具有正交性的组合设计编码表，见表20。表8-20三元二次回归正交组合设计编码表试验号Z1Z2Z3Z1Z2Z1Z3Z2Z3Z1/Z2/Z11111110.2700.2700.27021111110.2700.2700.27031111110.2700.2700.27041111110.2700.2700.27051111110.2700.2700.27061111

36、110.2700.2700.27071111110.2700.2700.27081l11l10.2700.2700.27091.215000000.7470.7300.730101.215000000.7470.7300.7301101.21500000.7300.7470.7301201.21500000.7300.7470.73013001.2150000.7300.7300.74714001.2150000.7300.7300.747150000000.7300.7300.7308.2.2二次回归正交组合设计的应用二次回归正交组合设计的基本步骤二次回归正交组合设计的基本步骤如下。(1)

37、因素水平编码确定因素xj(j=1,2,，m)的变化范围和零水平试验的次数m。，再根据星号臂长丫的计算公式(833)或表818确定丫值，对因素水平进行编码，得到规范变量Zj(j=1,2,，m)。如果以xj2和xj1分别表示因素Xj的上下水平，则它们的算术平均值就是因素Xj的零水平，以XjO表示。设Xjy与X-jY为因素Xj的上下星号臂水平，则Xjy与X-jY为因素xj的上下限，于是有：XjoXj1Xj22XjXj2(835)所以，该因素的变化间距为：然后对因素Xj的各个水平进行线性变换，得到水平的编码为：这样，编码公式就将因素的实际取值Xj与编码值Zj一一对应起来(见表821)，编码后，试验因素

38、的水平被编为一丫，1，0，1，丫。(2) 确定合适的二次回归正交组合设计首先根据因素数m选择合适的正交表进行变换，明确二水平试验方案，二水平试验次数mc和星号试验次数mY也能随之确定，这一过程可以参考表822。表821因素水平的编码表规范变量自然变量Xj上星号臂Y上水平1零水平0下水平1下星号臂Y变化间距厶j表822正交表的选用因素数m选用正交表表头设计mcm丫2L4(23)1,2列22=443L8(27)1,2,4列23二二864(1/2实施)L8(27)1,2,4,7列2”1=884L16(215)1,2,4,8列24=1685(1/2实施)L16(215)1,2,4,8,15列25l二=

39、16105L32(231)1,2,4,8,16列25=3210然后对二次项进行中心化处理，就可以得到具有正交性的二次回归正交组合设计编码表。附录8列出了mo=2时的常用二次回归正交组合设计表，可以直接参考选用。试验方案的实施根据二次回归正交组合设计表确定的试验方案，进行n次试验，得到n个试验指标。回归方程的建立(838)1,2,Lm(839)计算各回归系数，建立含规范变量的回归方程。回归系数的计算公式如下。yiZjiyi1bjniin2Zjii1n(ZkZj)iyii1k,k1,2,Lm1(840)(ZkZj)2n(z；)yibjj(841)i1n(Zji)(3) 回归方程显著性检验总平方和为

40、：SSr(yiy)2-(yi)ni1(8-42)其自由度为dfTn1。一次项偏回归平方和:SSjb22Zji1,2,Lm(843)交互项偏回归平方和:SSj(ZkZj)2,k,k1,2,L(844)二次项偏回归平方和:SSjjb2i1/、2(Zji)(845)1。SSRss次项ss交互项SS：次项(846)各种偏回归平方和的自由度都为一次项、二次项、交互项偏回归平方和的总和就是回归平方和:所以回归平方和的自由度也是各偏回归平方和的自由度之和:dfrdf一次项df交互项df二次项(847)于是残差平方和为:其自由度为：回归系数的检验:SQSSrSSr(848)dfedfrdfp(849)MSjF

41、jLjMSeSSj(850)SSe/dfeFMSkjSSj(851)kjMSeSS/dfeMS”F-jjjjMSeSSjj(852)SSe/dfe(4) 失拟性检验失拟性检验与一次回归正交设计是相同的，这里不再重复。(5) 回归方程的回代xj与试根据编码公式或二次项的中心化公式，将乙，xj与试验指标y之间的回归关系式转换成自然变量验指标y之间的回归关系式。最优试验方案的确定根据极值必要条件:XiX2yX3可以求出最优的试验条件。应用举例【例8-3】为了提高某种淀粉类高吸水性树脂的吸水倍率，在其他合成条件一定的情况下，重点考察丙烯酸中和度和交联剂用量对试验指标(产品吸水倍率)的影响，已知丙烯酸中

42、和度(xi)的变化范围为0.70.9，交联剂用量(X2)的变化范围为13mL,试用二次正交组合设计分析出这两个因素与试验指标(y)之间的关系。解：(1)因素水平编码由于因素数m=2，如果取零水平试验次数mo=2，根据星号臂长丫的计算公式(8-33)或表8-18得丫=1.078。依题意，丙烯酸中和度(X1)的上限为X1Y=0.9,下限为x-1y=0.7，所以零水平为x1山0.8，根据式(836)得变化间距1=(0.90.8)/1.078=0.093,同理可以计算出因素X2的编码，如表823所示。表8-23因素水平的编码表规范变量Zj自然变量Xj规范变量Zj自然变量XjX1x2/mLX1x2/mL

43、上星号臂Y0.93下水平10.7071.07上水平10.8932.93下星号臂Y0.71零水平00.82变化间距厶j0.0930.93(2)正交组合设计由于因素数m=2,参考表822，可以选用正交表L4(23)进行变换，二水平试验次数mc=22=4，星号试验的次数为2m=4。试验方案见表824。表824例83试验方案试验号丙烯酸中和度交联剂用量/mL1110.8932.932110.8931.073110.7072.934l10.7071.0751.07800.9261.07800.72701.0780.83801.0780.8l9000.8210000.8222/根据二元二次回归正交组合设计

44、的要求，参照式(834)将二次项z1和z2分别进行中心化，得到z1,和z2，二次项中心化结果见表825。表825例83二元二次回归正交组合设计表及试验结果试验号11111l0.3680.36842321111l0.3680.3684863-11-1110.3680.3684184-1-11110.3680.36845451.078001.16200.5300.63249161.078001.16200.5300.632472701.078001.1620.6320.530428801.078001.1620.6320.5304929000000.6320.63251210000000.6320

45、.632509根据计算表(表826)可知，iyi46851n，z1iyi57.482i1nZ2iyii1167.992，2Z1in2z；i6.324i127，n(Z1Z2)24，i1n(z1i)yi62.786，i1(z2i)yii1112.755，/2(Z1i)(z2j212.701，所以:bi6%i1n2Z1ii157.4826.3241nyini19.09，4685y10468.5，b2nz2iyii1n167.9926.32426.56，2ii1b12n(zQiyii1n276.75，(Z1Z2)21bn+(zji162.7862.70123.24，b22n(z2i)yii1n(z2i

46、)2i1竺亜41.742.701(3)回归方程的建立表8-26例8-3二元二次回归正交组合设计计算表11l10.3680.36842317892942342321110.3680.36848623619648648631110.3680.36841817472441841841l10.3680.36845420611645445451.078000.5300.632491241081529.298061.078000.5300.632472222784508.8160701.07800.6320.5304281831840461.384801.07800.6320.53049224206405

47、30.37690000.6320.63251226214400100000.6320.63250925908100刀468522063057.482167.992l423155.488155.4881110.1350.1352486178.645178.6451110.1350.1353418153.650153.6501110.1350.1354454166.883166.883ll10.1350.13550260.067310.5171.162000.2810.40060250.003298.5011.162000.2810.40070270.674226.69801.16200.4000

48、.28180311.149260.59601.16200.4000.28190323.797323.7970000.4000.400100321.900321.9000000.4000.400刀2762.786112.7556.3246.32442.70l2.701所以规范变量与试验指标夕之间的回归关系式为:回归方程及偏回归系数的显著性检验由计算表(表826)知，n2206303,i1所以故所以方差分析结果见表827。表827例83方差分析表差异源SSdfMSf显著性Z1522.51522.541.8*Z24461.2l4461.2356.9*z1z2182.31182.314.6*z1458.8l1458.8116.7*z4705.814705.8376.5*回归11330.652266.1181.3*残差49.9412.5总和11380.5