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1、费尔马定理的初等证明姓名：王彦会地址；河北省井陉县井新碳素公司（原石家庄铝厂）邮编： 050300一，方称X2 +Y2 =Z2 （X*Y*Z 不等于 0）的全部整数解定理（勾股数定理）：X=2abt,Y=(a2-b 2)t,Z=(a 2+b2)t,(ab,abt=1)该公式为全部勾股数。（证明见数论初步）二，定义： 1，非勾股数：符合勾股定理的3 个数 a，b，c ，且，其中至少有1 个为无理叫非勾股数。 2， 2 次， 3 次， ， n 次相邻数：我们把2 次， 3 次， 4 次， ，相同的 2 个或多个正整数或正实数数叫2， 3，4， ， n 次相邻数。2 次方根时，这 3 个数 n 次方
2、根的整数部分都三，非 2 次方数公式及定理：公式（可用2 重数学归纳法证明）2x+1（ n+x） 2+2x+2或2x+1（ n+x） 2-2x+2均表示全部非2 次方数，其中n 取正整数 ,x 取 0 和正整数。定理 1，由该公式知，非2 次方数与和它相邻的差的1 半小于或等于该数方根的整数部分。证：2x+1（ n+x） 2+2x+2的方根的整数部分为n+x ，而与它相邻的平方数为（n+x ）2 ，二者的差为2x+1 或 2x+2，差的 1 半为 x 或 x+1，则 x n+x,x+1=n+x, 证毕。第 1 页定理 2，两个 2 次相邻数中至少有1 个为非平方数，两个3456n 次相邻数中，
3、至少有1 个为非立方数，非 456n 次方数。证：两个 2 次相邻数可表示为2x1+1（ n+x1 ）2+2x1+2和2x2+1（n+x2） 2+2x2+2，或者表示为（ n+x ）2 和2x+1（ n+x） 2+2x+2且 n1+x1=n2+x2 ，则由公式知二者之中至少有 1 个非 2 次方数，同理， 3456 n 次也如此。定理 3，两个数若为 2 次相邻数则必为 3456 n 次相邻数。证：有非23456n 次方数公式知，非23456n 次方数与和它相邻的平方，立方，456n 次方数的差中，非2 次方的最小，则这两个数的23456n 次方根的整数部分都相同，由其定义知，两个数为非234
4、56n 次方数。定理4，直角三角形3 条边长中，至少有1 个为非23456n 次方数，且3 条边长的平方中至少有1 个为非立方，非456n 次方数。证明：（也可由勾股数公式及定理123 证之，较繁略）几何法如下，以 R=2 为半径做圆O，在圆 O中做等腰直角三角形ABC如第 1 页图，设边长为c，a，a，且， a=1，则 c= 2，则 c-a= 2-11, c= 21, 故此时 c-a=a，则 c-bc，则 a， b， c 三者之中至少有1 个为非平方数，且c 与 b 为相邻数，则三者之中至少有1 个为非2345n 次方数。由于以c 为斜边的无数直角三角形，包含了直角三角形的全部形状，如图角
5、连续变化，则得到全部形状的三角形，故全体直角三角形的边长可由下式得出：A=at，B=bt ，C=ct ，由于a b c，故无论t 为何值，A， B， C三者之中至少有1 个为非2345n次方数。在前述等腰直角三角形中，c2-a2=2-1=1 2， c= 2，故此时， c2-a2=a ，则有c2-b2B2=tb2C2=tc2 ，无论 t 为何值 A2，B2，C2 三者之中， 至少有 1 个为非 345n 次方数，证毕。在前述等腰直角三角形中，c 2-a 2=2-1=1=3 时，没有非零的整数解。四，证明：将方称，恒等变形为（Xn/2 ） 2 +（Yn/2 ） 2=（Zn/2 ） 2 则其全部解集
6、可Xn/2 =AYn/2 =BZn/2 =C2则 X=A 再开n 次方Y=B2 再开n 次方Z=C2 再开n 次方其中A2+B2=C2 由于X*Y*Z0，则A*B*C0。由定理4 知，A，B，C 之中至少有1 个为非2345n 次方数， 且之中至少有1 个为非345n 次方数。由于n33，故 X，Y，Z 三者之中至少有1 个为无理根， 所以方称Xn+Yn =Zn ，当 n=3 时没有非零的整数解。证毕。附：非立方数公式n3|1|234567|8|9 1011 12 1314| 15 1627| 28 2930 31 3233|则非立方数公式为：n3+1,2,3,4,5,6（n3 +1 式中n=1，其余式中n=0）和(n+x)3+3x(x+1)+(1,2,3, ， 6(x+1)，（ n1, x0 ）可由 2 重数学归纳法证明。（费尔马定理也可利用勾股数公式及代数法证明，过称较繁略）第 4 页
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