《水塔水流量的估计》课程设计论文

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1、.水塔水流量的估计摘要:数学建模方法是处理科学理论的一种经典方法，也是解决各类实际问题的常用方法。本文采用曲线拟合的方法，并利用数学软件MATLAB对水塔流量进行计算，计算结果与实际记录基本吻合。关键词:建模，流量，拟合，MATLAB1.问题重述美国某州的各用水管理机构要求各社区提供用水率（以每小时多少加仑计，英制单位下，1加仑=4.54596dm3，美制单位下，1加仑=3.78533dm3）以及每天所用的总用水量，但许多社区并没有测量流入或流出当地水塔的水量的设备，而只能以每小时测量水塔的水位代替，其精度在0.5%以内。更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位L时，水泵

2、就启动向水塔重新充水直至某一最高水位H，但也无法得到水泵的供水量的测量数据。因此，在水泵正在工作时，不容易建立水塔中水位与水泵工作时用水量之间的关系。水泵每天向水塔充水一次或两次，每次大约2小时。试估计在任何时候，甚至包括水泵正在工作的时间内从水塔流出的流量，并估计一天的总用水量。水塔是一个垂直圆柱体，高为40英尺，直径为57英尺。下表给出了某个小镇某一天的真实数据：表1：某小镇某天的水塔水位（1m=3.281英尺）时间（秒）水位（英尺）时间（秒）水位（英尺）时间（秒）水位（英尺）031.7535932水泵工作6853528.42331631.1039332水泵工作7185427.676635

3、30.543943535.507502126.971061929.944331834.4579154水泵工作1393729.554663633.5082649水泵工作1792128.924995332.678596834.752124028.505393631.568995333.892522327.875725430.819327033.402854327.526057430.123228426.976455429.272.问题分析数据的单位转换：表2时间（h）水位（m）时间（h）水位（m）时间（h）水位（m）09.67699.98水泵工作19.048.66200.929.478810.93

4、水泵工作19.968.43341.849.308110.9510.819920.848.22012.959.125312.0310.499822.01水泵工作3.879.007112.9510.210322.96水泵工作4.988.814413.889.957323.8810.59135.908.686414.989.619024.9910.32927.018.503015.909.390425.9110.17987.938.387716.839.18018.978.220117.948.9211流量是单位时间流出的水的体积，可以由对应时刻的流速乘以水塔的横截面积得到。由于水塔是正圆柱形，横截

5、面积是常数S，所以我们在这里研究的其实是流速的变化。在水泵不工作的时段，流量很容易从水位对时间的变化率,即流速算出，问题是如何估计水泵供水时段的流速。水泵供水时段的流速只能靠供水时段前后的流速拟合得到，作为用于拟合的原始数据，我们希望水泵不工作的时段流速越准确越好。这些流速大体可由两种方法计算:一是直接对表2中的水位用数值微分算出各时段的流速，用它们拟合其它时刻或连续时间的流速。二是先用表中数据拟合水位-时间函数，求导数即可得到连续时间的流速。一般说来数值微分的精度不高，何况测量记录还是不等距的，数值微分的计算尤其麻烦。下面我们用第二种方法处理。有了任何时刻的流速，就不难计算一天的总用水量。其

6、实，水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到，如表2可知从t=0到t=8.97(h)水位下降了，乘以水塔的横截面积S就是这一时段的用水量。这个数值可以用来检验拟合的结果。水泵第1次供水时段为t=8.98(h)到t=10.94(h),第2次供水时段为t=21(h)到t=23(h)。这是根据最低和最高水位分别是8.2201m和10.8199m及表2的水位测量记录作出的假设。其中前3个时刻取自实测数据（精确到0.01h）,最后1个时刻来自每次供水约两小时的已知条件（从记录看，第2次供水时段应在有记录的22.96h之后不久结束）。3.模型假设供水时段的假设水泵工作时单位时间的供水量基本为常数，这个

7、常数大于单位时间的平均流量。流量是单位时间流出水的体积，这里假设是水位对时间的连续函数，即。为简化处理，不影响问题的解决，假设流量与水泵是工作无关。4.流量估计4.1拟合水位-时间函数从表2测量记录看，一天有两个供水时段（以下称第1供水时段和第2供水时段）和3个水泵不工作时段(以下称第1用水时段t=0到t=8.97，第2用水时段t=10.95到t=20.48和第3用水时段t=23以后)。对第1、2用水时段的测量数据分别作多项式拟合，得到水位函数和。为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，一般用36次。由于第3时段只有3个测量记录，无法对这一时段的水位作出比较好的拟合，可采用外推的办法解决。4

8、.2确定流量-时间函数对于第1、2用水时段，只需将水位函数求导数即可，对于两个供水时段的流速，则用供水时段前后（水泵不工作时段）的流速拟合得到，并且将拟合得到的第2供水时段流速外推，将第3用水时段流速包含在第2供水时段内，需要拟合四个流速函数。4.3一天的总用水量总用水量等于两个水泵不工作时段和两个供水时段用水量之和，它们都可以由流速对时间的积分得到：5.算法设计与计算结果5.1拟合第1、2时段的水位，并得出流量5.1.1第1用水时段的流速设t、h为已输入的时刻和水位测量记录，实现如下：t=0,0.92,1.84,2.95,3.87,4.98,5.90,7.01,7.93,8.97,10.95

9、,12.03,12.95,13.88,14.98,15.90,16.83,17.94,19.04,19.96,20.84,23.88,24.99,25.91;h=9.6769,9.4788,9.3081,9.1253,9.0071,8.8144,8.6864,8.5030,8.3877,8.2201,10.8199,10.4998,10.2103,9.9573,9.6190,9.3904,9.1801,8.9211,8.6620,8.4334,8.2201,10.5913,10.3292,10.1798;f1=polyfit(t(1:10),h(1:10),5);%用5次多项式拟合第1用水时段

10、水位，f1输出5次多项式的系数b1=polyder(f1);%b1输出多项式（系数为f1）导数的系数，给出水位变化率tm1=0:0.01:8.97;%将第一用水时段0,8.97细分g1=-polyval(b1,tm1);%g1输出多项式b1在tm1点的函数值(取负后边为正值)，即tm1时刻的流速5.1.2第2用水时段的流速实现如下：f2=polyfit(t(11:21),h(11:21),5);%用5次多项式拟合第2用水时段水位水位，f2输出5次多项式的系数b2=polyder(f2);%b2输出多项式（系数为f2）导数的系数,给出水位变化率tm2=10.95:0.01:20.84;%将第二用

11、水时段10.95,20.84细分g2=-polyval(b2,tm2);%g2输出多项式（b2）在tm2点的函数值(取负后边为正值)，即tm2时刻的流速第1、2用水时间段的流速曲线图:5.2拟合供水时段的流速5.2.1第1供水时间段的流速在第1供水时段（t=8.9810.94）之前（即第1用水时段）和之后（第2用水时段）各取几点，其流速已经得到，用它们拟合第1供水时段的流速。为使流速函数在供水时段连续，只取4个点，拟合5次多项式（即曲线必过这4个点）。拟合5次多项式，实现如下：q1=-polyval(b1,7.93,8.97);%取第1时段在t=7.93,8.97的流速q2=-polyval(

12、b2,10.95,12.03);%取第2时段在t=10.95,12.03的流速dx=7.93,8.97,10.95,12.03;dy=q1,q2;%将四个点合并d=polyfit(dx,dy,5);%拟合5次多项式ex=8.97:0.01:10.95;%将第一供水时段8.97,10.95细分ey=polyval(d,ex);%ey输出第一供水时段各时刻的流速5.2.2第2供水及第3用水(到t=24)时间段的流速在第2供水时段之前取t=20,20.8两点的流速，在该时刻之后（第3用水时段）仅有3个水位记录，我们用差分得到流速，然后用这4个数值拟合第2供水时段的流速。实现如下：dt3=diff(t

13、(22:24);%最后3个时刻的两两之差：dh3=diff(h(22:24);%最后3个水位的两两之差：dht3=-dh3/dt3;%t(22)和t(23)的流速（差商代替微商）t3=19.96,20.84,t(22),t(23);%取第2供水时段前后各两点a=-polyval(b2,t3(1:4),dht3);%求得t3各时刻的流速h=polyfit(t3,a,5);%拟合5次多项式mx=20.84:0.01:24.00;%将第2供水时段和第3用水时段细分my=polyval(h,mx);%my输出第2供水时段（到t=24）各时刻的流速第1供水时间段，第2供水及第3用水(到t=24)时间段的

14、流速曲线图:5.3一天的总用水量的估计第1、2用水时段和第1、2供水时段流速的积分之和乘以S，就是一天总用水量。虽然诸时段的流量已表示为多项式函数，积分可以解析的算出，这里仍用数值积分计算。5.3.1第1用水时间段的用水量：其中积分值h1通过梯形公式计算：计算得出第1用水时间段的用水量：5.3.2第2用水时间段的用水量：计算得出第2用水时间段的用水量：5.3.3第1供水时间段的用水量：计算得出第1供水时间段的用水量：5.3.4第2供水和第3用水(到t=24)时间段的用水量计算得出第2供水和第3用水(到t=24)时间段的用水量一天总用水量：6.流速及总用水量的检验6.1用水时段流速的检验方法：计

15、算出的各时刻的流速可用水位记录的数据来检验。用水量V1用第1用水时段水位测量记录中下降高度来计算并检验，在第一用水时段水的实际用量为:类似地，第二用水时段用去的水的高度实际用水量为:，而通过算法得到的近似值：将、与、进行比较，两者相差无几。6.2供水时段流速的检验方法：通过求水泵在两个供水时间段的功率与,而两个供水时段水泵的功率应大致相等。第1、2时段水泵的公率计算如下：p1=y12*S+(10.8199-8.2201)*S/2.039%第1供水时段水泵的功率(水量以高度计）tm3=20.84:0.01:23.88;g3=polyval(h,tm3);%g3输出第2供水时段各时刻的流速p2=(

16、0.01*trapz(my)+(10.5913-8.2201)*S/2%第2供水时段水泵的功率（水量仍以高度计）第1、2时段水泵的公率计算结果：通过算法得出的第1、2用水时段的总用水量与实际的第1、2用水时段的总用水量非常接近，而两个供水时段水泵的功率相当，说明该算法切实可行！7.分析由表2可以看出第1、2用水时间段的总用水量、水位下降的高度与实际的总用水量、水位下降高度相差无几。所以数据拟合，数值积分取得精度总够的。由水塔一天的流速曲线图可以看出，流速曲线与原始记录基本上吻合，零点到10点钟用水量最少，10点到下午3点是用水高峰期。参考文献1李大潜中国大学生数学建模竞赛M北京高等教育出版社1

17、9982叶其孝大学生数学建模竞赛辅导M长沙湖南教育出版社19933萧树铁数学实验M北京高等教育出版社19994乐经良数学实验M北京高等教育出版社20055Justinmatlab数学实验附录部分源代码：S=(57/3.2)/2)2*pi;t=0,0.92,1.84,2.95,3.87,4.98,5.90,7.01,7.93,8.97,10.95,12.03,12.95,13.88,14.98,15.90,16.83,17.94,19.04,19.96,20.84,23.88,24.99,25.91;h=9.6769,9.4788,9.3081,9.1253,9.0071,8.8144,8.68

18、64,8.5030,8.3877,8.2201,10.8199,10.4998,10.2103,9.9573,9.6190,9.3904,9.1801,8.9211,8.6620,8.4334,8.2201,10.5913,10.3292,10.1798;f1=polyfit(t(1:10),h(1:10),5);b1=polyder(f1);tm1=0:0.01:8.97;g1=-polyval(b1,tm1);%第1用水时段f2=polyfit(t(11:21),h(11:21),5);b2=polyder(f2);tm2=10.95:0.01:20.84;g2=-polyval(b2,t

19、m2);%第2用水时段q1=-polyval(b1,7.93,8.97);q2=-polyval(b2,10.95,12.03);dx=7.93,8.97,10.95,12.03;dy=q1,q2;d=polyfit(dx,dy,5);ex=8.97:0.01:10.95;ey=polyval(d,ex);%第1供水时段dt3=diff(t(22:24);dh3=diff(h(22:24);dht3=-dh3/dt3;t3=19.96,20.84,t(22),t(23);a=-polyval(b2,t3(1:4),dht3);h=polyfit(t3,a,5);mx=20.84:0.01:24

20、.00;my=polyval(h,mx);%第2供水及第3用水（到t=24）的时段y1=0.01*trapz(g1);y2=0.01*trapz(g2);y12=0.01*trapz(ey);y3=0.01*trapz(my);v=(y1+y2+y12+y3)*S%一天的总用水量v1=y1*Sv2=y2*SV1=(9.6769-8.2201)*SV2=(10.8199-8.2201)*Sp1=y12*S+(10.8199-8.2201)*S/2.039tm3=20.84:0.01:23.88;g3=polyval(h,tm3);p2=(0.01*trapz(my)+(10.5913-8.220

21、1)*S/2A=-polyval(b1,t(1:10);B=-polyval(b2,t(11:21);plot(t(1:10),A,o,tm1,g1b,dx,dy,o,ex,ey,r,t(11:21),B,o,tm2,g2,k,t3,a,o,mx,my,m);title(水塔一天的流速曲线图);legend(第1用水时段该时刻对应的流速,第1用水时段，第1供水时段该时刻对应的流速,第1供水时段,第2用水时段该时刻对应的流速,第2用水时段,第2供水及第3用水时段(到t=24)该时刻对应的流速,第2供水及第3用水时段(到t=24);xlabel(时间(h);ylabel(流速(m/h);axissquare.17