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1、二、多元线性回归模型在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个） 要素之间也存在着相互影响、 相互关联的情况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。（一）多元线性回归模型的建立假设某一因变量y 受 k 个自变量 x1 , x2 ,., xk 的影响， 其 n 组观测值为 （ ya , x1a , x2 a ,., xka ），a 1,2,., n 。那么，多元线性回归模型的结构形式为：ya01 x1a2 x2 a.k xkaa （ ）式中：0 , 1,.,k 为待定参数；a 为随机变量。如果 b0 ,b1,., bk 分别为0, 1,2 .,k 的拟合值，则回归方程为?= b0b1 x1b2
2、 x2. bk xk （ 3.2.12）式中：b0 为常数；b1, b2 ,., bk 称为偏回归系数。偏回归系数 bi （ i 1,2,.,k ）的意义是，当其他自变量x j （ ji ）都固定时，自变量xi 每变化一个单位而使因变量y 平均改变的数值。根据最小二乘法原理，i（ i0,1,2,., k ）的估计值 bi （ i0,1,2,.,k ）应该使n2n2Qya yayab0b1 x1ab2 x2a.bk xkamin （ 3.2.13）a1a 1有求极值的必要条件得Qn2yaya0b0a1（ 3.2.14）Qn2yaya x ja0( j1,2,., k )bja 1将方程组（）式展
3、开整理后得：nnnnnb0(x1a )b1(x2a )b2 .(xka )bkyaa 1a 1a1a 1nnx12a )b1nnn(x1a )b0(x1a x2a )b2.(x1a xka )bkx1a yaa1a1a 1a1a1nnnnn（ 3.2.15）x2a )b0x1a x2 a )b1x22a )b2x2 a xka )bk(.(x2a yaa1a1a 1a1a 1nn.nnn(xka )b0(x1a xka )b1(x2a xka )b2.(xka2 )bkxka yaa1a1a 1a1a 1方程组（ 3.2.15）式，被称为正规方程组。如果引入一下向量和矩阵：b0y11x11x2
4、1.xk1b11x12x22.xk2y2 , Xbb2,Y1x13x23.xk3. . . . .ynbk1x1nx2n.xkn111 .11x11x21.xk1x11x12x13.x1n1x12x22.xk2AX T Xx21x22x23.x2n1x13x23.xk3. . . . . . . . . .xk 1xk 2xk3.xkn1x1nx2n.xknnnnnx1ax2 a.xkaa1a 1a1nnnnx1ax12ax1 a x2a.x1 a xkaa1a1a1a1nnnx22nx2 ax1a x2aa.x2a xkaa1a 1a 1a1n.n.n.n.xka2xkax1a xkax2
5、a xka.a1a 1a1a1nya111.1y1a1nx11x12x13.x1 ny2a1x1a yaBXTYx21x22x23.x2 ny3n. . . .a1x2a yaxk1xk2xk 3.xknynn.xka yaa 1则正规方程组（）式可以进一步写成矩阵形式AbB （ ）求解（）式可得：bA 1B(X T X ) 1X TY （）如果引入记号：nLijL ji( xiaxi )( x jaxj )(i, j1,2,., k)a 1nLiy(xiaxi )( yay)(i1,2,.,k )a 1则正规方程组也可以写成：L11b1L12b2.L1k bkL1yL21b1L22b2.L2
6、k bkL2 y.（ 3.2.15）Lk1b1Lk 2b2.Lkk bkLkyb0y b1 x1b2 x2 .bk xk（二）多元线性回归模型的显著性检验与一元线性回归模型一样，当多元线性回归模型建立以后，也需要进行显著性检验。与前面的一元线性回归分析一样，因变量y 的观测值y1, y2 ,., yn 之间的波动或差异，是由两个因素引起的，一是由于自变量x1, x2 ,., xk 的取之不同，另一是受其他随机因素的影响而引起的。为了从 y 的离差平方和中把它们区分开来，就需要对回归模型进行方差分析，也就是将y 的离差平方和 ST 或（ L yy）分解成两个部分，即回归平方和U 与剩余平方和 Q
7、：STL yyUQ在多元线性回归分析中， 回归平方和表示的是所有k 个自变量对 y 的变差的总影响， 它可以按公式n2kU( yay)bi Liya1i 1计算，而剩余平方和为n2Q( yaya )L yyUa1以上几个公式与一元线性回归分析中的有关公式完全相似。它们所代表的意义也相似， 即回归平方和越大，则剩余平方和Q 就越小，回归模型的效果就越好。不过，在多元线性回归分析中， 各平方和的自由度略有不同，回归平方和U 的自由度等于自变量的个数k，而剩余平方和的自由度等于 n k1 ，所以 F 统计量为：FU / kQ /(nk1)当统计量F 计算出来之后，就可以查F 分布表对模型进行显著性检验。
多元线性回归模型公式
