圆认识教学片段

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1、特级教师丁杭缨圆的认识教案片段赏析圆的认识是小学数学既传统又经典的教案内容，经过长期的研究与探索，已经积累了丰富的教案经验。如何在这一传统教案内容里推陈出深，是每一个执教老师的思考所在。前不久，笔者在杭州参加“千课万人”教案研讨会，有幸现场聆听了全国著名特级教师丁杭缨老师执教了这一课，感触颇深，现摘选精彩教案片段与大家分享。【片段一】尝试画圆，初步体验师：（出示一个圆规）你们认识它吗？（生面面相觑，后有一生举手）生：这是圆规。师：你怎么知道的？给大家介绍一下你认识的圆规。（生简要介绍后老师补充）师：刚才我们认识了圆规，那你们知道圆规是干什么用的吗？生：画圆的。师：你能尝试用圆规画一个圆吗？打开

2、草稿本，用圆规任意画一个圆，一边画一边想，画圆的时候要注意些什么？（学生画圆，后交流汇报）。生 1：画圆的时候针尖的中心点不能变。师：就是针尖那一只脚的位置不能变是吗？生 1：是的。师：变了会怎样？生 1：针尖的位置变了就画不成圆了。生 2：角度也不能变。师：什么是角度，在哪里？生 2：就是圆规两只脚张开的角度不能变。师：两只脚张开的角度不能变，实际上就是两只脚之间的距离不能变。师：用圆规画圆的方法是什么?你能把你的画圆步骤说一说吗？生 3 ：先把圆规两脚分开适当的距离，再把带有针尖的一端固定在纸上，最后把带有铅笔芯的一端旋转一周就可以画出一个圆来了。师：说的非常好，很有条理。【赏析：有效的学

3、习不是告诉，而是亲身体验。丁老师带领大家认识了圆规这一画圆专用工具后，大胆放手让学生尝试画圆。其实学生早就对手边一个新玩意跃跃欲试了，我们也屡屡发现，在你讲课的时候总有一些学生忍不住要拿起圆规看看瞧瞧，试上一把。这样放手让学生去尝试新玩意，不仅符合学生好奇好动的年龄特征。让学生去尝试，画错，画不好都不要紧，让他们自己去总结操作要领，丰富活动经验，获取最深刻的学习体验。这样处理符合著名心理学家桑代克的试误说，桑代克认为学习的过程是一种渐进的尝试错误的过程，在这个过程中，无关的错误反应逐渐减少，而正确的反应最终形成。】【片段二】再次画圆，自悟特征师：请你再画一个圆。现在画的圆要和刚才画的圆大小不一

4、样，用上刚才的方法。（学生操作）师：（展示学生画的两个圆）这两个圆有什么不一样的地方吗？生：大小不一样。师：很奇怪，同样都是用圆规画圆，为什么两次画出的圆大小不一样？生 1：我觉得是圆规的角度不一样。生 2：我认为是圆规两个脚的距离不一样。师：由于圆规两脚的距离不一样，造成了圆的大小不一样。（板书：大小两脚距离）师：你还发现这两个圆有什么不一样的地方吗？生：中心点变了。师：中心点变了，导致什么变了？生：圆的位置变了，第一个圆在本子的右边，第二个圆在本子的左边。师：为什么同样都是用圆规画圆，这两个圆的位置就不一样了呢？生：因为那个针尖决定圆的位置。（板书：位置针尖定点）师：其实圆规与所画的圆之间

5、是有联系的，有怎样的联系呢？请看屏幕。（出示）圆规的针脚确定圆的位置，圆规两只脚之间的距离确定圆的大小师：在数学上把圆规固定的这一点叫做圆心，把圆规两脚之间的距离叫做半径。圆心、半径和直径都是圆的要素。【赏析：在这样动态学习过程中，学生经过尝试、交流、讨论后，零碎的操作经验得到了丰富与提升，初步掌握了比较系统的画圆操作要领。画圆本质上是程序性知识，就是回答先做什么，再做什么，最后做什么的问题。掌握方法后再来体验，感觉就不一样了，别有用心的丁老师一再叮嘱“画的圆要和刚才画的大小不一样”，目的是让学生对比，从中自主发现决定圆位置和大小的两个要素，这样在圆的动态形成过程中自然而然揭示了圆这一抽象概念

6、的外延，各部分名称的出现也水到渠成了。】【片段三】自学讨论，深化认识师：想知道什么是直径吗？请大家打开课本，自学课本56 页。（学生自学课本，后师生交流）生 1：图 1 中线段 OC 是半径。师：为什么说它是半径？生 1：线段 OC 一端在中心，还有一端在圆上。师：也就是半径的一端在圆心，另一端在圆上。图1 中有直径吗？生 2：线段 GB 是直径。师：凭什么说它是直径？直径一定经过哪里？（生答略）师：第三幅图中，从 A 点引出三条线段，凭你感觉哪条线最长？（课件出示）在圆内的所有线段中，直径最长。师：圆的三个要素都知道了，到底什么是圆呢？生 1：圆是没有棱角的。生 2：所有直径都一样。师：其实

7、两千多年前，我国著名思想家墨子就给圆下了一个定义。（课件出示）圆，一中同长也。师：你理解它的意思吗？（课件出示）语文翻译：圆这种东西，有一个中心，从这个中心到圆上各点都一样长。数学意义：圆有一个圆心，圆心到圆上各点的距离（即半径）都相等。师：让我们一起来看动画，体会“一中”和“同长”的含义。（课件出示）【赏析：很多老师教案圆的各部分名称往往拘泥于教材，没有让教材中的折纸活动和各环节形成一个有机的整体。丁老师从画圆开始，让学生找寻圆规和所画的圆之间的内在联系，从而认识固定的一点就是圆心，圆规两脚间的距离就是半径，名称的揭示水到渠成，学生的体验极其丰富。很多老师在数学课上渗透数学文化时就是穿插一点

8、数学史料，让学生有所了解，而丁老师却让学生在此收获了数学思想，感受到数学的神奇和魅力。简简单单的“圆，一中同长也”，丁老师紧紧抓住圆的这一数学本质，从文言文，到白话文翻译，再到数学语言的对接，让学生由远及近，走进“一中”“同长”，同时和本节课学习的名称一一对应起来，“一中”就是“圆心”，“同长”也就是“半径”，最后用一段动画动态呈现圆的形成过程。正是这样的动态呈现和动态参与过程，学生的认识才愈加丰富，愈加深刻，因为此时学生头脑中不是一个冷冰冰的圆形图像，而是一段画圆、电脑做圆的动态过程。】【片段四】走向生活，丰富体验师：如果没有圆规，你能画圆吗？你准备怎么画圆？生 1：把底部是圆形的水杯放在纸

9、上，用铅笔描出来。生 2：先找出中心点，然后用尺子连接相同的距离。生 3：用两枝铅笔，一枝固定不动做圆心，另一枝画圆。生 4：用量角器画，先画一半，再反过来画出另一半。师：大家真的很有想象力，有些办法非常非常有数学价值，有些办法非常非常有生活价值。师：我们来看看体育老师如何在操场上画圆的。（课件出示）生：用脚做圆心，用簸箕到脚的距离作为半径，播撒石灰粉画出了一个圆。师：史记夏本记载大禹治水：左凖绳，右规矩。怎么画的？你能理解其中的意思吗？生：左手拿根绳子，右手拿根木头当圆心。绕一圈就可以画出圆了。师：圆心是什么？半径是什么？生：固定的木头是圆心，木头到绳子的距离就是半径。师：刚才我们解决了生活

10、中的实际问题，有同学说可以借助正方形来画圆。（课件出示：圆出于方，方出于矩。）师：所谓“圆出于方”，就是说最初的圆不是用现在的圆规画出来的，而是由正方形不断切割而来的，所谓“方出于矩”是说方的图形是用“矩”（直尺）画出来的。圆出于方，从正方形如何变成一个圆呢？（教师拿一正方形纸环绕中心点对折三次，剪割，打开得到正八边形；合起来再对折一次，剪割，打开得到正十六边形 ）（课件演示正方形切割成圆的过程）【赏析：本节课在数学本质上来说应该是一节数学建模课，因为圆也是一种数学模型，这一模型用数学语言来描述为“圆就是到定点的距离等于定长的点的轨迹”。这一抽象的数学定义，对于有一定文化积累的成人来说不难理解

11、，但孩子就不同了。因此在小学里是不需要给圆下定义的，只要学生能够描述圆，也就是学生能从概念的外延和内涵两方面概括地描述圆是什么样子就可以了。“没有圆规如何画圆”这是一个挑战性的问题，同时也是极具生活价值的现实问题，因为很多时候人们手里没有圆规，即使有也不够大，还因为很多时候不需要像数学课本上一样画一个标准的圆，只要画一个近似圆就可以了。无论是怎么画圆都离不开它的数学本质“一中同长”，因此此环节中体育老师用播撒簸箕里的石灰粉来画圆其实是遵守了“一中同长”的数学本质的数学变模。让学生一方面感悟到数学的应用价值，另一方面感悟到生活中处处有数学。对于“圆出于方”这一千古命题，丁老师采用剪纸和电脑动画相

12、结合的方法，由有限过渡到无限，渗透极限思想。】【全课赏析】：生活中很多物体都是圆形的，圆形的桌子、圆形的硬币、圆形的碗 数不胜数。孩子从一出生就接触了大量的圆形，所以没上过一天学的孩子都能说出一大堆圆形物体来，还能粗线条地描述圆的特征：圆圆的，没有角等等。以往“圆的认识”一般按照先认识圆的各部分名称和圆的特征，最后学习使用圆规画圆；新课改实验教材大多按照先让学生尝试画圆开始（苏教版和人教版课标教材既便如此）。纵使学生能够列举成千上百个圆形物体，那也仅仅是学生头脑中圆形的表象，他们对圆形为什么长这样？圆形怎么来的？圆形有什么特征不甚了解。因此非常有必要让学生在圆形成的动态过程中来认识圆的本质。即

13、用程序性知识来带出陈述性知识。综合本节课，有以下几个特点：1、 紧扣数学本质本节课紧扣圆的数学本质“一中同长”，用现代数学语言就是“圆就是到定点的距离等于定长的点的轨迹”，让学生尝试画圆，启发学生反思“为什么画不圆，画圆时要注意些什么？触动学生自主学习，尝试顿悟式的发现学习是学生真正的自主学习，歪歪扭扭的学生作业正是课堂研究发现的亮点所在。接下来体育老师的画圆法也正是丁老师围绕圆的数学本质而设计的精彩环节。其实围绕“一中同长”这一数学本质，可以利用的素材很多很多。有的老师手拿一个细线拴住的小球，旋转小球形成圆；拴在木桩上的山羊吃掉的青草可以形成圆；有点老师从站成正方形、长方形向中心点上的篮子里

14、投球引发学生思考：怎样使投球游戏公平？投篮选手要站成什么形状？这些都是围绕“一中同长”这一数学本质来组织教案的，无论你如何组织教案，紧扣数学本质选材才是课堂之魂。2、 丰富学生体验真正意义上的数学学习过程需要摈弃的是“他律”指导下的谆谆说教，需要彰显的是“自律”意味下的生命体征。学生的数学学习就是这样一个动态的自主建构的过程，学生的认识是一个由浅入深不断深化的过程，在这样建构和深化过程中学生亲身体验非常重要，因为没有自己亲身体验的知识是空洞的、没有生命价值的。本节课丁老师注重丰富学生的亲身体验，初试画圆，交流发现后再次尝试画圆，这样两次画圆实质上是学生程序性知识的一次飞跃，也是学生亲身经历，自

15、主发现，丰富体验的过程，这样的体验不仅仅是经验层面上的，更多的是情感认识层面上的。后面“体育老师画圆”和“车轮为什么做成圆形”让学生再一次体验到“一中同长”的应用及妙处，体验数学之有用之神奇。3、动态呈现知识本节课一大亮点就是所有的概念和定义不是教师搬出来的，而是让学生在尝试操作和自学讨论中自主发现的。变原本书本上静态的冷冰冰的数学知识为动态呈现，从画圆中自然而然地引出圆有位置和大小的不同，从而引发学生在自主发现决定圆的位置和大小的因素其实还在圆规上，得到“针尖决定圆的位置，两脚的距离决定圆的大小”，“圆心”和“半径”这一对圆的核心概念水到渠成，这才是深刻理解与内化概念。概念的掌握不是一字不少

16、地倒背如流，而是用自己的话说出自己的理解，能运用自如。对于“一中同长” 、“左凖绳，右规矩”、 圆出于方等这样一些难以理解的文言文，丁老师不仅给出了现代白话文，还用标准的数学语言加以解释，为了形象直观地丰富学生的认识，丁老师再次采用动态呈现的方式，使学生不仅知其然，还能知其所以然，沟通圆与方的内在联系，打通了直线图形与曲线图形知识之间的壁垒，同时渗透了极限思想。采用动态呈现知识，同时很好地处理本节课一大难点，在兼顾学生技能达成的同时加深了学生对圆心、半径、直径等概念的理解。4、 挖掘数学文化现在很多数学老师在数学公开课上总是要秀一把数学文化，好像不去挖掘一点就说明执教者没有文化底蕴没有内涵一样

17、，以至于无论什么课都要掘地三千尺，非要“文化”一下不可。实际上数学文化不是一节数学的点缀，而是要因地制宜适可而止，不能为“文化”而“文化”。圆的认识这一课对数学文化的开掘由来已久，比较成功的范例有张齐华老师唯美的圆，华应龙老师大成若缺的圆。“想不想知道什么是圆？”这一问题对小学生来说有些难度，这是小学生认知水平决定的。但是在学生经历了数次画圆之后抛出这样一个问题，可以引发学生推理思考，有利于学生认识走向深入。“一中同长”短短四字，内涵非常丰富，再次彰显了中国语言和古老文化的魅力。古今融合则更为完整，圆就是一中同长的点的轨迹。轨迹，动态刻画了圆的形成过程。在“没有圆规如何画圆”这一环节中，丁老师适时渗透数学文化，出示史记夏本中记载的大禹治水时画圆的方法：左凖绳，右规矩。引导学生理解“大禹是怎么画的？”，找寻数学本质的影子 ,丁老师还从周髀算经“圆出于方，方出于矩”中探寻到古老的数学文化与朴素的数学极限思想的契合。本节课对于数学文化的挖掘，不是停留在点缀的层面上，不是停留在告知的层面上，而是将古与今，中与外，数学与其他学科整合起来，让学生对数学史料及数学文化的认识不仅知其然，而且知其所以然，感受数学的魅力，感受我们祖先智慧的光辉。（黄毕年摘自段安阳数学工作室）