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1、使用导数解决与不等式有关的问题 (河北省怀来县沙城中学 河北 怀来075400) 摘要：导数是研究函数性质的一种重要工具。无论是证明不等式，还是解不等式，只要在解题过程中需要用到函数的单调性或最值，我们都可以用导数作工具来解决。这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现。 关键词：导数；不等式；单调性；最值 中图分类号：G633.6 文献标识码：B文章编号：1672-1578（2012）05-0136-01 导数是研究函数性质的一种重要工具。例如求函数的单调区间、求最大（小）值、求函数的值域等等。而在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质；因此，很多时侯可以利用导数作为
2、工具得出函数性质，从而解决不等式问题。下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用。 1.利用导数证明不等式 1.1 利用导数得出函数单调性来证明不等式。我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函数的单调性。具体有如下几种形式： 1.1.1 直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。 例：x0时,求证；x x
3、22-ln(1+x)0 证明：设f(x)= xx22-ln(1+x) (x0), 则f 、(x)=x21+xx0,f (x) 所以x0时,f(x) 1.1.2 把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的。 例：已知：a,bR,bae, 求证:abb a, (e为自然对数的底) 证：要证abba只需证lnablnba 即证：blnaalnb0 设f(x)=xlnaalnx (xae)；则f 、(x)=lnaax ,ae,xa lna1, ax0,因而f(x)在（e, +）上递增 ba,f(b)f(a)；故blnaalnbalnaalna=0；即blnaalnb
4、 所以abba成立。 (注意，此题若以a为自变量构造函数f(x)=blnxxlnb (e 则f(x)=bx-lnb ，f(x)0时xblnb 故f(x)在区间（e, b）上的递减,但要证明 eblnb则需另费周折，因此，本题还是选择以a为自变量来构造函数好，由本例可知用函数单调性证明不等式时，如何选择自变量来构造函数是比较重要的。） 1.2 利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式。导数的另一个作用是求函数的最值, 因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立。从而把证明不等式问题转化为函
5、数求最值问题。例、求证：nN*,n3时，2n 2n+1 证明：要证原式，即需证：2n2n10,n3时成立 设f(x)=2x2x1(x3),则f、 (x)=2xln22(x3), x3,f、 (x)23ln320 f(x)在3，+ ）上是增函数，f(x)的最小值为f(3)=23231=10 所以，nN*,n3时，f(n)f(3)0, 即n3时,2n2n10成立， 例、g(x)=(xar-1)2+(bx-1)2 的定义域是A=a,b )，其中a,bR+,a x1k2,(k+1)2 , x2(k+1)2,(k+2)2) 求证: g(x1)+g(x2)4k(k+1)（kN*） 证明：由题知g (x)=
6、2xa2-2a+2bx2-2b2x3 g (x)=2xa2-2a+2bx2-2b2x3=0时x4ax3a2b2+a2bx=0 即(x4a2b2)ax(x2ab)=0,化简得(x2ab)(x2ax+ab)=0 所以x2ax+ab =0或x2ab=0，0 故g 、(x)0时x abb), g、 (x) 因而g(x)在 abb) 上递增，在a,ab) 上递减 所以x=ab）是gA(x)的极小值点， 又gA(x)在区间a,b) 只有一个极值g(ab)=2(ba) 是g(x)的最小值。 所以， g(x1)的最小值为g(k+1)2k2)=2(k+1)2k2-1)2=2(k+1k-1)2=2K2 g(x2)的最小值为2(k+2k+1-1)2=(2k+1-1)2 又2K2+2(k+1)22K2.2(k+1)2=4k(k+1) x1k2,(k+1)2 , x2(k+1)2,(k+2)2 时g(x1)+g(x2) 4k(k+1)（kN*）成立 总之，无论是证明不等式，还是解不等式，只要在解题过程中需要用到函数的单调性或最值，我们都可以用导数作工具来解决。这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现。 参考文献： 1 赵大鹏：3+X高考导练.数学，中国致公出版社 2 王宜学：沙场点兵.数学，辽宁大学出版社 3 状元之路.数学第 4 页 共 4 页
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