福建省三明市清流一中高三上学期期中数学试卷文科解析版

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1、2015-2016学年福建省三明市清流一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数Z满足Z=i（1i），求|Z|=（）ABCD2已知全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，3，4，集合B=2，4，则（UA）B为（）A2，4，5B1，3，4C1，2，4D2，3，4，53如图可表示函数y=f（x）图象的是（）ABCD4函数f（x）=lnx+x2的零点位于区间（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）5已知等差数列an中，a7+a9=16，a4=4，则a6的值是（）A12B8C6D46已知向

2、量=（1，2），=（x+1，x），且，则x=（）A1B2CD07已知是第二象限角，tan=，则sin=（）ABCD8为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=sin3x的图象（）A向右平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向左平移个单位9等比的正数数列an中，若a5a6=9，则log3a1+log3a2+log3a10=（）A12B10C8D2+log3510设，都是锐角，且cos=，sin（）=，则cos=（）ABC或D或11已知0，函数在上单调递减则的取值范围是（）ABCD（0，212已知函数f（x）=2x+1，xN*若x0，nN*，使f（x0）+f（x0+1）+f

3、（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”函数f（x）的“生成点”共有（）A1个B2个C3个D4个二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卷的相应位置）13设a0，b0，且a+b=1，则+的最小值为14已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+4y3的最大值是15已知f（x）=ax3+x2在x=1处的切线方程与直线y=x2平行，则y=f（x）的解析式为16已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是三、解答题：（本大题共6小题，共70分前5题每题12分，最后一题10分）17在ABC中，角A，B，C所对的边

4、分别为a，b，c，且acosC+ccosA=2bcosA（1）求角A的大小；（2）若a=，c=2，求ABC的面积18 p：实数a使得x2ax+10有解，q：实数a满足函数y=ax在定义域内递增（1）p为真时，a的取值范围（2）pq为假，且pq为真时，a的取值范围19围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修，可供利用的旧墙足够长），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽2m的进出口，如图所示已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m设利用旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）（1）将y表示为x的函数，

5、并写出此函数的定义域；（2）若要求用于维修旧墙的费用不得超过修建此矩形场地围墙的总费用的15%，试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用20已知等差数列an中，a1=2，a3+a5=10（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=an2n，求数列bn的前n项和Sn21设函数f（x）=lnx+，mR（）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（）讨论函数g（x）=f（x）零点的个数22已知：直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为：2cos2=1（1）求曲线C的普通方程；（2）求直线l被曲线C截得的弦长2015-2016学年福建省三明市清流一中高三（上

6、）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数Z满足Z=i（1i），求|Z|=（）ABCD【考点】复数求模【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，然后代入复数的模得答案【解答】解：Z=i（1i）=1+i，|Z|=故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的计算题2已知全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，3，4，集合B=2，4，则（UA）B为（）A2，4，5B1，3，4C1，2，4D2，3，4，5【考点】

7、交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】根据全集U及A求出A的补集，找出A补集与B的并集即可【解答】解：全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，3，4，UA=2，5，B=2，4，（UA）B=2，4，5故选：A【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键3如图可表示函数y=f（x）图象的是（）ABCD【考点】函数的概念及其构成要素【专题】函数的性质及应用【分析】利用函数的定义分别对四个图象进行判断【解答】解：由函数的定义可知，对定义域内的任何一个变化x，有唯一的一个变量y与x对应则由定义可知A，B，C中图象均不满足函数定义故选：D【点评】本题主要考查了函数的定义以

8、及函数的应用要求了解，对于一对一，多对一是函数关系，一对多不是函数关系4函数f（x）=lnx+x2的零点位于区间（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【考点】函数零点的判定定理【专题】函数的性质及应用【分析】求导函数，确定函数f（x）=lnx+x2单调增，再利用零点存在定理，即可求得结论【解答】解：求导函数，可得f（x）=+1，x0，f（x）0，函数f（x）=lnx+x2单调增f（1）=ln1+12=10，f（2）=ln20函数在（1，2）上有唯一的零点故选：B【点评】本题考查函数的零点，解题的关键是确定函数的单调性，利用零点存在定理进行判断5已知等差数列an中，a7+a9=16

9、，a4=4，则a6的值是（）A12B8C6D4【考点】等差数列的通项公式【专题】函数思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由题意和等差数列的性质可得a8=8，a4+a8=2a6，代值计算可得【解答】解：等差数列an中a7+a9=2a8=16，a8=8，又a4=4，a4+a8=2a6，a6=（4+8）=6故选：C【点评】本题考查等差数列的通项公式和性质，属基础题6已知向量=（1，2），=（x+1，x），且，则x=（）A1B2CD0【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【专题】计算题【分析】本题考查知识点是两个平面向量的垂直关系，由，且=（1，2），=（x+1，x），我们结合“两个向量若垂直，

10、对应相乘和为0”的原则，易得到一个关于x的方程，解方程即可得到答案【解答】解：，=0，即x+12x=0，x=1故答案选A【点评】判断两个向量的关系（平行或垂直）或是已知两个向量的关系求未知参数的值，要熟练掌握向量平行（共线）及垂直的坐标运算法则，即“两个向量若平行，交叉相乘差为0，两个向量若垂直，对应相乘和为0”7已知是第二象限角，tan=，则sin=（）ABCD【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的化简求值【专题】三角函数的求值【分析】直接利用同角三角函数的基本关系式，求解即可【解答】解：tan=，cos=sin，sin2+cos2=1，sin2=，又是第二象限角，sin0，sin=，

11、故选：C【点评】本题考查同角三角函数基本关系式，三角函数值在各象限的符号要做到牢记公式，并熟练应用8为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=sin3x的图象（）A向右平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向左平移个单位【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】根据 函数y=sin3x+cos3x=sin3（x+），利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，可得结论【解答】解：函数y=sin3x+cos3x=sin（3x+）=sin3（x+），将函数y=sin3x的图象向左平移个单位可得函数y=sin3x+cos3x的图象，故选：D

12、【点评】本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题9等比的正数数列an中，若a5a6=9，则log3a1+log3a2+log3a10=（）A12B10C8D2+log35【考点】等比数列的性质【专题】计算题【分析】由a5a6=9，取常数列an的各项都为3，代入所求的式子中，利用对数的运算法则即可求出所求式子的值【解答】解：取特殊数列an=3，则log3a1+log3a2+log3a10=10，故选B【点评】此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用对数的运算法则化简求值，是一道基础题本题是利用特殊值的方程来解的，此方法是解选择题的一种好方法10设，都是锐角，且cos=，si

13、n（）=，则cos=（）ABC或D或【考点】两角和与差的余弦函数【专题】三角函数的求值【分析】注意到角的变换=（），再利用两角差的余弦公式计算可得结果【解答】解：，都是锐角，且cos=，sin（）=，sin=；同理可得，cos=cos（）=coscos（）+sinsin（）=+=，故选：A【点评】本题考查两角和与差的余弦公式，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题11已知0，函数在上单调递减则的取值范围是（）ABCD（0，2【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】计算题；压轴题【分析】法一：通过特殊值=2、=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果法二：可以通过

14、角的范围，直接推导的范围即可【解答】解：法一：令：不合题意 排除（D）合题意 排除（B）（C）法二：，得：故选A【点评】本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力12已知函数f（x）=2x+1，xN*若x0，nN*，使f（x0）+f（x0+1）+f（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”函数f（x）的“生成点”共有（）A1个B2个C3个D4个【考点】函数的值；数列的求和【专题】压轴题；新定义【分析】由f（x0）+f（x0+1）+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+2（x0+1）+1+2（x0+n）+1=63，化简可得（n+1）（2x0+n

15、+1）=63，由，得或，解出即可【解答】解：由f（x0）+f（x0+1）+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+2（x0+1）+1+2（x0+n）+1=63所以2（n+1）x0+2（1+2+n）+（n+1）=63，即（n+1）（2x0+n+1）=63，由，得或，解得或，所以函数f（x）的“生成点”为（1，6），（9，2）故选B【点评】本题考查数列求和及函数求值，考查学生对问题的阅读理解能力解决问题的能力二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卷的相应位置）13设a0，b0，且a+b=1，则+的最小值为4【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】根据基本不等式

16、的应用，即可求+的最小值【解答】解：a+b=1，+=（a+b）（+）=2+，当且仅当，即a=b=时，取等号故答案为：4【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式成立的三个条件14已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+4y3的最大值是3【考点】简单线性规划【专题】不等式【分析】利用z=2x+4y3表示与y=x+平行且与满足约束条件的实数x、y所构成的OAB相交的直线，进而计算可得结论【解答】解：依题意，满足约束条件的实数x、y所构成的图象为OAB，其A（2.5，2.5），B（5，0），令z=2x+4y3=0，则y=x+，于是z=2x+4y3表示与y=x+平行且与OAB相交的直线，当其

17、过原点时取最大值为3，故答案为：3【点评】本题考查简单线性规划，考查数列结合，注意解题方法的积累，属于中档题15已知f（x）=ax3+x2在x=1处的切线方程与直线y=x2平行，则y=f（x）的解析式为f（x）=x3+x2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用；直线与圆【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a，进而得到f（x）的解析式【解答】解：f（x）=ax3+x2的导数为f（x）=3ax2+2x，在x=1处的切线斜率为3a+2，由切线与直线y=x2平行，可得3a+2=1，解得a=，则f（x）=x3+x2故答

18、案为：f（x）=x3+x2【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件，考查运算能力，属于基础题16已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（1，0）【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】函数的性质及应用【分析】令y=k，画出f（x）和y=k的图象，通过读图一目了然【解答】解：画出函数f（x）的图象（红色曲线），如图示：，令y=k，由图象可以读出：1k0时，y=k和f（x）有3个交点，即方程f（x）=k有三个不同的实根，故答案为：（1，0）【点评】本题考察了根的存在性问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题三、解答题：（本大题共6小

19、题，共70分前5题每题12分，最后一题10分）17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+ccosA=2bcosA（1）求角A的大小；（2）若a=，c=2，求ABC的面积【考点】余弦定理【专题】解三角形【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，通过两角和与差的三角函数化简求解即可（2）通过余弦定理求出b，然后求解三角形的面积【解答】解：（1）acosC+ccosA=2bcosA由正弦定理可得：sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA.3所以sin（A+C）=2sinBcosA，即sinB=2sinBcosA由sinB0.6由于0A，故.7（2）由余弦定理得，

20、所以AC=1.12故.14【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力18p：实数a使得x2ax+10有解，q：实数a满足函数y=ax在定义域内递增（1）p为真时，a的取值范围（2）pq为假，且pq为真时，a的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】函数思想；综合法；简易逻辑【分析】（1）根据二次函数的性质求出a的范围即可；（2）通过讨论p，q的真假，得到关于a的不等式组，解出即可【解答】解：（1）p为真时：0，=a240，解得：a2或a2，当p为真时：a的范围是（，2）（2，+）；（2）q为真时：a1，由pq为假，pq为真知：p，q一真一假，p真q假时：，解得：a2；p假q真时：，解

21、得：1a2，综上：a（，2）（1，2时，结论成立【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数以及指数函数的性质，是一道基础题19围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修，可供利用的旧墙足够长），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽2m的进出口，如图所示已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m设利用旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）（1）将y表示为x的函数，并写出此函数的定义域；（2）若要求用于维修旧墙的费用不得超过修建此矩形场地围墙的总费用的15%，试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最

22、小，并求出最小总费用【考点】根据实际问题选择函数类型【专题】函数的性质及应用【分析】（1）设矩形场地的宽为am，然后求出y的表达式，注明x0（2）利用基本不等式直接求出费用的最小值即可【解答】（本小题满分14分）解：（1）设矩形场地的宽为am，则y=45x+180（x2）+1802a=225x+360a360，ax=360a=，y=225x+，x0；（2）x0y=225x+2360=10440 当且仅当225x=，即x=24时，等号成立当x=24时，修建此矩形场地围墙的总费用的15%为：1566元，用于维修旧墙的费用为：1080元10801566，当x=24m时，修建此矩形场地围墙的总费用最小

23、，最小总费用是10440元【点评】本题考查函数的综合应用，基本不等式在最值中的应用，考查分析问题解决问题的能力20已知等差数列an中，a1=2，a3+a5=10（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=an2n，求数列bn的前n项和Sn【考点】数列的求和；根的存在性及根的个数判断【专题】转化思想；作差法；等差数列与等比数列【分析】（1）设等差数列an的公差为d，运用等差数列的通项公式可得d=1，进而得到所求通项公式；（2）求得bn=an2n=（n+1）2n，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，a1=2，a3+

24、a5=10，即为2a1+6d=10，解得d=1，则an=a1+（n1）d=2+n1=n+1；（2）bn=an2n=（n+1）2n，前n项和Sn=22+322+423+（n+1）2n，2Sn=222+323+424+（n+1）2n+1，两式相减可得，Sn=4+22+23+24+2n（n+1）2n+1=2+（n+1）2n+1，化简可得，前n项和Sn=n2n+1【点评】本题考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查等比数列的求和公式的运用，属于中档题21设函数f（x）=lnx+，mR（）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（）讨论函数g（x）=f（x）零

25、点的个数【考点】利用导数研究函数的极值【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】（）求出导数，令它大于0，得到增区间，令小于0，得到减区间，从而求出极小值；（）求出g（x）的表达式，令它为0，则有m=x3+x设h（x）=x3+x，其定义域为（0，+）则g（x）的零点个数为h（x）与y=m的交点个数，求出单调区间得到最值，画出h（x）的图象，由图象即可得到零点个数【解答】解：（）当m=e时，f（x）=lnx+，其定义域为（0，+）f（x）=令f（x）=0，x=ef（x）0，则0xe；f（x）0，则xe故当x=e时，f（x）取得极小值f（e）=lne+=2（）g（x）=f（

26、x）=，其定义域为（0，+）令g（x）=0，得m=x3+x设h（x）=x3+x，其定义域为（0，+）则g（x）的零点个数为h（x）与y=m的交点个数h（x）=x2+1=（x+1）（x1）x（0，1）1（1，+）h（x）+0h（x）递增极大值递减故当x=1时，h（x）取得最大值h（1）=作出h（x）的图象，由图象可得，当m时，g（x）无零点； 当m=或m0时，g（x）有且仅有1个零点； 当0m时，g（x）有两个零点【点评】本题考查导数的综合运用：求单调区间和求极值，考查函数的零点问题，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题22已知：直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为：2cos2

27、=1（1）求曲线C的普通方程；（2）求直线l被曲线C截得的弦长【考点】直线的参数方程；直线与圆锥曲线的综合问题；简单曲线的极坐标方程【专题】计算题【分析】本题考查直线与圆的位置关系问题，直线被圆所截得的弦长可用代数法和几何法来加以求解【解答】解：（1）由曲线C：2cos2=2（cos2sin2）=1，得2cos22sin2=1，化成普通方程x2y2=1（2）（方法一）把直线参数方程化为标准参数方程，把代入，整理，得t24t6=0，设其两根为t1，t2，则t1+t2=4，t1t2=6，从而弦长为（方法二）把直线l的参数方程化为普通方程为，代入x2y2=1，得2x212x+13=0，设l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2），则，【点评】方法一：利用了直线参数方程中参数的几何意义方法二：利用了直线被圆所截得的弦长公式