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1、非线性科学与复杂系统N讲解（1）非线性耦合振子coupling oscilatorsjjjjjTdttdMsin2)(1122弹簧扭矩i弹簧第1页/共22页小摆幅，线性化linearization11202jjjjjM 行波解.)()()(ccAetkajtikjcc. 前项的复共轭)2(sin4cos12220202kaMkaMMT20（波动复习）色散关系dispersion lawkaa0*第2页/共22页00k禁带：此时 为虚数，对应指数衰减波。 线性波动方程的解是简单的，任意解都可以展开为各种行波的叠加。An arbitrary wave can be expressed as a s
2、uperposition of plane waves波动在介质中传播，能量不损耗。行波特点：波以固定的形状在空间运动。*0导带：（波动复习）band gaptransparent band第3页/共22页波包：wave packet（波动复习）kkjjtkft)()()()()(xxx)(kfkkajxjdkktkxikftx)(exp)(),(第4页/共22页kkkfkf200)(exp)(tkx)(xx0 xdkktxikfdkktkxikftx),(exp)()(exp)(),(波包分波相位波数分布（波动复习）第5页/共22页)2/, 2/(00kkkkk0kgdkd如果相位在随k快速
3、变化，振幅近似等于零。因此波包中心可以定义为相位随k变化最慢的地方：000,xkdkdtkx000kkdkddkdtx群速度group velocity（波动复习）第6页/共22页波幅明显不等于零的地方，位相在)2/, 2/(00kkkkk缓慢变化。此范围的边界可由下式估计：20kdkdk2000 xkxxkdkddkdtxkkk当波包为高斯型时，等号成立。2xk可证对任意波包，uncertainty relation（波动复习）波包不确定性关系第7页/共22页对一个给定, k的分波，它的波形运动速度由等相面的运动速度给出，0 xkdtdkxc 相速度：如果线性依赖于k，则相速度等于群速度gc
4、如果非线性依赖于k，则相速度与 有关，k即不同颜色的波速度不同。这个现象称为色散。)(k色散关系：dispersion law（波动复习）phase velocity第8页/共22页)(xx0 x)(xx0 xxx4222kkc（波动复习）tfasterslower第9页/共22页非线性方程effect of nonlinearity22211),(2xtxajjjajxjsin),(),(2222ttxxtxsine-Gordon方程jjjjjTdttdMsin2)(1122行波（平面波）不是解。但是否存在类似行波的形状固定的解呢？is there wave of fixed form?第1
5、0页/共22页形状固定的波的一般形式：)(),(txvxt 假如形状固定的波存在，把其一般形式代入波动方程，from the wave equation, one has22221sin)(vvdd221)cos(2)(vEvdd积分一次：after the first integration 通解即使存在，一般也很难找到通解。if there is , it must be a function of xi 第11页/共22页但对这个问题，如果1E可以得到简单的解：1, 1Ev)(1exparctan4)(22vtxvvvtx1, 1Ev当有有)(1exparctan4)(22vtxvvvt
6、x当200亮孤子bright soliton暗孤子dark soliton第12页/共22页 在线性系统中，仅当介质没有色散时才存在形状固定的行波。 在非线性系统中，色散可以被非线性效应抵消，出现形状固定的孤波。 通过下面的分析大致可看到这种可能性： 因为频率与振幅有关，非线性项从任意一个给定频率（波数）的波中产生新的不同频率（波数）的波，所以波包的波数不确定性 由于非线性作用变大。有不确定性关系知，波包的空间不确定性 相应变小。 所以非线性作用可以抵消使波包散开的色散。kxxaxxaxxx)(20320 第13页/共22页（2）Korteweg-de-Vries (KdV) 方程1895年K
7、ruskal和de Vries导处长波和小振幅近似下的水面波方程0),(),(),(),(33xtxuxtxutxuttxu缘由： 它其实是非常普遍的一个具有色散和非线性的方程。 先看一个线性的向右传播的波动方程：0),(),(xtxucttxukc无色散：第14页/共22页存在弱色散时，42222)(kkckf22ckkkkc2xtxucttxu),(),(33),(),(),(xtxuxtxucttxu存在弱非线性项（最高到2次）时，方程有一般的形式033tuuxuuxuxuctu,都是小量，所以),(oxuctu0)(33xuxuucctu第15页/共22页xcxtctucu111)()
8、()(再作标度变换033xuxuutu参考系变换ctxx0)(33xuxuuctu得KdV方程0)(33xuxuucctu由可见：非线性项使得分波的速度依赖于分波的振幅。第16页/共22页对形状固定的波，)()(),(uvtxutxu0)(33duddduvu代入KdV方程得Auvudud)2(222积分一次得再积分一次得)(6633232uFBAuvuuddu0)(uF设的三个根为321,ccc)(uF1c2c3c32131cccv3211332216161cccBccccccA第17页/共22页解：kvtxcccncccu,12)(132232kzcn ,其中为雅可比椭圆函数，周期为2k1
9、323cccck故u的周期为1334cckT当 k=0时，zzcncos0 ,)(122cos13vtxccacu第18页/共22页当k=1 时，)(sec 1 ,hzcnvtxahauu12sec23auvzzeezh2)(secu其中为无穷运处的均匀值。 KdV孤子解：速度正比于振幅a，波宽反比于a的平方根。 应用：空气动力学，水波，磁流体波，离子声波等。第19页/共22页孤子解为什么没有色散？Why soliton has no dispersion?第20页/共22页无穷多守恒量令22xu0633xuxuutu代入0233222xxt得令322223xj0 xjt得守恒流方程注意 是任意参数22100 xjtnndxtxuInn),(守恒量：第21页/共22页
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