轴对称和全等三角形专题

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1、.全等三角形培优辅导知识要点：全等三角形的定义：能够的两个三角形。全等三角形的性质：全等三角形对应边,对应角,对应边上的高,对应边上的中线,周长,面积。全等变换的定义：只改变图形的,而不改变其的图形变换。判定三角形全等公理：边角边公理：。角边角公理：。推论：AAS 边边边公理：。斜边直角边公理：的两个直角三角形全等。用全等三角形证明线段相等或角相等的思路:观察要证的线段或角或者用等量代换后的线段或角在哪两个可能全等的三角形之中；分析要证全等的这两个三角形,已知什么还缺什么条件；已知条件分为两种：一个是题目给出的；一个是图形中所隐含的,如公共角、公共边、对顶角等；设法证明出所缺条件；当待证得线段

2、或角不分布在两个三角形中也找不到等量代换时,常需要添加辅助线构造出三角形,使它们分别包括一个所要证的线段或角。证题时常用的方法：1证角相等的方法：对顶角相等；同角或等角的余角或补角相等；平行线同位角相等,内错角相等；角平分线定义；等式性质；全等三角形对应角相等。2证线段相等常用方法：中点定义；全等三角形对应边相等；等式性质；中垂线定义；角平分线上的点到角的两边距离相等；等腰等边三角形的性质4证题常用分析方法：综合法：从已知出发用学过的定义、公理、定理得出结论；分析法：从结论出发反过来寻找能使结论成立所需要的条件,这样一步一步地逆求,一直到是结论成立的条件与已知条件吻合；两头凑的方法：综合上两种

3、方法来证明结论。角平分线的定义：把一个角分成两个相等的角的射线。角平分线的性质定理：。逆定理也同时成立。逆定理也常作为角平分线的判定定理。全等三角形一些常见题型：一、 探索条件型此类型题给出了结论,要求探索使该结论成立所具备的条件。一般地,依据三角形全等地判定方法,补充所缺少的条件。例：如图,已知MB=ND,MBA=NDC,下列哪些条件不能判定ABMCDNA.M=N B.AB=CDC.AM=CN D.AMB=NCD二、探索结论型此类型题给出了限定条件,但结论并不唯一,要求根据所给条件探索可能得到的结论。例. 20XXXX自治区如图2,AB=AD,BC=CD,AC和BDABCDE相交于E。由这些

4、条件可以得出若干结论,请你写出其中3个正确结论。不要添加字母和辅助线,不要求证明结论1：结论2：结论3：三、探索方案型此类型题首先提供一个实际问题背景,按照问题的要求研究解决问题的合理方案。例：20XXXX市如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是拿去配. 四、探索编拟问题型例.如图,在AFD和BEC中,点A、E、F、C在同一直线上,有下列四个论断： AD=CB,AE=CF,BD,AC.请用其中三个作为条件余下一个作为结论,编一道数学题,并写出解答过程。三角形全等的经典类型类型一平移法构造全等三角形例已知：如图,在ABC中,BE是角平

5、分线,ADBE,垂足为D。求证：BAD=DAE+C 类型二翻折法构造全等三角形例已知：如图,OP是AOC和BOD的平分线,OA=OC,OB=OD求证：AB=CD类型三补短法构造全等三角形例已知：如图,在ABC中,C=2B,BAD=CAD,证明：类型四截长法构造全等三角形例如图,已知在ABC中,为边上的高2C=B求证：类型五证明三点共线例如图,BD、CE是ABC的中线,延长BD到F点,使DF=BD,延长CE到G点,使EG=CE求证：点G、A、F在一条直线上类型六角平分线与全等的综合应用例如图,OD平分AOB,在OA、OB边上取OA=OB,PMAD。求证：PM=PN小专题证明三角形全等的基本思路类

6、型1已知两边对应相等方法1寻找第三边对应相等,用SSS1把四根木条做成如图所示的四边形ABCD,其中ABAD,CBCD,有人说它可以当成一个平分角的仪器,请你说明其中的道理方法2寻找夹角对应相等,用SAS2如图,ABAD,ACAE,BADCAE.求证：BCDE.类型2已知两角对应相等方法1寻找夹边对应相等,用ASA3如图,已知点D在ABC的BC边上,DEAC交AB于E,DFAB交AC于F.求证：AEDF.方法2寻找任一对应角的对边对应相等,用AAS4两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF,按如图所示的方式叠放,阴影部分为重叠部分,点O为边AC和DF的交点,不重叠的两部分AOF与DOC是否全等？

7、为什么？类型3已知一边一角对应相等方法1有一边和该边的对角对应相等,寻找另一角对应相等,用AAS5如图,四边形ABCD中,ADBC,A90,BDBC,CEBD于点E.求证：ADBE.方法2有一边和该边的邻角对应相等,寻找夹该角的另一边对应相等,用SAS6如图,B、E、F、C四点在同一条直线上,ABDC,BECF,BC,求证：OAOD.方法3有一边和该边的邻角对应相等,寻找另一角对应相等,用AAS或ASA7已知：如图,D是AC上一点,ABDA,DEAB,BDAE.求证：BCAE.类型4全等基本图形归纳8如图,在ABC中,ACB90,A20,若将ABC沿CD折叠,使B点落在AC边上的E处,则ADE

8、的度数是 A30B40C50 D559如图,已知点E,C在线段BF上,BECF,ABDE,ACBF.求证：ABCDEF.10如图,RtABC中,C90,将ABC沿AB向下翻折后,再绕点A按顺时针方向旋转度,得到RtADE,其中斜边AE交BC于点F,直角边DE分别交AB、BC于点G、H.求证：AFBAGE.11、阅读理解：如图,在ABC中,若AB10,AC6,求BC边上的中线AD的取值范围解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DEAD,再连接BE,把AB,AC,2AD集中在ABE中利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_；问题解决：如图,在ABC中,D是BC边上的中点,DEDF于点

9、D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证：BECFEF；问题拓展：如图,在四边形ABCD中,BD180,CBCD, BCD140,以C为顶点作一个70角,角的两边分别交AB,AD于E,F两点,连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系,并加以证明轴对称知识点等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。其中相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底,两腰所夹得角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角。定理1：等腰三角形的两个底角相等等边对等角。此定理常用来证明同一个三角形中两角相等。此定理反过来也成立即等角对等边。常用来证明线段相等定理2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边

10、上的高相互重合。三线合一。只要知道其中一个结论,就可以得出其他两个结论。注意：等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角或直角,但顶角可以为钝角或直角。设腰厂为a,底边长为b,则b/2a。等腰三角形中常用到的辅助线：1通常做底边上的中线、高、或者顶角的平分线。2边有中点时常常要利用它做出中线。有二倍角时常用到的辅助线：1构造等腰三角形,使二倍角是等腰三角形的顶角的外角；2平分二倍角；3给较小的角加倍。知识重点掌握轴对称的应用,能判别轴对称图形。知道垂直平分线的性质,会用这些性质证明一些结论。最重要的是会用等腰三角形的性质,会证明等腰三角形。典型例题类型一等腰三角形的热点问题例如图,AD是ABC的角

11、平分线,BEAD交AD的延长线于E,EFAC交AB于F。证明：AF=FB类型二等腰三角形的综合应用例如图,在ABC中,AB=AC,AEBC于E,在BC上截取CD=CA,连接AD,若AD=BD,则DAE的度数是类型三利用垂直平分线的性质解题例如图,AB=AC,DE垂直平分AB交AB于D,交AC于E。若ABC的周长为28,BC=8,求BCE的周长.类型四构造直角坐标系解题例证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。类型五转化思想例如图,在ABC中,BA=BC,B=120,AB的垂直平分线交AC于D。求证：AD=1/2 DC.类型六数形结合例一搜轮船由西向东航行,在A处测得小岛P的方位是北偏东75,又航行7海里后,在B处测得小岛P的方位是北偏东60。若小岛周围3.8海里内有暗礁,问该船一直向东航行有无危险。类型七分类讨论例等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30,则顶角的度数是A 60 B 120 C 60或120 D 60或150类型八方程思想例ABC是等腰三角形,分别以ABC的腰为边,向外做等边三角形ADB和等边ACE。若DAE=DBC,求ABC三个内角的度数。.