学而思寒假七年级尖子班讲义第3讲平面直角坐标系

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1、. . 领先中考培优课程MATHEMATICS3 平面坐标系知识目标目标一 理解有序数对、有序数对、点的坐标的概念目标二 掌握象限、坐标轴、坐标轴夹角平分线的点的坐标特征目标三 灵活运用点和线的平移变换。点的对称变换求坐标模块一 平面直角坐标系的相关概念知识导航1有序数对 有顺序的两个数a 与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a,b),利用有序数对可以可以很准确的表示出一个位置。 在平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系、水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向：竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面坐标系的原点。如左图，建立了平面直角坐标系以

2、后，坐标平面就被两条坐标轴分成了,四个部分,每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。2平面直角坐标系 第一象限 第二象限原点 第三象限 第四象限3、 点的坐标 平面的点可以用一个有序数对表示，这个有序数对就叫做点的坐标。对于平面任意一点，过该点分别向横轴、纵轴作垂线，垂足在横轴、纵轴上对应的数分别叫做该点横坐标、纵坐标。如图，点p为坐标平面内一点，过点p作x轴的垂线，垂足M在x轴上对应点的数是-2，则-2就是p的横坐标；过点p作y轴的垂线，垂足N在y轴上对应的数为3，则3为点p的纵坐标，点p就可以用有序数对（-2，-3）来表示，记作p（-2

3、,3）。由坐标确定点的方法：要确定由坐标（a,b)所表示的点p的位置，先在x轴上找到表示a的点，过这点作x轴的垂线；再在y轴上找到表示b的点，过这点作y轴的垂线，两条垂线的交点p即为所求的位置。由点求坐标的方法：先由已知点p分别向x轴和y轴作垂线，设垂足分别为A和B，再求出A在x轴上的坐标a和B在轴上的坐标b，则点p的坐标为（a,b)巩固练习 点的坐标(1) 在图1的平面直角坐标系中描出以下个点：A(3，4),B(-2，3),C(-5，-2),D(4，-1),E(1，0),F(0，3),G(-2，0),H(0，-4).(2) 写出图2中点A、B、C、D、E、F、G、H的坐标。 图1 图24 象

4、限与坐标轴的点坐标特征象限的点p（a,b)坐标轴上的点p(a,b)点p在第一象限a0 , b0点p在x轴正半轴a0 , b=0点p在第二象限a0， b0点p在x轴负半轴a0， b=0点p在第三象限a0， b0点p在y轴正半轴a=0， b0点p在第四象限a0 , b0点p在y轴负半轴a=0， b05、 坐标轴夹角平分线上的点的特征若点p(a,b)在一、三象限的角平分线上，则a=b,例如p(3,3) p(-5,-5)等；若点Q(a,b)在二、四象限的角平分线上，则a=-b,例如Q(-1,1) p(4,-4)等;Q（n,m） p(a,b)6、 平面直角坐标系点到坐标轴的距离公式 点p(a,b)到x轴

5、的距离为；点p（a,b)到y轴的距离为，题型一 坐标系概念应用例1(1) 若用有序数对（3,6）表示教室中前起第3排，左起第6列的位置，那么前起第2排，左起第4列的位置有序数对可表示为 。(2) 点（2,1）在第象限；点（-2,1）在第象限； 点（-2，-1）在第象限；点（2，-1）在第 象限。（3） 若点（a+1,-5)在第三象限，则a的取值围为 ；若点（-5,a+1)在第二象限，则a的取值围为 ；（4） 点p（6，x-5)在第四象限，则x的取值围是 ； 点p（x-1，4-x)在第一象限，则x的取值围是 ；（5青山区2015-2016年七下期中）点A在x轴上，位于原点右侧，距离原点2个单位，

6、则点A坐标为 。（洪山区2015-2016七下期中）若点p(m+3,m+1)在x轴上，则点p的坐标为 。（6）已知点P(x,y)在第四象限，且=3，=5，则p点的坐标为 。练（1） 实数x,y,满足，则点p(x,y)的位置在第象限；（2） （汉阳区2015-2016七下期中）写出一个在x轴正半轴上点的坐标 。例2（1）（武昌七校2015-2016七下期中）点p(-5,6)到x轴的距离是 ，点Q(3,6)到y轴的距离是 ，线段pq的长度是 。（2）（江汉区2015-2016七下期中）已知点A（4,3），ABy轴，且AB=3，则B点的坐标为练（1） （江岸区2015-2016七下期中）点M(-3,

7、2)到x轴的距离是 。（2） （硚口区2015-2016七下期中）点A（2,5），点B在过A点且平行于x轴的直线上，点B到点A的距离是4个单位，则点B的坐标是 。例3（1） 已知点p位于y轴右侧，距y轴3个单位长度，位于x轴的上方，距x轴4个单位长度，则点p的坐标是（2）已知点p的坐标（2-a,3a+6),且点p到两坐标轴的距离相等，则点p的坐标是 。（3） 点M在第一、三象限的角平分线上，且到x轴的距离为2，则点M的坐标是 。（4） 点A（5，y-1),B(x+3,2)都在第二、四象限的角平分线上，则x+y= 。练（1）已知A（5，y-1),B(x+3,-2)都在第一、三象限的角平分线上，则

8、x= ,y= （2）点p(2x,x+3)在坐标轴角平分线上，则点Q（-x+2,2x+3)坐标是题型二 建立平面直角坐标系例4(1) (江岸区2015-2016七下期中）如图，由小正方形组成格点图形，已知格点A坐标为（-1，-2），则格点B的坐标为 。(2) （洪山区2015-2016七下期中）如下图的象棋盘上，若“帅”位于点（1-2）上，“相”位于点（3，-2）上，则：“炮”位于点的坐标是多少？（3） 小明从点p出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用（-40，-30）表示，那么（10,20）表示的位置是哪个点？点A和点D的坐标分别是多少？练（青山区2015-2016七下

9、期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC，正方形ABDE、正方形ACGF的顶点均在格点上。（1） 以格点为原点，建立适宜的平面坐标系，使得B/C两点的坐标分别为B(-1，-3),C(4，-3),则点A的坐标为 ；点D的坐标为 ；（2） 利用面积计算线段AB=，AC= ,则AB/AC/BC三条线段的数量关系为模块二、平面直角坐标系中的平移变换 把一个图形整天沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与远图形的形状和大小完全相同。图形的这种移动，叫做平移。（图形平移的方向，不限于是水平的，也可以竖直或倾斜） 新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点平移后得到的知识导航1平

10、移 新图形中的每一点，都是由原图形中某一点平移后的到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的连线段平行（或在同一条直线上）且相等，可见原图形中每一个点的平移方向和平移距离均相同。2、坐标系中点的平移平移前平移方式平移后点p( a,b)向左平移m个单位长度点( a-m,b)点p( a,b)向右平移m个单位长度点( a+m,b)点p( a,b)向上平移m个单位长度点( a,b+n)点p( a,b)向下平移n个单位长度点( a,b-n)3、 坐标系中图形的平移 把一个图形中各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，即图形整体向右（或向左）平移a个单位。 把一个图形中各个点的横坐标都加上（或减去）一个正

11、数b，即图形整体向右（或向左）平移b个单位.如左图，线段AB向下平移3个单位长度得到线段,线段上的每一个点的横坐标不变，纵坐标减去3.再向右平移5个单位长度得到线段,线段上每一个点横坐标加5，纵坐标不变。例5（1） 已知点A的坐标为（3,5），则点A：先向上平移3个单位，则点坐标为 ；再向下平移5个单位，则点坐标为 ；再向左平移7个单位，则点坐标为 ；再向右平移9个单位，则点坐标为 ；（2） 已知点B的坐标为（3,5），则点B：先向上平移a个单位，则点坐标为 ；再向下平移b个单位，则点坐标为 ；再向左平移c个单位，则点坐标为 ；再向右平移d个单位，则点坐标为 ；练 （江汉区2015-2016七

12、下期中）如图，三角形ABC经过平移后，使点A与点重合，（1） 画出平移后的三角形;（2） 写出平移后三角形另外两个顶点的坐标为（ ）（ ）；（3） 若三角形有一点p(a,b),经过平移后的对应点的坐标为 （ ）；例6 （1） 点p(m,n)向右平移2个单位，向下平移3个单位得（3,5），则点坐标为 ； (2) 点p(m-1,2n+1)向右平移3个单位，向下平移2个单位得（n,3m），则点坐标为 ； (3)已知AB两点的坐标分别为（1,0）（0,2），若将线段AB平移到，点、的坐标分别为（2，a)、（b,3),则a+b= .练（1）若将点p(a-2,b+1)向右平移3个单位，再向下平移2个单位，

13、得到点（2b,3a），则点坐标. (2)已知AB两点的坐标分别为A（3,4）（2,20），若将线段AB平移至，点、求点的坐标；模块三 平面直角坐标中的对称变换知识导航1轴对称 : 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说“成轴对称”），这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。对称点所连的线段的中点在对称轴上，并且垂直于对称轴，即对称点到对称轴的距离相等。如左图，点p与，点与关于x轴对称，点p与，点与关于y轴对称.2坐标系中对称点的坐标关系对称前对称方式对称后点p( a,b)关于x轴对称点( a,-b)点p( a,b)关于

14、y轴对称点( -a,b)点p( a,b)关于一、三象限角平分线对称点( b,a)点p( a,b)关于二、四象限角平分线对称点(-b ,-a)点p( a,b)关于原点对称（原点为中点）点(-a ,-b)点p( a,b)关于(m,n)点对称（为中点）点(2m-a ,2n-b)对称前对称方式对称后点p( a,b)关于平行于y轴的直线x=m对称点(2m-a ,b)点p( a,b)关于平行于x轴的直线y=m对称点(a ,2n-b)巩固练习：关于特殊直线的对称点的坐标题型一 关于特殊直线对称例7 （1） （硚口区2015-2016七下期中）点（3-2）关于x轴对称的点 的坐标是 ；（2）点p( 2,3)关

15、于x轴对称的点的坐标是 ， 关于y轴对称的点的坐标是 ； 关于x=-2对称的点的坐标是 ，关于y=4对称的点的坐标是 ； 关于y=x轴对称的点的坐标是 ，关于y=-x轴对称的点的坐标是 ； （3） 点p(a+3b,3)与点（-5，a+2b)关于x轴对称,则a= ，b= 。（4） 点p(1,a-2)与关于x轴对称的点在第一象限，则a的取值围 。（5） 点p(a-1,3-2a)关于一、三象限角平分线对称,点在第二、四象限角平分线上，则a= .练（1） 点（1,2）关于x轴对称点的坐标是 ， 关于y轴对称点的坐标是； 关于x=-1对称点的坐标是 ， 关于y=1对称点的坐标是 ； 关于y=x对称点的坐

16、标是 ，关于y=-x对称点的坐标是 ；（2）p(3m+2,2n-1)关于x轴对称点在第三象限，求m,n的取值围。题型二关于点对称例8 （1）点（3，8）与点 关于原点对称，与点（1,3）关于点对称，与点（ ）关于点（2,1）对称。（2）点（a,b)与点关于原点对称，与点关于点（2,1）对称。练（1） 点（2,7）关于原点对称的点坐标是 ， 点（2,7）关于点（5,1）的对称点的坐标是（2）点（a,b)关于点（2,7）对称的点坐标是 ,点（a,b)关于点（2a+1,3b-2)的对称点的坐标是数学趣题 正整数集只是有理数集合的一部分，有趣的是，德国数学家康托尔（1845-1918）曾将所有有理数像

17、正整数那样排成一列纵队，从而和正整数集一一对应起来，让我们跟随康托尔的思路吧！任一个有理数都可以写成一个既约分数（p，q都是整数），它可以对应着网格纸（如图）上的一个点，即p所在行与q所在列的交点，记为点（q，p） 如对应图中的点A(3，1),这样，每个有理数对应着网格纸上的一个格点（水平线与竖直线的交叉点），而康托尔用图中的方法从中心O出发“螺旋式”地扩展开去，将平面所有格点“一网打尽”。在图中，O(0，0)是第一个点，A(1，-1)是第个点，B（-1,2）是第 个点，第35个点是 （ ）。第3讲 课后作业 平面直角坐标系1、点（3,2）在第象限；点（-10,2）在第象限； 点（-3，-8）

18、在第象限；点（20，-7）在第 象限。2、 点p( -5,6)到y轴的距离为 ，点q( 3,-6)到x轴的距离为 。3、 点c在x轴上方，y轴的左侧，距离x轴2个单位，距离y轴3个单位，则C点的坐标为 。4、 已知点p的坐标（4-a,2a+6),且点p到两坐标轴的距离相等，则点p的坐标是 。5、 已知点A（1，8a+4)到x轴的距离是y轴距离4倍，则a的值为 。6、点A（x-1,-2）在第三象限，求x的取值围 。 点A（1,x-2）在第四象限，求y的取值围 。.7. 在平面直角坐标系中，将点（2，-5)向右平移3个单位长度可得到对应点坐标、将点（-2，-5)向左平移3个单位长度可得到对应点坐标

19、 ；将点（2，5)向上平移3个单位长度可得到对应点坐标、将点（-2，5)向下平移3个单位长度可得到对应点坐标、8线段CD是由线段AB平移得到的，A（-1,4）的对应点为C(4，7)，则点B(-4，-1)的对应点的坐标为 。9、 点A的坐标为（2,3），则点A关于x轴的对称点B的坐标为 ，点B关于y轴的对称点C的坐标为 ；若点E（a+1,b-2)与点F（4，-2）关于原点对称，则点C（a,b)到y轴的距离为；若点p（2-m,2m+1)在第四象限的角平分线，则点M(,m)关于y轴对称点的坐标是 .10. （2013江岸区七下期中）已知，66的网格中，点A的坐标为（-1,3），点C的坐标为（-1，-1），则点B的坐标为 。11、 小明和爸爸、妈妈到公园游玩，回到家后，他利用平面直角坐标系画出了公园景区地图，如下图，可是他忘记了在图中标出原点和x轴、y轴，只知道游乐园D的坐标为（2，-2），且每一格的距离代表一个单位长度，请帮他求出其它各景点的坐标。12 / 12