全国通用版高考数学大一轮复习第十一章坐标系与参数方程第57讲坐标系优选学案

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1、全国通用版高考数学大一轮复习第十一章坐标系与参数方程第57讲坐标系优选学案考纲要求考情分析命题趋势1.理解坐标系的作用2了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况3能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化4能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义xx全国卷，22xx全国卷，22xx全国卷，23xx北京卷，11极坐标与直角坐标在高考中主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程分值：510分1平面直角

2、坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系(1)相关概念极坐标系：如图所示，在平面内取一个_定点_O，点O叫做极点，自极点O引一条_射线_Ox，Ox叫做极轴；再选定一个_长度单位_、一个_角度单位_(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系极坐标：一般地，没有特殊说明时，我们认为0，可取任意实数点与极坐标的关系：一般地，极坐标(，)与_(，2k)(kZ)_表示同一个点，特别地，极点O的坐标为_(0，)(R)_，和直角坐标不同，平面

3、内一个点的极坐标有_无数_种表示如果规定0,00)，M的极坐标为(1，)(10)，由题设知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16，得C2的极坐标方程为4cos (0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，).由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面积S|OA|BsinAOB4cos 22.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.1求双曲线C：x21经过：变换后所得曲线C的焦点坐标解析设曲线C上任意一点P(x，y)，将代入x21，得1，化简得1，即1为曲线C的方程，可见仍是双曲线，则所求焦点坐标为F1(5,0)，F2(5,0)2已知圆O

4、1和圆O2的极坐标方程分别为2，22cos2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解析(1)由2知24，所以x2y24.因为22cos2，所以222.所以x2y22x2y20.(2)将两圆直角坐标方程相减，得过两圆交点的直线方程为xy1.化为极坐标方程为cos sin 1，即sin.3设过原点O的直线与圆(x1)2y21的一个交点为P，点M为线段OP的中点，当点P在圆上移动一周时，求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线解析圆(x1)2y21的极坐标方程为2cos ，设点P的极坐标为(1，1)，点M的极坐标为(，)，点M为线段OP的中点，

5、12，1，将12，1代入圆的极坐标方程，得cos .点M轨迹的极坐标方程为cos ，它表示圆心为点，半径为的圆4(xx全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos sin )0，M为l3与C的交点，求M的极径解析(1)消去参数t得l1的普通方程为yk(x2)；消去参数m得l2的普通方程为y(x2)设P(x，y)，由题设得消去k得x2y24(y0)所以C的普通方程为x2y24(y0)(2)C的极坐标

6、方程为2(cos2sin2)4(02，)联立得cos sin 2(cos sin )故tan ，从而cos2，sin2.代入2(cos2sin2)4，得25，所以交点M的极径为.错因分析：忽略变量的取值范围，导致错误【例1】 求极坐标方程所对应的直角坐标方程解析由(sin 0)，得(cos 1)，cos 2(cos 1)，(*)x2，化简得y24x4，当cos 1时，(*)式不成立；当cos 1时，由(*)式知1，xcos 1.综上可知，y24x4(x1)即为所求【跟踪训练1】 (xx全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a0)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐

7、标系中，曲线C2：4cos .(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan 0 2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解析(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2(y1)2a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆将xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin 1a20.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得16cos28sin cos 1a20，由tan 2，可得16cos28sin cos 0，从而1a20，解得a1(舍去)或a1.a1时，极点也为C1，C2的公

8、共点，且在C3上所以a1.课时达标第57讲解密考纲高考中，主要涉及曲线的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，能在极坐标系中给出简单图形的极坐标方程，常以解答题的形式出现1求椭圆y21经过伸缩变换后的曲线方程解析由得将代入y21，得y21，即x2y21.因此椭圆y21经伸缩变换后得到的曲线方程是x2y21.2在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为cosa，且点A在直线l上(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为(为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系解析(1)由点A在直线l上，得cosa，则a，故

9、直线l的方程可化为sin cos 2，得直线l的直角坐标方程为xy20.(2)消去参数，得圆C的普通方程为(x1)2y21，圆心C(1,0)到直线l的距离d1，所以直线l与圆C相交3已知曲线C1的极坐标方程为6cos ，曲线C2的极坐标方程为(R)，曲线C1，C2相交于A，B两点(1)把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)求弦AB的长度解析(1)曲线C2：(R)表示直线yx，曲线C1：6cos ，即26cos ，所以x2y26x，即(x3)2y29.(2)圆心(3,0)到直线的距离d，r3，弦长AB23.弦AB的长度为3.4在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为sin 2，点

10、M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且|OP|OM|4，记点P的轨迹为C2，求曲线C2的极坐标方程解析设 P(1，)，M(2，)，由|OP|OM|4，得124，即2.M是C1上任意一点，2sin 2，即sin 2，12sin .曲线C2的极坐标方程为2sin .5在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为2，直线l的极坐标方程为.(1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；(2)设Q为曲线C1上一动点，求点Q到直线l距离的最小值解析(1)根据 2x2y2，xcos ，ysin ，可得C1的直角坐标方程为x22y22，直线l的直角坐标方程为x

11、y4.(2)设Q(cos ，sin )，则点Q到直线l的距离为d，当且仅当2k，即2k(kZ)时取等号点Q到直线l距离的最小值为.6(xx四川绵阳诊断考试)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是 (为参数)以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设l1：，l2：，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求AOB的面积解析(1)将C的参数方程化为普通方程(x3)2(y4)225，即x2y26x8y0，所以曲线C的极坐标方程为6cos 8sin .(2)把代入6cos 8sin ，得143，所以点A的极坐标为A.把代入6cos 8sin ，得234，所以点B的极坐标为B.所以SAOB12sinAOB(43)(34)sin12.