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1、全国通用版高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第32讲一元二次不等式及其解法优选学案考纲要求考情分析命题趋势1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.xx江苏卷，7xx江苏卷，5xx山东卷，1对一元二次不等式的考查，主要以考查解法为主，同时也考查一元二次方程的判别式、根的存在性及二次函数的图象与性质等另外，以函数、数列为载体，以一元二次不等式的解法为手段求参数的取值范围也是热点.分值：5分三个二次之间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0
2、)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0(a0)的解集x|xx1或xx2Rax2bxc0(a0)的解集x|x1xx21思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)若不等式ax2bxc0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()(5)若二次函数yax2bxc的图象开口
3、向下，则不等式ax2bxc0的解集一定不是空集()解析(1)正确由不等式解集为(x1，x2)可知a0.(2)正确由不等式的解集可知命题正确(3)错误当a0时，不等式的解集为.(4)错误不等式恒成立的条件为或(5)正确图象开口向下，则一定有小于0的部分2已知全集UR，集合Ax，Bx，则AB(D)A(1,2)B(2,3)C2,3)D(1,2解析0，(x1)(x3)0，1x3.又42x0，42x，x2，ABx|1x2故选D3不等式x(2x)0的解集为_(0,2)_.解析x(2x)0，x(x2)0，0x2，故解集为(0,2)4关于x的不等式ax2bx20的解集是，则ab_14_.解析由题意可知a0，且
4、和是方程ax2bx20的两个根，解得ab14.5不等式x2ax40的解集不是空集，则实数a的取值范围是_(，44，)_.解析由题意可知a2160，解得a4或a4.一一元二次不等式的解法(1)解一元二次不等式的一般步骤化为标准形式(二次项系数大于0)；确定判别式的符号；若0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若0，则对应的二次方程无根；结合二次函数的图象得出不等式的解集(2)解含参数的一元二次不等式，需要对参数进行分类讨论二次项中若含有参数，应讨论是小于零、等于零，还是大于零，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式与零的关系；确定无根时可直接写出解
5、集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式【例1】 解下列关于x的不等式(1)2x2x30；(2)ax222xax(aR)解析(1)化2x2x30，解方程2x2x30得x11，x2，不等式2x2x30的解集为(，1)，即原不等式的解集为(，1).(2)原不等式可化为ax2(a2)x20.当a0时，原不等式化为x10，解得x1.当a0时，原不等式化为(x1)0，解得x或 x1.当a0时，原不等式化为(x1)0.当1，即a2时，解得1x；当1，即a2时，解得x1满足题意；当1，即2a0时，解得x1.综上所述，当a0时，不等式的解集为x|x1；当a0时，不等式的解集为x；当2a0
6、时，不等式的解集为x；当a2时，不等式的解集为x|x1；当a2时，不等式的解集为x.二一元二次不等式恒成立问题不等式恒成立问题的求解方法(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数(2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于零就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于零就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值【例2】 函数f(x)x2ax3.(1)当xR时，f(x)a恒成立，求a的取值范围；(2)当x2,2时，f(x)a恒成立，求a的取值范围；(3)当a4,6
7、时，f(x)0恒成立，求x的取值范围解析(1)xR时，有x2ax3a0恒成立，需a24(3a)0，即a24a120，所以6a2，故a的取值范围为6,2(2)当x2,2时，设g(x)x2ax3a0，分如下三种情况讨论(如图所示)：如图(1)，当g(x)的图象恒在x轴上方时，满足条件，有a24(3a)0，即6a2.如图(2)，g(x)的图象与x轴有2个交点，但在x 2，)时，g(x)0，即即解得a.如图(3)，g(x)的图象与x轴有2个交点，但在x(，2时，g(x)0，即即7a0，且f(1)1.若f(x)t22at1对所有的x1,1都成立，则当a1,1时，t的取值范围是(D)A2,2B0CD(，2
8、02，)解析由题设条件知f(x)是奇函数，在1,1上是增函数，且f(1)1，所以在1,1上，f(x)maxf(1)f(1)1.f(x)t22at1对所有的x1,1都成立，即1t22at1，即t22at0恒成立设g(a)t22at，a1,1，则即解得t2或t0或t2.故选D课时达标第32讲解密考纲考查一元二次不等式的解法，常利用判别式讨论解集，常以选择题或填空题的形式出现一、选择题1不等式1的解集是(A)A(，1)(1，)B(1，)C(，1)D(1,1)解析1，10，即0，该不等式可化为(x1)(x1)0，x1或x1.故选A2(xx湖南株洲期中)在R上定义运算：abab2ab，则满足x(x2)0
9、的实数x的取值范围为(B)A(0,2)B(2,1)C(，2)(1，)D(1,2)解析根据条件由x(x2)0，得(x2)(x1)0，解得2x1.故选B3函数yln的定义域为(C)Ax|1x2Bx|0x1Cx|0x1Dx|10的解集为x|1x0的解集为(A)AxBxCx|2x1Dx|x1解析不等式ax2bx20的解集为x|1x2，ax2bx20的两根为1,2，且a0，解得x.故选A5若ax2bxc0的解集为x|x4，则对于函数f(x)ax2bxc应有(B)Af(5)f(2)f(1)Bf(5)f(1)f(2)Cf(1)f(2)f(5)Df(2)f(1)0成立，则实数x的取值范围为_(3，1)_.解析
10、不等式可变形为(x2x)p3x30，令f(p)(x2x)p3x3，p1,1原不等式成立等价于f(p)0，p1,1，则即解得3x1.9已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)0的解集为(1,2)，若方程f(x)的最大值小于1，则a的取值范围是_(4,0)_.解析由题意知a0，可设f(x)a(x1)(x2)ax23ax2a，f(x)maxf1，a4，故4a0.三、解答题10已知f(x)3x2a(6a)x6.(1)解关于a的不等式f(1)0；(2)若不等式f(x)b的解集为(1,3)，求实数a，b的值解析(1)由题意知f(1)3a(6a)6a26a30，即a26a30，解得32a32.
11、不等式的解集为a|32a32(2)f(x)b的解集为(1,3)，方程3x2a(6a)x6b0的两根为1,3，解得11解关于x的不等式ax2(2a1)x22x的解集为(1,3). (1)若方程f(x)6a0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围解析(1)因为f(x)2x0的解集为(1,3)，f(x)2xa(x1)(x3)，且a0，因而f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.由方程f(x)6a0，得ax2(24a)x9a0.因为方程有两个相等的实根，所以(24a)24a9a0，即5a24a10，解得a1或a.由于a0，舍去a1，将a代入，得f(x)x2x.(2)由f(x)ax22(12a)x3aa2及a0，可得f(x)的最大值为.由解得a2或2a0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(，2)(2，0)
全国通用版高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第32讲一元二次不等式及其解法优选学案
