电梯最佳运行策略-数学建模doc

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1、电梯运行的最优策略摘 要 关键字： 最优运行策略 人流密度 分段运送法 平均等待时间 优化模型随着高楼的越来越多，电梯越来越普及。于是电梯的运行策略的优化越来越受到人们的重视。本文研究的就是居民楼电梯运行策略的最优化问题。 所谓电梯运行策略的优化，就是要使居民对乘坐电梯满意度最高。即减少等待时间。本文就是从这点出发寻求电梯运行的最优策略。 首先根据居民楼电梯的使用规律，即人流密度，将电梯的使用分为五个时间段。根据每个时间段的人流密度特点提出相应的运行策略。其次我们运用两部电梯分段运送法，即第一部电梯负责运送下面一些楼层的居民，第二部电梯负责运送其余上面的那些楼层的居民。建立相应的数学模型。让每

2、一时段的平均等待时间最小。 然后以平均每层居民的的等待时间为目标函数，建立优化模型。运用MATLAB软件在目标函数最小情况下求出两部电梯的分段工作的分界楼层，即可确定电梯的运行策略。 最后我们发现：早上空闲时段第一部电梯应负责运送第14层以下的居民下楼，不工作时停在第7层；第二部电梯应负责运送第14层（含14层）的居民下楼，不工作时停靠在20楼。上班高峰期第一部电梯应运送第14层以下的居民下楼，第二部电梯应运送第14层（含14层）居民下楼。中间时段（上下楼概率相同）第一部电梯应停在第1层专门负责将居民送到楼上，同时负责将9层以下的居民送到楼下。第二部电梯应停在第17层专门将第9层以上（含第9层

3、）居民送到楼下。下班高峰期第一部电梯应运送第14层以下的居民上楼，第二部电梯应运送第14层（含14层）居民上楼。晚上空闲时段第一部电梯应负责运送第14层以下的居民下楼，；第二部电梯应负责运送第14层（含14层）的居民下楼，不工作时都停靠在1楼。并且经我们严格验证此运行策略是十分理想的。于是我们得出结论：该运行策略能够消除居民乘电梯的烦恼。一、 问题的提出某高层居民住宅楼共有25层，其中奇数层每层楼住有4户，偶数层每层楼住有2户，该住宅楼安装了2部电梯供居民上下楼。出于安全性和舒适性的考虑电梯开关门和升降时都很缓慢，这就造成许多住户抱怨电梯太慢了。经研究发现电梯运行“慢”的原因主要有：(1) 住

4、在二十几层的住户出门时经常发现两部电梯都停在1楼，这时他们必须等电梯从1楼运行上来后再下去；(2) 在回家的时候有些住户经常会碰到两部电梯都没有停在1楼的情况，此时又要等电梯先运行下来后再上去；(3) 当两部电梯停在不同的楼层，有些住户会遇到并不是离他所在楼层最近的那部电梯过来将他运下楼的情况；(4) 在上班高峰期有多个楼层的住户同时等待电梯下楼，而此时只有一部电梯运行另一部还停在1楼，这部电梯停靠多个楼层就要多次开关门，使这些急着赶去上班的人又在电梯里面浪费了很多时间。如果你是一位电梯制造商或设计者，请你在分析该电梯现有的运行策略及公共场所电梯分层运行策略的优缺点后，设计一种新的电梯运行策略

5、帮助这些住户消除他们乘坐电梯时的烦恼，并用数学的方法严格证明或用统计模拟的方法验证你设计的电梯运行策略是最优的。 最后出于商业目的的需要，你设计的电梯运行策略是否可以广泛用于高层和小高层居民住宅楼（目前国内设计楼层为8层及以上的住宅楼都安装了一部或多部电梯）。二、问题的分析可以从用户提出的四个主要烦恼中总结出：用户的烦恼是他们等待电梯的时间过长。由此，我们建立的模型要能够满足大多数用户的要求，即让他们等待电梯的时间尽量达到最低，我们将一天24小时分为五个阶段分别建立相应的模型。对应的五个阶段分别为：早上空闲时段、上班高峰期、中间时期、下班高峰期和晚上空闲时段。衡量我们所建立的模型的标准为乘客的

6、总等待时间和每层乘客的平均等待时间最小。在此，我们提出了电梯分段运行策略。该策略即为将楼层分为两部分，第一部电梯负责运送第层以下的乘客，第二部电梯负责运送第层（含第层）以上的乘客。确定两部电梯的停靠楼层及分段楼层的值，使得平均等待时间最小。三、 模型的假设1、 假设不考虑超载的情况；2、 假设电梯运行时经过每一层的时间相同；3、 电梯启动与制动在瞬间完成，即一启动就达正常速度，一制动就停止，不考虑加速减速；4、 电梯在任一层停靠的时间为常数；5、 上班高峰时间段每一层都有居民等待电梯下楼；6、 假设上班时段电梯上行不载客；下班时电梯下行不载客；7、 一天24小时分为五个时间段：早上空闲时段、早

7、上上班时段、中间时段、下午下班时段、晚上空闲时段。8、 不考虑不同楼层居民相互来往。9、 不考虑双休日，及其他节假日导致的人流规律变化。10、 不考虑其他突发事件对人流规律的变化。11、 居民对乘坐电梯的不满意度只与等待时间有线性关系，不考虑在电梯内外等待时间对满意度的影响。即用平均等待时间衡量四、 符号说明Z楼层的层数楼层的层号k第一部和第二部电梯工作楼层的分界m第一部电梯早上空闲时段不工作所停楼层n第二部电梯早上空闲时段不工作所停楼层早上空闲时段第i层居民呼叫电梯的概率早上空闲时段把第i层送到第一层的时间电梯运行时经过每一次层的时间，=3电梯在每一层的停靠时间，=5T早上空闲时段把居民送下

8、楼的平均时间Q每一层平均等待时间第i部电梯上下的运行时间与停靠时间之和第层居民下楼的概率第层居民上楼的概率中间时段把居民送上楼的时间五、 模型的建立与求解模型一 早上空闲时段电梯的运行策略问题分析：我们合理假设早上空闲时期只会出现某层楼的人下楼的情况，由题目条件给出的每层楼所居住的人的户数，可以计算出是第层楼的人需要下楼的概率。由分段运送的策略，假设第一部电梯停留在第层，第二部电梯停留在第层，可以计算出每层楼住户平均等待时间的期望值，求出合适的、和的值使得平均等待时间最小，就可以确定再造上空闲时期的电梯运行策略。根据电梯分段运行的策略，第一部电梯停靠在1楼层，第二部电梯停靠在第楼层。早上空闲时

9、段电梯不工作时，两部电梯分别停在、层。模型建立：第i层居民呼叫电梯的概率为把居民送到楼下的时间为则把居民送下楼的平均时间为当T取最小值时用MATLAB编程可得k=14，m=7，n=20。T=52。所以，当第一部电梯负责运送第13层以下的居民下楼，不工作时停在第7层；第二部电梯负责运送第13层（含13层）的居民下楼，不工作时停靠在19楼，此时可使居民的平均等待时间最短。模型二 早上上班高峰期电梯的运行策略问题分析：我们假设在此阶段每层都有乘客要坐电梯，同样采用的是分段运行策略，经过分析论证确定两部电梯的停靠楼层，在此定义了每层平均等待时间，在平均等待时间最小的基础上确立如何分层运行，即确定值。模

10、型建立：早上上班时间段，假设第层以下居民搭乘第一部电梯，层以上（含层）居民搭乘第二部电梯。经分析易知，要使等待时间最短，一开始第一部电梯应停在层，第二部电梯应停在第层。第i部电梯运一趟(运到楼下再回到原楼层）的时间为，；要使等待时间减小，即要使每一层居民的平均等待时间减小。当使居民平均等待时间最小时就可满足要求，于是运用最优化思想解决该问题。于是每一层平均等待时间Q为用MATLAB编程可得：k=14。所以上班高峰期第一部电梯运送第14层以下的居民下楼，第二部电梯运送第14层（含14层）居民下楼，此时即能满足平均每一层居民的等待时间最短。模型三 中间时期电梯的运行策略问题分析：1、在回家的时候有

11、些住户经常会碰到两部电梯都没有停在1楼的情况，此时要等电梯先运行下来后再上去，但同时也可能会有居民下来，因此要确定电梯的停靠位置。2、对于高峰期和一天的早上空闲时期用分段法比较合理，但对于中间时期采用分段法是否还合理呢？由于这段时间使用电梯的人比较少，认为每次只有一个人上楼或下楼。为使等待时间最小，我们在分段运行的基础上，提出新的电梯运行方案：第一部电梯停在第层专门负责将居民送到楼上，同时负责将层以下的居民送到楼下。第二部电梯停在第层专门将第层以上（含第层）居民送到楼下。基于此运行方案，我们建立模型计算出当等待时间最小时的、和的值。模型建立：在分段运行的基础上，我们提出了新的电梯运行方案：第一

12、部电梯停在第层专门负责将居民送到楼上，同时负责将层以下的居民送到楼下。第二部电梯停在第层专门将第层以上（含第层）居民送到楼下。假设居民下楼的概率为，上楼的概率为。（设=0.5，=0.5）第层的居民乘坐电梯下楼或上楼的概率为：只考虑下楼时，把该居民送到楼下的时间为只考虑上楼时，将该居民送到目标层的时间为运送一次的平均时间为 用MATLAB编程求出当取得最小值时的、和的值: T=57.0417，=12，=4，=19。所以，中间时段第一部电梯停在第4层专门负责将居民送到楼上，同时负责将12层以下的居民送到楼下。第二部电梯停在第19层专门将第12层以上（含第12层）居民送到楼下。模型四 下班高峰期的电

13、梯运行策略问题分析： 与上班高峰期一样，我们假设电梯运送乘客上楼时每层都有人下，即电梯在向上运行的过程中每层都需要停靠。采用分段运行的策略，建立数学模型，求出当每层平均等待时间最小时的、和的值。即可确定在这一阶段的电梯运行策略。模型建立：采用分段运行的策略，假设第层以下居民搭乘第一部电梯，层以上（含层）居民搭乘第二部电梯。经分析易知，要使等待时间最短，一开始第一部电梯和第二部电梯都应该停留在第一层。用表示第部电梯的运送一趟所花的时间，即电梯上下一次和停靠时间之和。要使等待时间减小，即要使每一层居民的平均等待时间减小。当使每层居民平均等待时间最小时就可满足要求，运用最优化思想解决该问题。于是平均

14、每一层等待时间Q为用MATLAB编程可得：k=14。所以下班高峰期第一部电梯运送第14层以下的居民上楼，第二部电梯运送第14层（含14层）居民上楼，此时即能满足平均每一层居民的等待时间最短。模型五 晚上空闲时段电梯的运行策略 问题分析： 与早上空闲时段一样，我们合理假设晚上空闲时段只会出现某层楼的人上楼的情况，同样可以计算出是第层楼的人需要下楼的概率。由分段运送的策略，假设第一部电梯停留在第层，第二部电梯停留在第层，可以计算出每层楼住户平均等待时间的期望值，求出合适的、和的值使得平均等待时间最小，就可以确定晚上空闲时期的电梯运行策略。 根据电梯分段运行的策略，第一部电梯停靠在1楼层，第二部电梯

15、停靠在第1、楼层。分析知第一二部电梯都应停在一楼。模型建立:第i层居民呼叫电梯的概率为把居民送到楼上的时间为则把居民送上楼的平均时间为当T取最小值时用MATLAB编程可得k=14，m=1，n=1。所以，当第一部电梯负责运送第14层以下的居民下楼，不工作时停在第1层；第二部电梯负责运送第14层（含14层）的居民下楼，不工作时停靠在1楼，此时可使居民的平均等待时间最短。 终上所述：早上空闲时段第一部电梯应负责运送第14层以下的居民下楼，不工作时停在第7层；第二部电梯应负责运送第14层（含14层）的居民下楼，不工作时停靠在20楼。上班高峰期第一部电梯应运送第14层以下的居民下楼，第二部电梯应运送第1

16、4层（含14层）居民下楼。中间时段（上下楼概率相同）第一部电梯应停在第1层专门负责将居民送到楼上，同时负责将9层以下的居民送到楼下。第二部电梯应停在第17层专门将第9层以上（含第9层）居民送到楼下。下班高峰期第一部电梯应运送第14层以下的居民上楼，第二部电梯应运送第14层（含14层）居民上楼。晚上空闲时段第一部电梯应负责运送第14层以下的居民下楼，；第二部电梯应负责运送第14层（含14层）的居民下楼，不工作时都停靠在1楼。并且经我们严格验证此运行策略是十分理想的。于是我们得出结论：该运行策略能够消除居民乘电梯的烦恼。六、模型检验与分析 对于上面所建立的模型，我们是经过了理论的验证得到了最后的结

17、果。但是要根据实际情况来做进一步检验，因此需要我们对于每个模型分别进行检验处理。在此采用计算机模拟的方法来模拟电梯运行的实际情况，并由大量的模拟次数来分析平均等待时间。早上空闲阶段： 考虑到此阶段每次有一个人下楼，其中奇数层每层楼住有4户，偶数层每层楼住有2户，每个人在这个阶段下楼的概率都是相同的，由此可知奇数层的居民等待电梯下楼的概率是偶数层居民的两倍。我们编辑一个模拟程序来仿真电梯运行多次所花的平均等待时间。由matlab编程可得：模拟次数90015001800平均等待时间51.346752.346053.2100模拟次数3000600015000平均等待时间51.814052.13905

18、2.2204模拟步数与平均等待时间由上图可以看出平均等待时间几乎稳定在52.5左右，与我们的理论计算值52相差不大，相对误差。经过检验发现模型满足条件，模型精度较高。七、模型的评价、改进及推广1、模型的优点1) 根据电梯每天在不同时段的使用情况提出相应的电梯运行策略，使得在每个时段居民的等待电梯的时间最短。2）我们创造性的将分段运送的方法应用于电梯运行，使得居民的等待时间尽可能的缩短。3）在高峰时期我们提出了以平均每层居民的等待时间为指标寻求最优的运行策略。这个指标能够比较好的反映居民乘坐电梯时的愿望，即期望在等电梯上花尽量少的时间。4）在中间时段提出了基于分段运送的改进的电梯运行策略，富有创

19、造性和严谨性，经过论证能够更好地解决这一时段的实际情况，值得进一步研究和推广。2、模型的缺点1）在模型一的建立中，我们假设只考虑一个人下楼的情况，虽然假设比较符合事实，但是还是会有一些出入，需要进一步完善考虑。2）在高峰期时，我们基于实际情况合理假设了每层都有居民上楼或下楼，并没有考虑其他的情况，这是模型的不足之处。3）建立模型的过程中居民在楼层之间的往返欠缺考虑。4) 时间段的划分比较笼统，不能明确何时采取何种策略。5) 没有考虑电梯超载的情况，与实际情况有偏差。3、 模型的改进 定义：坐电梯的人数为人流量；单位时间内坐电梯的人数为人流密度。前面的建模过程中，我们在不同的时间段采用不同的策略

20、，但是，何时采取何种策略并不容易确定。同时，空闲期与高峰期之间的过渡期该采取何种策略也不好确定。 为此，我们在前面五个模型的基础上提出一个新的整合模型。由该模型得出的电梯运行策略，暂且称为“智能策略”。“智能策略”有以下特点：1、 能够统计历史工作数据（上下楼的人流情况）。2、 能根据统计出来的数据规律确定何时采取何种适当的策略。A.数据统计 电梯统计并保存前七天的数据，并依据此数据拟合出任一时刻的人流密度曲线。统计方法为电梯上楼下楼时在各楼层的单位时间的开关门次数。显然，在高峰期会遇到有多个楼层的居民同时上下楼的情况，这使得数据将不能准确反映。假设每层楼每户单位时间内上、下楼的人数满足泊松分

21、布，即 可看作两个独立的poisson流，由数学统计理论知到达间隔时间分别满足以和的负指数分布.则， 由poisson流合成知，对于一层居民单位时间内上楼下楼的人数满足一参数为、(当为偶数时=2，为基数时=4)的poisson分布。同理可知，到达间隔时间分别满足以，为参数的负指数分布。同样可已得到，k层以下的poisson流合成及k层以上的poisson流合成的poisson分布函数及负指数分布函数。八、参考文献1姜启源,谢金星,叶俊.数学模型M，北京:高等教育出版社，2003.2黄永安,李文成,高小科.Matlab 7.0/Simulink 6.0应用实例仿真与高效算法开发M,北京：清华大学

22、出版社，2008.6.3齐行行,米琦,叶颖梁.高层写字楼电梯运行安排模型EB OL.,2003.05/2010.08.45九、 附录模型一的程序：clearZ=25;%总层数pi=0;t0=3;%一层的运行时间t1=5;%开关门所用时间T=100000 0 0 0;%平均时间for k=2:25 for m=1:k for n=k:Z T1=0; for i=2:25 pi=(3-(-1)i)/72; if i T1 T(1)=T1;T(2)=k;T(3)=m;T(4)=n; continue end end endendT模型二的程序：min=1000000;for k=2:25 tk=6*

23、(k-1)*(k-2)+5*(k-1)2+144*(27-k)+5*(27-k)2; if mintk min=tk; f=k; endendminf模型三的程序：clearZ=25;%总层数pi=0;t0=3;%一层的运行时间t1=5;%开关门所用时间T=100000 0 0 0;%平均时间a=0.5;b=0.5;for k=2:25 for m=1:k for n=k:Z T1=0; for i=2:25 pi=(3-(-1)i)/72; if i T1 T(1)=T1;T(2)=k;T(3)=m;T(4)=n; continue end end endendT模型四的程序：min=100

24、0000;for k=2:25 tk=6*(k-1)*(k-2)+5*(k-1)2+144*(27-k)+5*(27-k)2; if mintk min=tk; f=k; endendminf模型五的程序：Z=25;%总层数pi=0;t0=3;%一层的运行时间t1=5;%开关门所用时间T=100000 0 0 0;%平均时间 for k=8:16 for m=4:(k-3) for n=(k+2):(Z-3) T1=0; for i=2:25 pi=(3-(-1)i)/72; if i T1 T(1)=T1;T(2)=k;T(3)=m;T(4)=n; continue end end ende

25、ndT模型一检验程序：k=13;m=7;n=19;A=fix(12*rand(1,5000)+1;B=fix(12*rand(1,10000)+2;C=2.*A;D=2.*B-1;for i=1:5000 if C(i)k T(i)=abs(n-C(i)*3+(C(i)-1)*3+5; else T(i)=abs(m-C(i)*3+(C(i)-1)*3+5; endendfor j=1:10000 if D(j)k T1(j)=abs(n-D(j)*3+(D(j)-1)*3+5; else T1(j)=abs(m-D(j)*3+(D(j)-1)*3+5; endendt=(sum(T)+sum(T1)/15000