小概率事件原理及其应用毕业论文

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1、数学与计算机科学学院毕业论文题目： 小概率事件原理及其应用 专业： 数学与应用数学（师） 作者： 学号： 指导教师(职称)： 2011 年3月13日13小概率事件原理及其应用摘要: 众所周知小概率事件原理是概率论的精髓，是实用价值较高、应用范围较广的基本理论。本文通过对小概率事件的概念、原理及其推断方法的分析、论证，在这一原理分析的基础上通过几个实例介绍了其在其它生活领域的应用，帮助人们正确认识小概率事件，正确对待小概率事件，在生活中趋利避害。关键词：小概率事件 小概率事件原理 应用Principle and application of small probability eventAbst

2、ract It is known that the principle of Small Probablility Event accounts for the quintessence of probability theory. It is highly practical and wildly applied. This paper will introduce the definition of Small Probablility Event, its principle and the deducing methods, also will discuss the applicat

3、ion in the daily life by some examples. Hence it can help people to understand fully Small Probablility Event and deal with it in correct way, avoiding any possible disadvantages and giving full play to the advantages.Keyword：Small probablility event, Principle of small probablility event, Applicati

4、on目录摘要1关键词1目录2第一章 引言1第二章 小概率事件原理12.1 对小概率事件的认识12.2 小概率事件原理12.3 小概率原理的推断方法22.4 小概率事件与不可能事件的区别2第三章 小概率事件原理的应用23.1 小概率事件在彩票中的应用33.2 小概率事件在保险中的应用53.3 小概率原理在体育方面的应用73.4 小概率事件原理在医学上的应用83.5 小概率事件在假设检验中的应用93.6 小概率原理在商场管理中的应用10第四章 总结11致谢语12参考文献12第一章 引言提到小概率事件，大家并不陌生，在生活中有许多小概率事件，这些事件看起来一点都不起眼，但是很多情况下却起着非常重要的

5、作用，有的可能发生大的事故，如某人因购买彩票而中了大奖，意外发现了金银财宝等那是“天上掉馅饼”；还有“说曹操曹操就到”；还有像雷电伤人，吃饭被鱼刺卡喉，某人因车祸而失去生命，等等，这些小概率事件我们认为几乎是不可能发生的，对有些人来说，或许一辈子也碰不到一次，但是也有一些人可能多次遇到，小概率事件虽然看上去一点也不起眼，但是有时可能带来欢乐和福音，有时也可能带来悲伤与灾难，甚至可能会发生大的事故，如5.12汶川大地震，长江流域百年一遇的洪水，等等，虽然这些事件本身发生的概率极小，但往往具有和大的破坏力，因此说有些小概率事件是不可忽视的，我们只有充分的认识和把握它，并加以很好的应用，小概率事件就

6、会给我们的生活带来意想不到的收获。第二章 小概率事件原理2.1 对小概率事件的认识概率是刻画随机事件发生可能性大小的数量指标。一个随机事件发生的可能性大小是由它自身决定的，是它自身的一种属性，不受你是否认识到或者是否计算出来的影响，它是客观存在的。在概率论问题中，一般把概率很小很接近于零的事件称为小概率事件。那么，具体概率小到何种程度才算小概率事件呢？概率论中不作具体规定，而是指出不同场合有不同的标准，视事件的重要性而定，一般多采用0.01、0.05这两个值，即事件发生的概率在0.01或0.05以下的事件成为小概率事件，这两个值称为小概率标准。当事件的发生会产生严重后果（如雪崩、山洪、沉船等）

7、时，那么小概率事件的阀值应选得比这两个值更小一些，否则可以选得大一些。2.2小概率事件原理小概率事件原理是概率论中具有实际应用意义的基本理论，又称为似然推理，根据大量重复试验中事件出现的频率接近于它们的概率，即指：若事件A为小概率事件，但在一次或少数次试验中小概率事件A居然发生了，就有理由认为情况不正常，事件A不应该发生。小概率事件原理又称为小概率事件不发生原理，但应该明确：若某试验中出现A的概率为，不管0如何小，如果把试验不断独立地重复下去，那么A迟早必然会出现一次，从而也必然会出现任意多次，因为第一次试验中A不出现的概率为1-，前n次A都不出现的概率为，因此前n次试验中A至少出现一次的概率

8、为1-。当n时概率趋于1，这表示A迟早会出现1次的概率为1。出现A以后，把下次试验当作第一次，重复上述推理，可见A必然再次出现。由以上分析可看出，小概率事件并不是不可能事件，所以我们在实际生活和工作中不能忽视小概率事件。小概率事件是否可以忽略，要具体问题具体分析，例如，任何小概率的事件对航天飞机来说都有可能是致命的，而一批皮鞋中有0.01的次品却无妨大碍。在较复杂的问题中，利用小概率事件原理可以帮助我们透析小概率事件发生现象的更深背景。2.3小概率原理的推断方法定理一（伯努利大数定律）在n次独立重复试验中，记事件A发生的次数是，p是A发生的概率，则对于任意0，有或，根据伯努利大数定律，事件A发

9、生的频率依概率收敛于事件A发生的概率，就是说，当n很大时，事件A发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小，假设某事件A发生的概率很小，由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件A的频率来代替概率。倘若某事件A出现的概率甚小，则它在大量重复试验中出现的频率应该很小。例如，若=0.001，则大体上在1000次试验中A才出现一次。因此，概率很小的事件在一次试验中实际上不大可能出现，在概率论的应用中，称这样的事件为实际不可能事件。实际不可能事件在一次试验中是不会出现的，这就是小概率原理。它是统计假设检验决定推翻还是接受假设的依据，也是人们在实践中总结出来而被广泛应用的一个原理。小概率原

10、理的推断方法是概率性质的反证法，指的是人们首先提出假设，继而根据一次试验的结果来进行计算，最后按照一定的概率标准作出鉴别。若导致不合理的现象出现，即小概率事件发生，则拒绝假设；若未导致不合理现象出现，即小概率事件未发生，则不拒绝假设。2.4 小概率事件与不可能事件的区别对于小概率事件，我们通常认为它是不会发生的，人们出差，旅行可以放心地乘坐汽车或火车，原因是发生交通事故的概率都很小，在一次试验（乘坐汽车或火车）中，这个小概率事件实际上不会发生，是实际不可能事件。但是小概率事件不等于不可能事件，我们应知道，不管小概率事件A的概率如何小，如果将试验不断独立的重复下去，那么事件A迟早必然会出现一次，

11、继续重复下去，于是也必然会出现任意多次，而不可能事件是指无论将试验做多少次，事件A都不会发生。这就表明了小概率事件与不可能事件之间的差别。所以我们不能因为发生交通事故是个小概率事件就认为它是不可能事件，就不注意交通安全。最后，我们应该注意的是小概率原理仅适用于个别的、单独的试验，当试验次数很多时就不适用了。例如，购买奖券时，当你很有钱，采取包号甚至全买下奖券等措施，那么小概率事件就变成了必然事件了，这时小概率事件就不适用了。第三章 小概率事件原理的应用 小概率原理不经意地指导人们的实际生活, 目前，小概率原理在经济、医学、体育、交通、气象等各种与人们生活息息相关的领域中也有解释的空间。下面我将

12、从彩票、保险、医学等方面谈谈小概率事件的应用。3.1 小概率事件在彩票中的应用生活中，很多人爱买彩票，也有人因此而一夜暴富。彩票已成为我国不少城市居民投资的一个渠道。如果运气好，少量的投资将换来惊人的收益。正因如此，彩票才有市场，吸引众多的投资者购买。我们都知道买彩票中奖是小概率事件，我们来看一个实例：一种福利彩票称为幸福35选7，即从01，02，35中不重复地开出7个基本号码和一个特殊号码。其中各等奖的规则如下，试求各等奖的中奖概率。表1 幸福35选7的中奖规则中奖级别中奖规则一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖7个基本号码全中中6个基本号码及特殊号码中6个基本号码中5个 基本号码及特

13、殊号码中5个基本号码中4个基本号码及特殊号码中4个基本号码，或中3个基本号码及特殊号码解：因为不重复地选号码是一种不放回抽样，所以样本空间含有个样本点。要中奖应把抽样看成是在三种类型中抽取：第一类号码：7个基本号码；第二类号码：1个特殊号码；第三类号码：27个无用号码。 在三类号码中抽取，若记为第i等奖的概率（i=1，2，7），可得各等奖的中奖概率如下：= = = =若记A为事件“中奖”，则为事件“不中奖”则由P(A)+P()=P()=1可得P（中奖）= P(A)= +=0.033485P（不中奖）= P()=1- P(A)=0.966515。这就说明：一百个人中约有3人中奖；而中头奖的概率只

14、有，即二千人万个人中约有3人中奖。既然买彩票中最高奖的概率很小，为什么还会有人中奖呢？因为全国买彩票的人太多了，这就增大了中大奖的概率，产生最高奖就不足为奇了。那么，对彩票，我们应该持何种态度呢？我认为，作为普通老百姓，一方面，一次只应该花几块钱、几十元或几百元，用有限的钱买几注或几十注彩票，因为彩票的中奖率，尤其是中大奖的概率，实在是太小，好比大海捞针，是可遇而不可求的；另一方面，要有一颗平常心，空闲时买几张彩票碰碰运气，算算号码，娱乐一下。中彩固然值得庆贺，未中彩也不要垂头丧气。须知，买彩票中大奖是小概率事件，而小概率事件是很少发生的。为了发展公益事业，我国发行了多种彩票，有些彩票的最高奖

15、高达数百万元，但是在有限的几次试验中中高奖这种事件几乎是不可能发生的，买一张彩票就能中高奖的概率近似为零。尽管中高奖的概率微乎其微，但毕竟是公益事业，我们买彩票的时候一定要怀着造福社会奉献爱心的态度，中奖当然是好事，不中也应该泰然处之。3.2 小概率事件在保险中的应用在现实生活中，消费者总是面临着风险下的选择。经验表明，在一般的情况下消费者都是风险回避者。因此作为风险回避的消费者便会采用购买保险的手段来回避或化解自己所面临的风险。下面我们讨论消费者和保险公司是如何在自愿互利的原则上展开保险活动的。首先，考察保险活动的需求方即消费者，假定某消费者拥有的一笔财产价值为W万元，他面临财产遭受失窃、火

16、灾等风险。如果风险发生他将损失L万元，风险发生的概率为p。假设该消费者为回避此项财产风险愿意向保险公司支付的保险费为S元。我们知道，对于回避风险的消费者来说，他愿意付出一笔钱购买保险，使得无论风险是否发生都能稳妥地保持一笔财产W-S。现在的问题是，该消费者到底愿意支付多少保险金来回避自己的风险？也就是说，他愿意支付的保险金额S到底是多少？一般来说，其原则是消费者愿意支付的保险金额S应该等于他的财产的期望损失，即 （1）或者说，消费者支付的保险金额S应该使得保险后的稳妥财产W-S等于在风险条件下的财产期望值，即 （2）在此例中（2）式左边表示消费者购买保险以后的稳妥财产，右边表示消费者面临风险下

17、的财产的期望值，因此消费者愿意购买保险，而且愿意支付的保险费S应该满足（1）或（2）式。下面我们具体应用一个例子来说明以上原则。假定某消费者的初始财产为50万元，他面临遭受失窃、火灾等风险，如果风险发生，他将损失20万元，风险发生的概率为0.1，财产损失的期望值为2万元（）。如果该消费者支付保险金等于财产损失的期望值，即2万元，则他的具体情况如下表2所示：表2风险发生风险不发生财产期望值不购买保险30万元50万元48万元购买保险48万元48万元48万元概率0.10.9由表可知，如果消费者购买保险，他支付的保险金S为2万元，那么不管风险是否发生，扣除保险金后他都持有稳定的收入48万元。也就是说，

18、他刚好使得购买保险条件下的稳定的财产等于风险条件下的财产的期望值即48万元。总之，只要消费者购买保险的支出等于财产的期望值损失，消费者总是愿意购买保险，使自己在遭受损失时能够得到全部的补偿，从而消除了风险。最后，考察保险公司的供给方即保险公司。为方便分析，假定保险公司的经营成本为0，于是保险公司追求利润最大化的目标便可以改写成为追求收益最大化的目标。根据前面所表述的例题，如果损失不发生，保险公司不需要支付补偿费，则保险公司收益为S；如果损失发生，保险公司需支付补偿费，且补偿费等于消费者的损失L，则保险公司的收益为S-L，由此，我们可以得知，保险公司的期望收益为 (3)因此，只要保险公司的期望收

19、益 （4）则保险公司接受这项投保业务。换言之，由（4）式可知，只要，即消费者支付的保险费S大于或等于财产的期望损失，则保险公司就接受这项业务。还可以说，由（4）式可知，只要，即损失发生的概率p小于或等于，则保险公司就接受这项业务。下面我们来看一个例子，某人寿保险公司有3000个统一年龄阶层的人参加保险，在一年内每个人的死亡概率为0.1%，参加保险的人在1月1日交10元保险费，而在他在这一年死亡时家属可从保险公司领取2000元。求保险公司亏本的概率。设一年中死亡人数为X，则保险公司每年收入为元=30000元，付出为2000X元，把“参加保险的每个人在该年是否死亡”看作一次随机试验，3000个人参

20、加试验就相当于3000重贝努力试验，即XB（3000，0.001），=np=设A=“保险公司亏本”，则：np=根据棣莫佛-拉普拉斯定理：=P(A)=1-0.9582=4.18%即，保险公司亏本的概率是4.18%。从以上分析可见，保险公司实际上也是应用了小概率事件的原理，知道亏本的概率极小，肯定在保险业中最大的受益者是保险公司。但不能因为收益的概率小就不去投保，因为小概率事件并不是不可能事件，不能掉以轻心，应该重视保险业，重视自身及家人的安全、财产、养老等等问题。3.3 小概率原理在体育方面的应用由于小概率原理常常在不知不觉中指导着人们的生活，它的存在、发展变化是不以人的意志为转移的，因此人们对

21、它的研究也面临着机遇和挑战，它还有更多的运用有待我们进一步去深入地分析和研究。下面就谈谈小概率事件原理在体育方面的应用。问题1 根据以往资料，篮球运动员张三投篮的命中率都为70%，他在一场比赛开始后连续投篮7次命中次数不超过2次，可否认为该运动员尚未进入状态，为教练提供理论依据。分析解答：假定7次投篮是相互独立的7次试验，用表示其投中的次数，则服从n=7，p=0.7的二项分布，其概率分布为 (k=0，1，7)投篮7次命中0次、1次、2次的概率分别为：命中次数不超过2次的概率为：+ =0.0002187+0.0035721+0.0250047=0.02879550.05这是一个小概率事件，而在一

22、次试验中竟然发生了。从而说明该运动员此时不在状态，这时他的命中率要低于0.7.同理，也可知道其他球员的比赛状态，作为教练指导比赛的参考依据。问题2 已知四川理工学院体育系四年级男生36人安静时心率均数为68.9次/分，由文献得知，正常男子安静时心率均数为72次/分。那么，体育系四年级男生的心率是否与一般正常成年男子不同？分析解答：针对36名经常参加锻炼的体院四年级男生同一般成年男子的安静时心率的差异，分析它是否是抽样误差引起的，就要确立一个小概率的显著性水平（如取=0.01），先假定其差异是仅源于抽样误差，则提出假设检验：。即体院的总体均数等于已知总体“一般”的总体均数，可理解为体院样本是从总

23、体“一般”中随机抽样的。在此前提下，再计算因为抽样误差而取得这样的样本的可能性，若可能性很小，即小于显著性水平，有显著差异，就自然对原来的假设产生怀疑，从而拒绝原假设。假设：“经常参加锻炼的体院四年级男生同一般成年男子的安静时心率没有差异”，可用t检验法进行，由题意，选统计量：于是：，故在=0.01检验水平下拒绝假设。由上可判定与的差异具有高度显著性，可以基本认为安静时的心率“体院学生”不同于“一般”。根本原因可能是长期锻炼导致心肌增强，美搏输出量增加等原因，而不是小小的抽样误差所能影响的。上面只是列举了小概率事件原理在体育方面运用的几个例子，如果能进一步认识和重视小概率事件的发生、发展、转化

24、，小概率原理的应用将会更加广泛。3.4 小概率事件原理在医学上的应用（1）在疾病的变化方面：随着人类年龄的增长及生活无规律，人们身体各器官衰老或器质性的变化，导致疾病产生。如果加以及时治疗或改变饮食规律、生活习惯，提高生活质量，那么大多数人是可以延缓衰老，疾病也是可以治愈的。例如，一个人在没有临床症状，但他的肝内部发生疾变，认为小疾无大碍。如果不加重视，伴随着时间的积累发生大病的机会，并不像人们想像那样短时间内没事。如果发现后及时治疗，提高生活质量，大概率事件最多是发展成为慢性肝炎，而小概率事件则是发展为肝硬化或肝癌。（2）在用药方面：在许多药物经过临床试验，已经标明可能引起诸多不良反应的情形

25、下，医生只顾眼前利益，让病人长期服用某种有效药物，并对病人说没事。当然短时期内治疗很有效果，病人也很满意，引发其它疾变的概率很小，殊不知长期服用就会出现相当严重的后果。据世界组织统计，各国住院病人发生药物不良反应的比率约在10-20%，其中5%患者因为严重的药物不良反应而死亡。（3）在治疗方面：一个病人患了某种疾病，看了很多医院，通过各种检测，许多专家都断言：治疗的希望很渺茫而拒绝进一步的治疗，因为这毕竟是小概率事件。当然也不排除因医术不高明，害怕治疗失败会影响自己声誉或医院声誉。另外现在社会，随着人们维权意识的增强，敢于拿起法律武器挑战医疗体制，也毕竟是好事。即使如此，我们认为在治疗病人疾病

26、时，出于人道主义考虑，要坚持以人为本的理念，无论治好的可能性多么小，都不应放弃治疗。况且，法律也规定医生和医院不允许见死不救。事实上，我们也看到了许多专家大胆采用新疗法、新药物、辩证治疗等方法，出现了奇迹，使病人起死回生，受到病人欢迎。当然，我们也看到许多大概率事件变小概率事件的例子。如某专家在某治疗领域是权威，对治疗某病很拿手，可以说治好的概率很大，相对的治不好的概率很小，是小概率事件，但因某些特殊原因如怀侥幸心理或麻痹大意治疗失败了，导致医疗事故的发生，人为导致小概率事件发生了，这是大家不愿看到的，这也是我们应竭力避免的。 3.5 小概率事件在假设检验中的应用假设检验的思想和方法的根据是小

27、概率原理，具体的说当对问题提出原假设和备选假设，并要检验是否可信时，可以先假定是正确的。在此假定下经过一次抽样，若发生了一个小概率事件，可以根据小概率原理，怀疑原假设不真，而作出拒绝的决定。反之，如果小概率事件没有发生，就没有理由拒绝，从而接受。下面我们看下两个例题：例1、已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.55, )。现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果估计方差没有变化，可否认为现在生产之铁水平均含碳量仍为4.55？解：要检验现在生产的铁水平均含碳量是否仍为4.55，只需检验假设：；：。此检验问题为正态总体期望的双方检验问题，由于已知，选用统计量N(0,1)（为真时），从

28、而，即是一小概率事件。根据试验的结果，U的观察值的绝对值为，又查正态分布表得，比小，小概率事件没有发生，于是我们没有理由拒绝，即认为现在生产的铁水平均含碳仍为4.55 。例2、某厂用自动包装机装箱，额定标准为每箱重100kg，设每箱重量服从正态分布，=1.15kg，某日开工后，随机抽取10箱，称得重量（kg）为：99.3 98.9 101.5 101.0 99.6 98.7 102.2 100.8 99.8 100.9问：包装机工作是否正常（取=0.05）。分析：此问题实质上就是根据总体X的一组样本观测值，来检验假设：是否成立。假设：，设X=“箱重”，则XN(u, ), 在成立的假设下，有N(

29、0,1)从而即是一小概率事件。根据试验的结果，U的观察值的绝对值为，又=1.96，比小，小概率事件没有发生，于是我们接受原假设，即认为包装机工作正常。3.6 小概率原理在商场管理中的应用小概率原理在商场管理中都有着广泛的应用，下面我将从商场用电及维修工人的配备问题中谈谈它的应用。假设商场某电器部门有台电器，由于种种原因，每台电器有时需要开，有时需要关，每台电器的开或关是相互独立的。由以往的统计数据，每台电器在一个工作日内关闭的概率为，为了了解该部门的用电情况，需要计算其在一天之内恰有k台电器处于关闭状态的概率是多大？这是一个简单的Bernoulli模型问题，每个工作日内出于关闭状态的电器数X服

30、从参数为n=12, 的二项分布，容易算出X的分布列，如下表3所示。表3K K K 0 0.0077075 0.190757 10 0.0004971 0.0462446 0.111275 11 0.0000452 0.1271717 0.04768912 0.0000023 0.2119528 0.0149034 0.2384669 0.003312由表可以得出关闭的台数不超过1台的概率为：而关闭台数超过7台的概率为：=0.018759由此可见，若取小概率标准为0.05，则“关闭台数不超过1台”和“关闭台数超过7台”均属小概率事件。根据小概率原理，可以认为在一个工作日内出于关闭的电器台数在27

31、台之间，进而可计算实际用电量。反之，还可以利用小概率原理，通过实际观察来检验原先对一台电器在一个工作日内关闭概率的估计值是否正确。如果在某个工作日内关闭的台数不超过1台或超过7台，则表明上述两个小概率事件竟然发生了，因此可以认为这是不正常的，如果没有其他原因，就可以认为将关闭概率估计为1/3是不正确的。又如仍有12台电器，每台电器出现故障需要维修的概率是p=0.05，可以认为各台电器是否出现故障是相互独立的，而且一名维修工人每次只能维修一台电器，那么，为了减少因等待维修而影响生产，商场应配备几名维修工人？这也是二项分布问题，其中同一天内出现故障的车床台数Xb（12，0.05）。不难算出 于是至

32、少2台出现故障的概率p=1- - =0.118。据此，可以考虑只配备1名维修工，因此超过1台出现故障的概率是小概率。象以上这种类型的问题在商场管理中是经常遇到的。我们只有充分掌握好小概率原理，才能更好的做好商场管理。第四章 总结通过上面的探讨可知，小概率事件原理的应用是十分广泛的，它是概率论中一个虽简单但颇有实用意义的原理，在日常生活中已有十分广泛的应用。它是概率论的精髓，是统计学存在发展的基础，它使得人们在面对大量数据而需要做出分析和判断时，能够依据具体情况的推理来做出决策，从而使统计推断具备了严格的数学理论依据。事实上，我们身边的概率问题还有很多，它常常在不经意间指导人们的实际生活。因此，

33、如何对待小概率事件是人们处理工作和生活问题的必备科学素养。但只要我们善于把握，善于用概率的知识来解决问题，进一步认识和重视小概率事件的发生、发展、转化，小概率原理的应用将会更加广泛，我们的生活会越来越好。致谢语 在论文完成过程中，是在我的导师老师的亲切关怀和悉心指导下完成的。感谢我的导师，是他悉心地教导我，经常帮我指点论文中要注意的事项，并监督我的论文进度，我的论文才进展得如此顺利。他严谨的治学态度、广博的见识、丰富的知识面、敏锐的洞察力在我对论文的选题，乃至整篇论文的完成起了至关重要的作用，他精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我，论文的字里行间无不渗透着他的汗水。在此，我向老师表示衷心的

34、感谢。此外，这次毕业论文能够顺利完成，还要感谢大学四年各位老师平时认真负责的授课，使我能够掌握专业知识，并在毕业论文中得以体现。也正是您们长期不懈的支持和帮助才使得我的毕业论文最终顺利完成。参考文献1茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程M.高等教育出版社.2004(7).第1版.2孙荣恒. 数理统计M.重庆大学出版社.1999(11).3 张红玉，杨红梅.小概率事件的原理分析及应用 J. 承德石油高等专科学校学报. 2008(6).第10卷第2期. 4焦春义,燕远伟.“小概率事件”在医学应用中的模型探讨J.科技咨询导报.2007年第5期.5肖杰华.小概率事件原理及其应用J.青海师专学报（教育科学）.2009年第5期.6张朝霞,吴杰.日常生活中的小概率事件J.太原师范学院学报（自然科学版）. 2006(12).第5卷 第4期.7段向阳,刘东南.浅析小概率事件J.科技创新导报.2009年第13期.8安美景.小概率事件原理的应用J.时代教育报.第3期.9叶宗文.重视小概率事件原理J.科技信息报.高校理科研究.10安国玲.浅谈小概率事件的原理及应用J.河南电高等专科学校学报.2010（4）.第18卷第4期.11 宋庆龙,王红丽.小概率事件原理在商场管理中的应用J.唐山师范学院.