四川中考突破复习题型专项(十二)二次函数与几何图形

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1、专项(十二)二次函数与几何图形的综合题类型1探究图形面积的数量关系及最值问题1(2016安徽)如图，二次函数yax2bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)(1)求a，b的值；(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2x6)写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数解析式，并求S的最大值解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入yax2bx.得解得(2)过点A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，连接CD，过点C作CEAD，CFx轴，垂足分别为点E，F.SOADODAD244，SACDADCE4(x2)2x4，SBCDBDCF4(x23x)x26x，则SSOADS

2、ACDSBCD4(2x4)(x26x)x28x.S关于x的函数解析式为Sx28x(2x6)S(x4)216.当x4时，四边形OACB的面积S取最大值，最大值为16.2(2016雅安中学一诊)如图，已知抛物线yax2xc与x轴相交于A，B两点，并与直线yx2交于B，C两点，其中点C是直线yx2与y轴的交点，连接AC.(1)求抛物线解析式；(2)求证：ABC为直角三角形；(3)在抛物线CB段上存在点P使得以A，C，P，B为顶点的四边形面积最大，请求出点P的坐标以及此时以A，C，P，B为顶点的四边形面积解：(1)直线yx2交x轴，y轴于B，C两点，B(4，0)，C(0，2)yax2xc经过点B，C，

3、解得yx2x2.(2)令x2x20，解得x11，x24.OA1，OB4.AB5.AC2OA2OC25，BC2OC2OB220，AB225.AC2BC2AB2.ABC为直角三角形(3)连接CD，BD，过点P作PEAB，垂足为点E，直线EP交线段BC于点D.设直线BC的解析式为ykxb.将B(4，0)，C(0，2)代入，得解得直线BC的解析式为yx2.设点D(a，a2)，则点P(a，a2a2)PDPEDEa2a2(a2)a22a，当a2时，PD有最大值，PD的最大值为2.S四边形ACPBSACBSCBPABOCOBDP524DP52PD.当PD最大时，四边形ACPB的面积最大当点P的坐标为(2，3

4、)时，四边形ACPB的面积的最大值为5229.3(2015攀枝花)如图，已知抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB.(1)求抛物线的解析式；(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得BCD的面积最大？若存在，求出点D坐标及BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由；(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q，使得QMB与PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)把A，B两点坐标代入抛物线解析式，得解得抛物线解析式为yx22x3.(2)设D(t，t22t3)

5、，过点D作DHx轴于点H，连接DC，DB.令x0，则y3，C(0，3)SBCDS梯形DCOHSBDHSBOC(t22t33)t(3t)(t22t3)33t2t.0，当t时，即点D坐标为(，)时，SBCD有最大值，且最大面积为.(3)存在P(1，4)，过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一，直线BC解析式为为yx3，过点P且与BC平行的直线为yx5.由解得Q1(2，3)直线PM的解析式为x1，直线BC的解析式yx3，M(1，2)设PM与x轴交于点E，PMEM2，过点E且与BC平行的直线为yx1.从而过点E且与BC平行的直线与抛物线的交点也为所求Q点之一联立解得Q2(，)，Q3(，

6、)满足条件的Q点坐标为(2，3)，(，)或(，)类型2探究线段的数量关系及最值问题4(2016成都青羊区二诊改编)已知抛物线yx2(1)x2(a0)与x轴交于A，B两点，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧(1)若抛物线过点D(2，2)，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点E，使AECE最小，求出点E的坐标解：(1)抛物线过点D(2，2)，4(1)222，解得a4.(2)点A，B是抛物线与x轴的交点，点B是点A关于抛物线对称轴的对称点连接BC交对称轴于点E，则点E即为使AECE最小的点a4，抛物线解析式为yx2x2.令y0，则x2x20，解得x12，x24.令x0，则

7、y2.A(2，0)，B(4，0)，C(0，2)，对称轴为直线x1.直线BC解析式为yx2.当x1时，y，E(1，)5(2015南充)已知抛物线yx2bxc与x轴交于点A(m2，0)和B(2m1，0)(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x1.(1)求抛物线解析式；(2)直线ykx2(k0)与抛物线相交于两点M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1x2)，当|x1x2|最小时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标；(3)首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为L.若线段OB在x轴上移动，求L最小时点O，B移动后的坐标及L的最小值解：(1)由题意，得1，b2.抛物线yx2

8、bxc与x轴交于点A(m2，0)和B(2m1，0)，x2bxc0的解为m2和2m1.(m2)(2m1)b，(m2)(2m1)c.m1，c3.抛物线解析式为yx22x3.(2)联立得x2(k2)x10.x1x2(k2)，x1x21，(x1x2)2(x1x2)24x1x2(k2)24.当k2时，(x1x2)2的最小值为4，即|x1x2|的最小值为2.解得x11，x21，则y10，y24.当|x1x2|最小时，抛物线与直线的交点为M(1，0)，N(1，4)(3)由(1)得O(0，0)，B(3，0)，P(1，4)，C(0，3)LOBBPPCCO，又线段OB平移过程中，OB，PC的长度不变，要使L最小，

9、只需BPCO最短如图，平移线段OC到BC，四边形OBCC是矩形C(3，3)作点P关于x轴(或OB)的对称点P(1，4)，连接CP与x轴交于点B.设CP解析式为yaxn.解得yx.当y0时，x，B(，0)又3，故点B向左平移个单位，平移到B.同时，点O向左平移个单位，平移到O(，0)，即线段OB向左平移个单位时，周长L最短此时，线段BP，CO之和最短为PC，OBOB3，CP.当线段OB向左平移个单位，即点O平移到O(，0)，点B平移到B(，0)时，周长L最短为3.类型3探究特殊三角形的存在性问题6如图，已知抛物线E1：yx2经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2，2)，点A，B

10、关于y轴的对称点分别为点A，B.(1)求m的值；(2)求抛物线E2的函数解析式；(3)在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q，B，B为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)抛物线E1经过点A(1，m)，m121.(2)抛物线E2的顶点在原点，可设它对应的函数解析式为yax2(a0)，又点B(2，2)在抛物线E2上，2a22.解得a.抛物线E2的函数解析式为yx2.(3)假设在抛物线E1上存在点Q，使得以点Q，B，B为顶点的三角形为直角三角形当点B为直角顶点时，过点B作Q1BBB交抛物线E1于点Q1，则点Q1与B的横坐标相等且为2.将x2代入

11、yx2，得y4.点Q1(2，4)；当点Q2为直角顶点时，则有Q2B2Q2B2BB2，过点Q2作Q2GBB于点G.设点Q2的坐标为(t，t2)(t0)，则有(t2)2(t22)2(2t)2(t22)242，整理得t43t20.t0，t230，解得t1，t2(舍去)点Q2(，3)综上所述，存在符合条件的点Q坐标为(2，4)与(，3)7(2016雅安中学二诊)如图，已知抛物线与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，其中x1，x2为方程x22x80的两个根(1)求该抛物线的解析式；(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QEAC，交BC于点E，连接CQ，设Q(x，0)，C

12、QE的面积为y，求y关于x的函数关系式及CQE的面积的最大值；(3)点M的坐标为(2，0)，问：在直线AC上，是否存在点F，使得OMF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由解：(1)解方程x22x80，得x14，x22.A(4，0)，B(2，0)设抛物线解析式为ya(x4)(x2)将C(0，4)代入，解得a.抛物线解析式为yx2x4.(2)由Q(x，0)，可得BQx2，AQ4x，过点E作EHAB于点H.EHCO.又QEAC，.，即EH(x2)SCQESCBQSEBQ(x2)4(x2)(x2)，y关于x的函数关系式为yx2x(x1)23(2x4)CQE的面积的最大值为3.(

13、3)存在点F使得OMF是等腰三角形设AC的解析式为ykxb.直线AC过点A(4，0)和C(0，4)，解得直线AC的解析式为yx4.点F在AC上，设F(x，x4)，OF，MF，OM2.若OMF是等腰三角形，则可能有三种情况：如图1，当OFFM时，F的横坐标应为1，F(1，3)；当OMOF2时，2，化简得x24x60.80这种情况不存在；如图2，当OMMF时，4，化简得x26x80，解得x12，x24(舍去)F(2，2)综上所述，当OMF是等腰三角形时，F(1，3)或(2，2)8(2016凉山模拟)如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点E是BC的中点，F是AB

14、延长线上一点且FB1.(1)求经过点O，A，E三点的抛物线解析式；(2)点P在抛物线上运动，当点P运动到什么位置时OAP的面积为2，请求出点P的坐标；(3)在抛物线上是否存在一点Q，使AFQ是等腰直角三角形？若存在直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)点A的坐标是(2，0)，点E的坐标是(1，2)设抛物线的解析式是yax2bxc，根据题意，得解得抛物线的解析式是y2x24x.(2)当OAP的面积是2时，点P的纵坐标是2或2.当2x24x2时，解得x1，点P的坐标是(1，2)；当2x24x2时，解得x1，此时点P的坐标是(1，2)或(1，2)综上，点P的坐标为(1，2)，(1，2)或

15、(1，2)(3)AFABBF213，OA2.则点A是直角顶点时，Q不可能在抛物线上；当点F是直角顶点时，Q不可能在抛物线上；当点Q是直角顶点时，Q到AF的距离是AF，若点Q存在，则Q的坐标是(，)将Q(，)代入抛物线解析式成立抛物线上存在点Q(，)使AFQ是等腰直角三角形类型4探究特殊四边形的存在性问题9(2016雅安中学三诊)如图，已知二次函数yx2bxc的图象经过A(2，1)，B(0，7)两点(1)求该抛物线的解析式及对称轴；(2)当x为何值时，y0?(3)在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C，D两点(点C在对称轴的左侧)，过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为点F，E.当矩形CDE

16、F为正方形时，求点C的坐标解：(1)把A(2，1)，B(0，7)两点的坐标代入yx2bxc，得解得该抛物线的解析式为yx22x7.yx22x7(x1)28，对称轴为直线x1.(2)当y0时，x22x70，解得x12，由图象知12x12时，y0.(3)设C点的坐标为(m，n)，矩形CDEF为正方形，nm22m7，即CFm22m7.C，D两点的纵坐标相等，C，D两点关于对称轴x1对称设点D的横坐标为p，则1mp1，p2m，CD(2m)m22m.CDCF，22mm22m7.解得m11，m25.点C在对称轴的左侧，m只能取1.当m1时，nm22m7(1)22(1)74.点C的坐标为(1，4)10(20

17、16德阳旌阳区一模)如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA4，OC3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设抛物线顶点为E，根据题意OA4，OC3，得E(2，3)设抛物线解析式为ya(x2)23.将A(4，0)代入，得04a3，解得a.抛物线解析式为y(x2)23x23x.(2)设直线AC解析式为ykxb(k0)将A(

18、4，0)与C(0，3)代入，得解得直线AC解析式为yx3.与抛物线解析式联立，得解得点D坐标为(1，)(3)假设存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况考虑：当点M在x轴上方时，如图1所示四边形ADMN为平行四边形，DMAN，DMAN，由对称性得到M(3，)，即DM2，故AN2，N1(2，0)，N2(6，0)；当点M在x轴下方时，如图2所示过点D作DQx轴于点Q，过点M作MPx轴于点P，可得ADQNMP，MPDQ，NPAQ3，将yM代入抛物线解析式得x23x，解得xM2或xM2，xNxM31或1，N3(1，0)，N4(1，0)假设成立综上所述，满足条件的点N有4个：N1(2，

19、0)，N2(6，0)，N3(1，0)，N4(1，0)11(2016成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线ya(x1)23与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C(0，)，顶点为D，对称轴与x轴交于点H.过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴右侧(1)求a的值及点A，B的坐标；(2)当直线l将四边形ABCD分为面积比为37的两部分时，求直线l的函数解析式；(3)当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否成为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由解：(1)抛物线ya(x1)23与y轴交于点C(0，)a3，解得a.

20、y(x1)23.当y0时，有(x1)230，x12，x24.A(4，0)，B(2，0)(2)A(4，0)，B(2，0)，C(0，)，D(1，3)，S四边形ABCDSAHDS梯形OCDHSBOC33(3)1210.从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况：当直线l与边AD相交于点M1时，则SAHM1103，3(yM1)3.yM12，点M1(2，2)，过点H(1，0)和M1(2，2)的直线l的解析式为y2x2；当直线l与边BC相交于点M2时，同理可得点M2(，2)，过点H(1，0)和M2(，2)的直线l的解析式为yx.综上：直线l的函数解析式为y2x2或yx.(3)假设以DP为对

21、角线的四边形DMPN能成为菱形设P(x1，y1)，Q(x2，y2)且过点H(1，0)的直线PQ的解析式为ykxb.kb0，ykxk.联立得x2(k)xk0.x1x223k，y1y2kx1kkx2k3k2.点M是线段PQ的中点，由中点坐标公式得点M(k1，k2)假设存在这样的N点如图所示，直线DNPQ.设直线DN的解析式为ykxk3.联立解得x11，x23k1.N(3k1，3k23)四边形DMPN是菱形，DNDM.(3k)2(3k2)2()2(k23)2.整理得3k4k240，(k21)(3k24)0.k210，3k240.解得k.k0，k.P(31，6)，M(1，2)，N(21，1)PMDN2

22、.PMDN，四边形DMPN为菱形假设成立，即以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为(21，1)类型5探究三角形相似问题12已知直线yx1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将AOB绕点O顺时针旋转90，使点A落在点C，点B落在点D，抛物线yax2bxc过点A，D，C，其对称轴与直线AB交于点P，(1)求抛物线的解析式；(2)求POC的正切值；(3)若点M在x轴上，且ABM与APD相似，求点M的坐标解：(1)当y0时，x10，解得x2.当x0时，y1，A(2，0)，B(0，1)AOB顺时针旋转90得到COD，C(0，2)，D(1，0)抛物线yax2bxc过点A，D，C，解得抛物线

23、解析式为yx2x2.(2)根据(1)，抛物线对称轴为x，()1，点P的坐标为(，)过点P作PQx轴于点Q，则PQy轴，POCOPQ.tanOPQ，tanPOC.(3)点M在x轴上，且ABM与APD相似，点M必在点A的右侧，AP2，AB，AD1(2)123.AA，AP和AB是对应边时，即，解得AM4.设点M坐标为(x，0)，则x(2)4，解得x2.点M的坐标为(2，0)；AP和AM是对应边时，即，解得AM.设点M坐标为(x，0)，则x(2)，解得x.点M的坐标为(，0)综上所述，当点M(2，0)或(，0)时，ABM与APD相似13(2016大邑县一诊改编)如图，二次函数yax24ax的图象c交x

24、轴于A，B两点(A在B的左侧)，过点A的直线ykx3k(k)交c于另一点C(x1，y1)，交y轴于点M.(1)求点A的坐标，并求二次函数的解析式；(2)过点B作BDAC交AC于点D，若M(0，3)且Q点是直线AC上的一个动点求出当DBQ与AOM相似时点Q的坐标解：(1)设y0，即kx3k0，解得x3.A(3，0)A(3，0)在yax24ax的图象上，09a12a，解得a.该二次函数的解析式为yx2x.(2)在RtAOM中，OA3，OM3tanOAM，OAM60.如图1中，当Q在DA的延长线上时，BQD30，BQDAOM，在RtABD中，BDBAsin60.在RtBQD中，BDBQsin30，解

25、得BQ2.过点Q作QQx轴于点Q.BAD60BQAQBA，BQD30，QBQ30.在RtBQQ中，QBQ30，BQ2，QQ，BQ3.Q(4，)；当点Q与点A重合时，BQD60，DQBOAM，此时点Q(3，0)；如图2中，当点Q在线段DC上时，BQD60，DQBOAM，在AQB中，BAQAQB60，得BQAB2.Q(2，)；如图3中，当BQD30时，DQBOMA，此时BQOM.设Q(1，y)在直线yx3上，解得y2.Q(1，2)综上所述，Q(4，)或Q(3，0)或Q(2，)或Q(1，2)14(2016攀枝花)如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A，B两点，点B坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，

26、3)的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由解：(1)把B，C两点坐标代入抛物线解析式，得解得抛物线解析式为yx22x3.(2)连接BC，过点P作y轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H.在yx22x3中，令y0，则0x22x3，解得x1或x3.A点坐标为(1，0)AB3(1)4，且OC3.SABCABOC436.B(3，0)，C(0，3)，直线BC解析式为yx3.设P点坐标为(x，x22x3)，则M点坐标为(x，x3)P点在第四象限，PMx3(x22x3)x23x.SPBCPMOHPMHBPM(OHHB)PMOBPM.当PM有最大值时，PBC的面积最大，则四边形ABPC

27、的面积最大PMx23x(x)2，当x时，PMmax，则SPBC.此时P点坐标为(，)，S四边形ABPCSABCSPBC6.即当P点坐标为(，)时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为.(3)设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，则AGPGNCGCN.当AGB和NGC相似时，必有AGBCGB.又AGBCGB180，AGBCGB90.ACOOBN.在AOC和NOB中，AOCNOB(ASA)ONOA1.N点坐标为(0，1)设直线m解析式为ykxd.把B，N两点坐标代入，得解得直线m解析式为yx1.故存在满足条件的直线m，其解析式为yx1.拓展类型其他问题1(2016巴中)如图，在平面直角坐标系中，抛

28、物线ymx24mx5m(m0)与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，该抛物线的对称轴与直线yx相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线yx上(不与原点重合)，连接PD，过点P作PFPD交y轴于点F，连接DF.(1)如图所示，若抛物线顶点的纵坐标为6，求抛物线的解析式；(2)求A，B两点的坐标；(3)如图所示，小红在探究点P的位置时发现：当点P与点E重合时，PDF的大小为定值，进而猜想：对于直线yx上任意一点P(不与原点重合)，PDF的大小为定值请你判断该猜想是否正确，并说明理由解：(1)ymx24mx5m，ym(x24x5)m(x5)(x1)令y0，则m(x5)(x1)0.m0，x5或x1.

29、A(5，0)，B(1，0)抛物线的对称轴为x2.抛物线的顶点坐标为(2，6)，9m6，即m.抛物线的解析式为yx2x.(2)由(1)可知：A(5，0)，B(1，0)(3)如图所示，OP的解析式为yx，AOP30.PBF60.PDPF，FOOD，DPFFOD90.DPFFOD180.点O，D，P，F共圆PDFPBF.PDF60.2如图，抛物线yax2bxc的顶点为D，与y轴交于点C，直线CD的解析式为yx2.(1)求b，c的值；(2)过点C作CEx轴交抛物线于点E，直线DE交x轴于点F，且F(4，0)，求抛物线的解析式；(3)在(2)条件下，抛物线上是否存在点M，使得CDMCEA？若存在，求出点

30、M的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)直线CD的解析式为yx2，C(0，2)c2.设直线CD交x轴于点A，A(2，0).OCA30，过点D作DMy轴于点M，DCM30，CMDM，设抛物线的顶点横坐标为h，则CMh，D(h，2h)ya(xh)22h.C(0，2)，2ah22h.解得h10(舍)，h2.ya(x)22hax22x2h.b2.(2)作抛物线的对称轴交x轴于点B(如图)，DCM30，CDB30，由抛物线的对称性，可得DCE为等边三角形CEx轴，DAF为等边三角形点B为AF中点A(2，0)，F(4，0)，B(1，0)抛物线对称轴为直线x1，1.1.a.D(1，3)y(x1)23x22x

31、2.(3)存在过点C作CMDE于点N交抛物线于点M，此时，CDMCEM.CDE为等边三角形，CM为DE的中垂线，DMEM，CDMCEM，D(1，3)，E(2，2)，N(，)设yCNkxb，代入(0，2)，(，)，得yCNx2.联立解得M(，)3(2016南充模拟)如图，已知：抛物线yx2bxc与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过B，C两点的直线是yx2，连接AC.(1)B，C两点坐标分别为B(4，0)，C(0，2)，抛物线的函数关系式为yx2x2；(2)判断ABC的形状，并说明理由；(3)在ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFC(顶点D，E，F，G在ABC各边上)？若能，求出在AB边上

32、的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由解：(2)ABC是直角三角形理由：当y0时，x2x20，解得x11，x24，则A(1，0)，AC212225，BC2422220，AB25225，AC2BC2AB2，ABC是直角三角形，ACB90.(3)能当矩形DEFG顶点D在AB上时，点F与点C重合，如图1，设CGx，DGBC，AGDACB.AG：ACDGBC，即(x)DG2，解得DG2(x)S矩形DEFGx(22x)2x22x2(x).此时x时，矩形DEFG的面积最大，最大值为，当矩形DEFG两个顶点D，E在AB上时，如图2，CO交GF于点H，设DGx，则OHx，CH2x，GFAB，CGFCAB，GFABCHCO，即GF5(2x)2，解得GF(2x)S矩形DEFGx(2x)x25x(x1)2，此时x1时，矩形DEFG的面积最大，最大值为.综上所述，当矩形DEFG两个顶点D，E在AB上时和当矩形DEFG一个顶点D在AB上最大面积相同，DG1，DE(21)，DGOC，ADGAOC，ADAODGOC，即AD112.解得AD.OD.OE2.D(，0)，E(2，0)当矩形一个顶点在AB上时，GD2(x)，AG，AD，ODADOA.D(，0)综上，在ABC内部能截出面积最大的矩形DEFC，当矩形两个顶点在A，B上时坐标为D(，0)，E(2，0)，当矩形只有一个顶点在AB上时，坐标为D(，0)