全等三角形问题中常见的辅助线的作法

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1、-全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)一、倍长中线线段造全等1、希望杯试题，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值围是_.2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比拟BE+CF与EF的大小.3、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.二、截长补短1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CDAC2、如图，ADBC，EA,EB分别平分DAB,CBA，CD过点E，求证;ABAD+BC。 3、如图，在，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边

2、形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求证： 5、如图在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC三、平移变换例1 AD为ABC的角平分线，直线MNAD于A.E为MN上一点，ABC周长记为，EBC周长记为.求证.例2 如图，在ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.四、借助角平分线造全等1、如图，在ABC中，B=60，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD2、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. 1说明BE=CF的理由；2如果AB=，AC=，求AE、BE的长.五、旋转例1

3、 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数.例2 D为等腰斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。（1） 当绕点D转动时，求证DE=DF。（2） 假设AB=2，求四边形DECF的面积。例3 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为； 参考答案与提示一、倍长中线线段造全等例1、希望杯试题，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值围是_.解：延长AD至E使AE2AD，连BE，由三角形性质知AB-BE 2ADAB+BE 故AD的取值围

4、是1AD4例2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比拟BE+CF与EF的大小.解：(倍长中线,等腰三角形三线合一法)延长FD至G使FG2EF，连BG，EG,显然BGFC，在EFG中，注意到DEDF，由等腰三角形的三线合一知EGEF在BEG中，由三角形性质知EGBG+BE 故：EFBE+FC例3、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.解：延长AE至G使AG2AE，连BG，DG,显然DGAC， GDC=ACD由于DC=AC，故 ADC=DAC在ADB与ADG中， BDAC=DG，ADAD，ADB=ADC+ACD=ADC+GDCADG故

5、ADBADG，故有BAD=DAG，即AD平分BAE应用：1、09崇文二模以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系1如图当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；2将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图所示，1问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由解：1，；证明：延长AM到G，使，连BG，则ABGC是平行四边形GCHABDMNE，又再证：，延长MN交DE于H2结论仍然成立证明：如图，延长CA至F，使，FA交DE于点P，并连接BF，FCPABDMNE在和中SAS，

6、又，且，二、截长补短1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CDAC解：截长法在AB上取中点F，连FDADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知DFAB，故AFD90ADFADCSASACDAFD90即：CDAC2、如图，ADBC，EA,EB分别平分DAB,CBA，CD过点E，求证;ABAD+BC解：截长法在AB上取点F，使AFAD，连FEADEAFESASADEAFE，ADE+BCE180AFE+BFE180故ECBEFBFBECBEAAS故有BFBC从而;ABAD+BC3、如图，在ABC，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=

7、AB+BP解：补短法, 计算数值法延长AB至D，使BDBP，连DP在等腰BPD中，可得BDP40从而BDP40ACPADPACPASA故ADAC又QBC40QCB 故 BQQCBDBP从而BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求证： 解：补短法延长BA至F，使BFBC，连FDBDFBDCSAS故DFBDCB ，FDDC又ADCD故在等腰BFD中DFBDAF故有BAD+BCD1805、如图在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC解：补短法延长AC至F，使AFAB，连PDABPAFPSAS故BPPF由三角形性质知PBPC

8、PFPC BF=BA+AF=BA+AC从而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA例2 如图，在ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.BD=CE,DM=EM,DMNEMA(SAS),DN=AE,同理BN=CA.延长ND交AB于P,则BN+BPPN,DP+PAAD,相加得BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去DP,得BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE。四、借助角平分线造全等1、如图，在ABC中，B=60，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD，DC+AE =A

9、C证明L(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)B=60度,则BAC+BCA=120度;AD,CE均为角平分线,则OAC+OCA=60度=AOE=COD;AOC=120度.在AC上截取线段AF=AE,连接OF.又AO=AO;OAE=OAF.则OAEOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;AOF=AOE=60度.则COF=AOC-AOF=60度=COD;又CO=CO;OCD=OCF.故OCDOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. 1说明BE=CF的理由；2如果AB=，A

10、C=，求AE、BE的长.解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD，DCDG垂直平分BC，故BDDC由于AD平分BAC， DEAB于E，DFAC于F，故有EDDF故RTDBERTDFCHL故有BECF。AB+AC2AEAEa+b/2BE=(a-b)/2应用：1、如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答以下问题：1如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图图图2如图，在AB

11、C中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由。解：1FE与FD之间的数量关系为2答：1中的结论仍然成立。证法一：如图1，在AC上截取，连结FG ，AF为公共边，FBEACD图 12143G，AD、CE分别是、的平分线及FC为公共边证法二：如图2，过点F分别作于点G，于点H FBEACD图 22143HG，AD、CE分别是、的平分线可得，F是的心，又可证五、旋转例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数.证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形AB

12、G则GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，AF=AG，所以三角形AEF全等于AEG所以EAF=GAE=BAE+GAB=BAE+DAF又EAF+BAE+DAF=90所以EAF=45度例2 D为等腰斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。(1)当绕点D转动时，求证DE=DF。(2)假设AB=2，求四边形DECF的面积。解：(计算数值法)1连接DC，D为等腰斜边AB的中点，故有CDAB，CDDACD平分BCA90，ECDDCA45由于DMDN，有EDN90由于 CDAB，有CDA90从而CDEFDA故有CDEADFASA故有DE=DF2SABC=2, S四DECF=

13、 SACD=1例3 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为；解：(图形补全法, 截长法或补短法, 计算数值法) AC的延长线与BD的延长线交于点F，在线段CF上取点E，使CEBMABC为等边三角形，BCD为等腰三角形，且BDC=120，MBD=MBC+DBC=60+30=90，DCE=180-ACD=180-ABD=90，又BM=CE，BD=CD，CDEBDM，CDE=BDM，DE=DM，NDE=NDC+CDE=NDC+BDM=BDC-MDN=120-60=60，在DMN和DEN中， DM=DEMDN=E

14、DN=60 DN=DNDMNDEN，MN=NE在DMA和DEF中， DM=DEMDA=60-MDB=60-CDE=EDF (CDE=BDM)DAM=DFE=30DMNDEN (AAS)，MA=FE的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6应用：1、四边形中，绕点旋转，它的两边分别交或它们的延长线于当绕点旋转到时如图1，易证当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，不需证明图1图2图3解：1，SAS；，为等边三角形，2图2成立，图3不成立。证明图2，延长DC至点K，使，连接BKKABCDEFM

15、N图 2则，即图3不成立，AE、CF、EF的关系是2、西城09年一模:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当APB=45时,求AB及PD的长;(2)当APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应APB的大小.分析：1作辅助线，过点A作于点E，在中，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在中，根据勾股定理可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将绕点A顺时针旋转得到，可得，求PD长即为求的长，在中，可将的值求出，在中，根据勾股定理可将的值求出；解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交

16、于F，交PB于G，在中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在中，可求出PF，在中，根据勾股定理可将PD的值求出；2将绕点A顺时针旋转，得到，PD的最大值即为的最大值，故当、P、B三点共线时，取得最大值，根据可求的最大值，此时EPADCB解：1如图，作于点E中，在中，PPACBDE解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将将绕点A顺时针旋转得到，可得，；解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的延长线交PB于GGFPACBDE在中，可得，在中，可得，在中，可得2如下图，将绕点A顺时针旋转,得到，PD的最大值，即为的最大值中，且P、D两点落在直线AB的两侧当、P、

17、B三点共线时，取得最大值如图PPACBDPPACBD此时，即的最大值为6此时3、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系图1 图2 图3I如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是； 此时； II如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜测I问的两个结论还成立吗？写出你的猜测并加以证明； III 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，假设AN=，则Q=用、L表示分析：1如果，因为，则，也就有，直

18、角三角形MBD、NCD中，因为，根据HL定理，两三角形全等。则，三角形NCD中，在三角形DNM中，因此三角形DMN是个等边三角形，因此，三角形AMN的周长，三角形ABC的周长，因此2如果，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。延长AC至E，使，连接DE1中我们已经得出，则三角形MBD和ECD中，有了一组直角，因此两三角形全等，则，三角形MDN和EDN中，有，有一条公共边，因此两三角形全等，至此我们把BM转换成了CE，把MN转换成了NE，因为，因此Q与L的关系的求法同1，得出的结果是一样的。3我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换，思路同2过D作，三角形BDM和CDH中，由1中已经得出的，

19、我们做的角，因此两三角形全等ASA则，三角形MDN和NDH中，的条件有，一条公共边ND，要想证得两三角形全等就需要知道，因为，因此，因为，则，因此，这样就构成了两三角形全等的条件三角形MDN和DNH就全等了则，三角形AMN的周长因为，因此三角形AMN的周长解：1如图1，BM、NC、MN之间的数量关系：；此时图 1NMADCB2猜测：结论仍然成立证明：如图2，延长AC至E，使，连接DE，且又是等边三角形E图 2NMADCB在与中H图 3NMADCBSAS，在与中SAS故的周长而等边的周长3如图3，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，假设，则用*、L表示点评：此题考察了三角形全等的判定及性质；题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的，当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建于和所求条件相关的全等三角形。. z.