劝量定理及动量守恒定律6

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1、第三章动量定理及动量守恒定律(1)上章我们讨论了如何描述质点的运动,但是并未涉及运动与物本相互作用的关系问题。我们不仅要研究运动的现象，更重要的是要研究运动的本质引起运动状态变化的原因，从而找出物体运动所遵循的基本规律。运动和物体相互作用关系问题，可以说是物理学先驱们最早研究的课题之一。即使今天，已知运动求力的问题仍然不断的提到人们面前，例如怎样设计安排火箭的推力，才能将人类地球卫星送上预定的轨道等等。反之，已知物体所受到的力求其运动规律的问题也同样重要。所有这些问题的解决都是动力学任务。从本章起我们开始进入质点动力学的学习内容。人类几千年的研究成果逐渐形成了今天的动力学。动力学的任务就是研究

2、物体间的相互作用以及它们和物体机械运动间的关系，或者说是研究在力的作用下，物体运动状况变化的规律，这也是牛顿力学的核心问题。在这方面牛顿做了大量的理论和实验工作，创立了数学工具微积分，归纳总结出三条运动定律和万有引力定律，从而找到了地上物体和宇宙天体共同遵循的普遍的机械运动的规律性，为经典力学的建立奠定了坚实的理论基础。但是，牛顿划时代的著作“自然哲学的数学原理”一书的发表已300余年，在这期间，人类对自然的认识已发生了天翻地覆的变化。以经典力学为例，传统力学教材是以牛顿运动三定律为核心来展开的，并把质量和力作为动力学中最基本的概念，从而导出动量和能量的概念以及有关的守恒定律。然而从现代物理学

3、角度来看，描述物质的运动和相互作用时，动量能量的概念要比力的概念基本得多。因此，我们从动量入手研究动力学。当然，在经典力学中，牛顿运动三定律仍具有非常重要的地位。在本章中我们作以下三方面的工作：1、从惯性和动量概念出发，系统地学习牛顿运动三定律，并在切实理解有关概念、掌握有关规律的基础上，学会运用牛顿运动定律求解质点动力学问题的基本方法，即分离物体法。2、系统地学习，讨论主动力和被动力。3、讨论非惯性参考中的动力学问题与惯性力，从而对牛顿运动定律的局限性有一个较为清楚的认识。可以说，本章是我们能否学好力学的关键之所在，能否理解和掌握力学的基本内容，在很大程度上取决于对本章的学习。所以，同学们切

4、不可因为在中学已学过牛顿运动定律，而在学习上产生松懈情绪。3.1 今天我们学习牛顿第一不定律和惯性参考系惯性质量、动量和动量守恒定律所做的工作：1、学习牛顿第一定律以及惯性和惯性参考系等概念。2、引入惯性质量、动量等概念，进而得出动量守恒定律。3.1牛顿第一不定律和惯性参考系牛顿第一定律，应该说为为先是由伽利略提出的，它实际上是伽利略思想的继承和发展。在伽利略之前，人们曾错误地认为运动着的物体需要连续不断的的推动或牵引来维持其运动。女如:一般的经验告诉我们，要使物体在地面上作水平运动，就要对物体施加某种方式的作用（推、拉）。不管是什么作用引起物体状态的变化，一旦这种作用P被解除，物体就将逐渐停

5、止运动。正是这一直观的事.实使人们产生了上述那种错误地认识。例如，古希腊的著名哲学家亚里士多德就曾认为是空气对飞箭施加作用，推动飞箭前进。这种观点现在看来当然是错误而可笑的。问题的关键在于仅仅从日常经验不能得到物体运动与相互作用关系科学的认识，需要的是在观察与实验的基础上大胆而合理的假设和推论一科学地抽象。伽利略做到了这一点，首先看出上述观点的根源所在一摩擦力“如果”能去掉摩擦力，物体就能在光滑的表面上无限期地滑动下去而不会停止，这里已体现出牛顿第二定律的思想。后来牛顿把这一现象推广到了宇宙万物。并把它作为一个基本定律确定下来。这就是我们今天所说的牛顿第二定律，即，孤立质点静止或.作等速直线运

6、动。说明：1、孤立质点一理想模型，不受其它物体作用或离其它物体都足够远的质点。3、牛顿第一定律律实质上提出了惯性的概念。惯性一物体保持静止或匀速直线运动状态的性质，它是任何物体都具有的固有属性。惯性运动一把物体不受其它物体作用时所作的等速直线运动叫做惯性运故有时又把牛顿第一定律叫惯性定律。3、牛顿第一定律定义一个惯性参考系。我们都知道，运动是绝对的，但对运动的描述都是相对的。那么，是否存在这样的参考实际上提出了一个描述物体运动的适当的参考系。我们通常把这种参考系叫惯性参考系，简称惯性系。现在的问题，惯性系是真的存在，严格地讲，这种参考系是不存在的。值得幸运的是，实验事实告诉我们，在一定的精度条

7、件下，存在着近似的惯性系。例如，地球相对太阳的运动、有公转和自转。尽管如此，在研究地球上物体相对地球的运动时，（坐标原点取在地心或地球表面），在一有限的时间和空间范围内，可以把地球当做近似的惯性系。同样道理在研究太阳系中各行星的运动时，可以把太阳当做近似的惯性系。总之，只有近似的惯性系，不存在绝对的惯性系。另外，利用伽利略变换，我们可以证明：相对惯性系静止或等速直线运动的参考系也是一个惯性系。就是，发现一个惯性系，便会有无穷多个惯性系。惯性质量、动量和动量守恒定律（一）惯性质量3.1所示（p82）令两质点（滑块）分别以V-!和V2运动并碰撞，测出两质点改变量12一、人、/.碰刖ViV2碰后rV

8、1V2改变量-Vi=V2现在考虑两质点在气桌上的碰撞实验，如图二V1禾口二V2初速度实验结果表明:（1）改变初速度反复实验多次不同的初速度:-v和-v2虽然不同。=常量但此值：V2即：速度的变化训和厶v2方向总是相反的，而大小之比总是一样的。（2）对不同的二滑块上述结论成立，只是值不同，即a与滑块有关。“标准”物体,为了揭示a的物理意义令a=m/mo,现在我们选取某一物体作为我们的后，让质点1、2、3,分别与标准质点砬撞，则有im.：vo_.；：V|-miV|mo-m2-.：vo-v2=-m2v2m_LVo-mLV3占Vo=-mAVi(i=1、2、3,n)令：=,mo=1(kg)mo定义：m_

9、、m2、m3等为质点1、2、3,等的质量。livol即质点质量：m（kg）上式便是物体“质量的操作型定义”。由此可见，只要我们选取一个标准物体并规定其质量，就可测出任一物体的质量。质量的上述定义是马赫首先提出的。讨论：（i）上述定义的质量，其大小反映了质点在相通互碰撞过程中速度改变的难易程度，质量惯性的大小。所以这样定义的质量应叫做：惯性质量“，简称质量。注意区分：惯性质量一物体惯性的量度摩尔数（mol）物质的多少在经典力学中：m=常量（二）动量、动量守恒定律（mo为静止质量）当一个质量为m的物体，以速度v运动时，它的“运动”应怎样去量度呢？这个问题很不简单，在科学史上争论了二百多年。恩格斯在

10、自然辩证法书中对此有专门的讨论。现在我们知道，对运动必须有两个（而不是一个）量度。一个是动量、一个是动能。下面先引入质点动量的概念。一个质点的质量与其速度的乘积定义为该质量的动量，记作:p=mv(kg.m/s)(324)通过两质点在气桌上碰撞实验，我们发出对任何两质点均有mivi=-m2V2对其它情况”两质点相互作用前后速度变化的研究表明上式亦成立。Vi和V2表示末速度，则有:（其它情况指受到它们之间的相互作用。）令V01和V02分别表示两质点相互作用前的初速度，LVi=V1V01V2=V2V02miVi-Voi-讥V2-V02即：miVim2V2二mVoim2V02（3.2.5）或PiP2=

11、PoiPo上式表明：如果这两个质点只受到它们之.间的相互作用则这个系统的总动量保持恒定，即pi-p2=恒矢量它是物理学中最基本的普适原理之一。对由这个结果就是两质点系统的动量守恒定律，两个以上的质点组成的质点组（系），其动量守恒定律可表示为：p=7Pi=7miVi=恒矢量（3.2.6）讨论：（i）当v：c时，p=-一c:真空中光速当vc时，p=moV（2）物质存在的形式：光子（mo=o）h:普朗克常数：频率粒子p=mv动量不受外电作用的带电体系（带电粒子）p-P强二恒矢量（由磁场）3.2 牛顿运动定律伽利略相对性原理本节我们将在惯性系和动量守恒定律的基础上，引入力的概念，进而得出牛顿第二和第三

12、定律。（一）力力的独立作用原理我们忆经知道，两质点相互作用前后，均有：m=-mv2或：口-p2上式表明：两质点在相互作用中传递着动量，即质点2失去的动量等于质点1获得的动量。设相互作用的时间间隔为：Lt=t-0t取.：t0时的极限，得亜二一亜dtdtd(mivi)d(m2v2)或dtdt则单位时间内的质点间交换的动量为：厶P1:P2.逬一：t作用两质点的运动状态发生了变化,质点1运动状态的变化是由于质点2对它的作用。同理,质点2运动状态的变化是由于质点1对它的作用。我们定义:21的作用力:F12GkdP1dtd二km.v1dt(取k=1)即F12为单位时间内质点2传递给质点1的动量。与此同时，

13、质点1给质点2的作用力须定义:上式表明：当两质点相互作用时，动量时间的变化率大小相等、方向相反。也就是说，由于相互同时这个量也反映出每个质点在相互作用中动量矢量的瞬时变率。12的作用力：F21二k亜=km2v2(取k=1)dtdtd（mv）般情况下：有F=显然，在上述定义中，我们已把力视为矢量，力到底是否为矢量尚须视其合成是否符合平行四边形法则（以上引入力的概念）。有一条经验定律一力的独立作用原理：如一质点同时受到几个力的作用，则这些力各向产生的效果而不互相影响。即:质点m同时受到则对每一个力有：F1、F2,Fn的作用。d(mv)F1-1dtd(mv)Fn=ndtm动量总的改变可用平行四边形法

14、则合成.：pdmvdt一dtdmv+.dtdmvdtmvdt几个力共同作用后，质点n-dinvi即：合力F=丘+F2+F3+Fn=瓦Fi=Liidt即:dt(1)也就是说，质点动量对时间的变化率等于作用于该质点的力的矢量和,定理。称为质点的动量（=）牛顿第二定律因为在经典力学中，m=const，则由质点的动量定理有:nFi=mai(2)定理是质点的加速度，上式就是牛顿第二定律的常见形式，叫质点的动力学方dt程。而（1）式则是它的更一般的形式，在相对论中也适用。2、牛顿第三定律利用力的定义式：卩12=並而:F21dP2dtdPidtdP2-dt(3)有:Fl2=-F21这就是牛顿第三定律，两力F

15、12和F21分别称为作用力和反作用力。到此为止。我们便从惯性质量和动量的概念出发，引入力的概念得到全部牛顿运动三定律。关于牛顿第二和第三定律再做几点说明_ 第二定律说明了力与运动的关系一力产生加速度（不是速度）第三定律说明力来源于物体间的相互作用，作用与反作用分别作用于二个不同的物体，各产生其效果，不能互相抵消，它们互以对方的存在为力存在的条件，同时产生，同时消失。 作用力与反作用力总是属于同一种性质的力。（三）伽利略的相对性原理上述讨论都是相对惯性而言的，即都是相对牛顿第一定律所定义的哪个参考系一惯性参考系，而实际上，牛顿运动定律也只适用于惯性系，有关问题我们将在3.6节中详细讨论。我们知道

16、，对于两个不同的惯性系P=P但，可以证明：对于不同的惯性系，牛顿第二、第三定律的形式不变。即：o系vFi二maio系Fi=mai加速度为伽利略不变量，即aX=X-vtX=Xyyyyz=zz=z因为：m=mt=tt=tn则有：7Fi二ma二ma二idtHKb同证：o系F12=-F21lMilMiF-1O系F12=-F21(F21-_F21)可见：与牛顿第一定律一样，对于任何惯性系牛顿第二、第三定律都成立。或者说，任何惯性系在牛顿动力学规律面前都是平等的或平权的。用物理学讲：对于描述力学规律来说，一切惯性系都是等价的，这叫力学的相对性原理又称伽利略相对性原理。另一种表述：不能借助任何在惯性牛顿中所

17、做的力学实验来确定该参考系作匀速直线运动还是静止。地上为：跳同样的距离火车上：投掷小球：向前同样距离：向后爱因斯坦：推广到全部物理实验：狭义相对论的基本原理之一，相对性原理。第三章动量定理及其守恒定律(2)学习内容：3.4主动力和被动力3.5牛顿运动定律的应用所做的工作：1、根据相互作用的性质，以各种各样的力进行系统的分类，其中着重讨论重力、弹性力和摩擦力。2、讨论运用牛顿运动定律求解质点动力学问题的一般方法一隔离法。3.4主动力和被动力按照目前人们对各种相互作用的认识，可以把物理现象中涉及的力分成四种基本的力。万有引力：存在于一切物体之间的相互吸引力电磁力：带电物体之间的相互作用力弱力（相互

18、作用）：诱发原子核内中子的产生和衰变的力按其作用范围（或距离、力程），又可把它们分为两类长程力：万有引力、电磁力短程力：弱力和强力（宏观、微观）（微观现象中）强力（相互作用）：维持原子核结构的力在力学所局限的研究范围内，通常不涉及弱力和强力，所遇到的力都是引力、电磁力或者是物体内部的原子、分子间的电磁相互作用的微观表现力。另外，根据力在相互作用中所起的作用及性质，通常又把力分为主动力和被动力两种。主动力：有其独立的方向和大小，不受质点所受其它力的影响（已知量）。被动力：没有自已独立的方向和大小，要由受力物体所受的其它力等条件来决定（未知量）下面我们分别讨论几种常见的主动力和被动力（一）主动力常

19、见的主动力有：重力、弹簧弹性力、静电力和洛伦兹力。1、重力和重量当我们把地球视为惯性系，地球对其它表面物体作用的万有引力，常称为重力。因为惯性系只能是近似的，所以这种说法也只能近似的，即重力和万有引力略有差别。W=F引F惯（忽略）其中万有引力F引是W的主要部分。因为在一定的时间和空间范围内，地球是一个精度极高的惯性系。所以，在地球表面附近，可相汉准确地把重力视为竖直向下的恒力（高度不同，纬度不同，W不同）。在重力作用下的自由运动的物体所获得加速度就是重力加速度，根据牛顿第二定律w二maa=g大小：w=mg定量2、弹簧弹性力如图所示：a自然长度以0点为原点取直角坐标，x为质点m的坐标或对于原点的

20、位移，则根据胡克定律，作用在质点m上的弹性力为：fx=-kx“-”表示fx始终指向平衡位置与位移x方向相反）K劲度系数（由弹簧本身的性质决定（匝数、直径、材料）3、静电场力和洛伦兹力静电场力一带电质点在外电场中所受的力F二qEq所带电量E电场强电场/度洛伦兹力一带电质点在电磁场中所受的力F二qVBqE（二）被动力或约束反作用力物体间的挤压力、绳内张力和摩擦力1、绳内张力（弹性力）张力一与绳或杆的伸长有关的弹性力，是绳或杆相邻部分之间相互施于绳内或杆的拉力。如图所示：用绳子拉一重物时，绳子略有伸长，并产生一弹性力T作用在重物上，力T的方向沿绳子离开物体。略有伸长：ll现在我们着重分析绳内张力的大

21、小及分布情况。分布：对任一小段绳子-m（AB段）显然，对A点左端的绳子和重物来讲,加速度a一起向左运动，则必有同理，对B点来讲，其左侧的绳子也必将以一定的力，记作Tb作用于B点的左侧。根据作用与反作用定律，B点的左侧也将以反作用力Tb作用于其右侧。且有TB=TB对AB段来讲，根据牛顿第二定律，有TA-Tb二ma对轻丨:.m=0二ta=tb=tb=TA点右侧的绳子一定的力，记作Ta作用于其左侧。Amt!a2Ti(1)(2)三个未知量、两个方程、还需建立一个方程。d2x.|aixdt2使之求解可得:d2x2dt2一(3)T2mim2ma2Ti订2订a=a?=同时到达顶点第三章动量定理及其守恒定律（

22、3）学习内容：3.5牛顿运动定律的应用（二）（四）（3.6非惯性系中的力学）所做的工作：1、讨论变力作用下的直线运动及曲线运动和质点的平衡问题2、讨论非惯性系中的动力学问题，为此引入惯性力的概念。（二）变力作用下的直线运动对直线运动，质点在变力作用下的动力学方程。dxd2xm2dt2dt2讨论:fxt,x,生或Fxt,x,dy为x、主等的线性函数dtx.dtdt例如：fx二xXJXcoswt（严格解）且质点的演化行为往往可能出现混沌此时，一般情况很难求得方程的解析解现象。将在9.8再做详详细讨论。或fxfvt此时方程可求得严格解一即运动fxt,x,dx为x或dx的线性函数，dtdt学微分方程是

23、可积的。只要给出力、坐标和速度的初始条件，通过积分即可确定过去未来任何时刻的运动状态。下面仅讨论第种情况，此时方程是线性的，不存在可积不可积的问题。例3P79已知：Vt=O求：vt；=?并与自由落体相比。解：隔离物体tiig具体分析：受力情况、运动情况选定坐标：取竖直向下为y轴且把起点取为坐标原点。运动方程mdt=W(v)(1)标量形式：叫=gdt-vym（f为V的线性函数）(2)-dVy二dtg_Vyim2dgvVvym作不积分，得:(vmg_vyvmVyt-0mg-；，v=ce=c=mg于是有：Uy二哑1-em讨论：vyt随t增加而增大,mgtJ时，Vyt（c并入c中）确定积分常数C二？t

24、二Vyt二常数量。V=mgymax古dVy终极速度（也可由方程（1）令y-0直接求得）dtVymax与高度无关，此时阻力Vymax=mg平衡a=0而自由落体（无阻力）时，Vmax=.2gh与高度有关。当速度较大时,若没有空气阻力，而雨滴由高空自由下落（h较大时）.2gh=v可达（几百米/秒），对人类十分危险，正是由于空气阻力的作用,才使人类得以享受风沐雨。）质点的曲线运动对于曲线运动，可以选择直角坐标,也可以选择自然坐标。在自然坐标下，可将牛顿第二定律Fi=mai向法线n和切向方向投影:2V=mP(3.5)迟Fn=maTi对圆周运动：rr即可(3.5.5)关于（3.5.4）和（3.5.5）两节

25、的实际应用请同学们自学例4P82w0.84rad/R二2.0mr=1.6mmu=mB=60kg求：FaFb解：如图所示pA、pB分别表示扶手施于的侧向力,Na和No表示坐椅支撑力。转椅静止于大圆盘上，故旅客作匀速圆周运动由F二-ma广Na+Pa+W=maA_LNb+Pb+W=maB取自然坐标：b方向（副片）Na-Wcos=0(1)_2n方向(主片)pAwsin：-mmwR-r(2)(Rr).方向：7Fac=0(a兰idVr。)同理：Nb-Wcos：=0(3)2pBwcos：-mw0(Rr)(4)bI、Fb.=0i/ni联立(1)、(2)、(3)、(4)可求得TNAb二NapBn二pB二Nbb=

26、Nb.PAn-NAbFb)质点的平衡若质点的=称质点处于平衡状态Fi二ma二iF=0(3.5.9)即：平衡时，作用于质点的合外力为零，上式叫质点的平衡条件,或叫平衡方程。在直角坐标下有Fix=0iFiz=0i例5P76已知：静摩擦系数可以不计绳的质量求：To定时，T的最大值（即将产生相对滑动时的T值）Tmax：绳中不同处张力不同，且有B;A，Tmax山解：在AB弧上任取一小弧段，对应圆心角为受力情况分析：（图示）设=TdT（dr角很小）则有平衡方程：TNfQdr，如图所示其中:fQ-fQmax=QN取直角坐标系：y:N-Tsin空一(TdT)sin空=Q22foNd日.x:-Tcos仃dT)c

27、os0N_Q22dr很小.drdrsindrdT：Q22并略去二级无究小量十曰d日门可得：N-TT22-TTdTqNQdTLqN-JT消支t，得：訪二上式给出小绳段上张力变化的规律，欲求有限长绳段上张力的变化规律,Q0仙积分：ArB:tdT.To需对上式积分。Tmax二T0P（大于此值时，绳子与圆柱将有相对滑动3.6非惯性系中的力学这是因为，从运动学角度，参到目前为上，我们一直在惯性系中讨论质点动力学问题。考系的选取是完全任意的，主要视研究问题的方便。但是从动力学角度讲，由于牛顿运动定律只适用于惯性系，似乎对选用惯性系来研究质点动力学问题。这种情况显然是不能令人满意的。本节我们将讨论如何能在非

28、惯性系中继续使用牛顿第二定律，并保持其形式不变。即，惯性系：F=ma非惯性系：Fma，如果在非惯性系中继续沿用牛顿第二定律形式，那么牛顿定律将怎样的修改呢？这些问题均涉及惯性力的问题，即只要在非惯性系中引入惯性力，牛顿第二定律在形式上就仍然成立。F面我们讨论几种比较简单的非惯性系中的动力学问题和惯性力。（一）直线加速参考系中的惯性力1、惯性力（如图）：小车（相对地面作加速直线运动）直线加速参考系。光滑平面上放一小球地面：小球在水平方向上不受力故相对地现静止不动小车：小球在水平方向上不受力，但相对小车以加速度a运动。显然此时，对小车直线加速参考系，牛顿第二定律不再成立（牛顿第一定律也一样）我们将

29、如何解释这种现象呢？如果我们仅从力产生加速度角度出发，可以设想有一个力的大小等于-ma称之为惯性力。这样牛顿第二定律在形式上自然成立（注意：此时牛顿第一定律成立，但第三定律不能成立）即小球的加速度-a是惯性力产生的（作用的结果）且有f=-ma2八2、动力学方程女口图：o-xyz惯性系左/FFFFo-xyz非惯性系/oo以a运动则有：r=e+r设t（经典时空观）可得:a绝二a牵a相O系:Fi=ma绝=ma牵a相i则有:Fi-ma牵二ma相i其中:-ma牵疋：*瓦Fi+f=ma=卩相=ma一1-1*其中八Fif为相对非惯性系合外力。i例1p86已知:Vitm二Vo方向垂直斜面向上V2寸2v0.Vo

30、求：二球相遇时的t二？解：以车厢为参考系一一直线加速非惯性系mgsin即两球均相对车厢以加速度geos沿垂直于斜面方向作上抛运动。取y=则有：yi二Vot-1gcos：t22y2二v(t-0)gco：s(tt)2令yi=y2，求得:t遇二（1Vo）to2gt0cosa其中2V02to3gcos_：i3则有：to_时解才有意义，即红球两次y二0之前抛出绿球。geosa讨论：t二to时才抛绿球1 vot遇to即o12 gxcosa则有：to时解才有意义，即红球两次y=o之前抛出绿球。geosatto1 /2v2ogcosv2）tgcos（oo）voo2 33332v_1togcosj33t2vogcos1 vo即:o12 2vo2gcos：（to）3gcos：3