隐函数和参数方程求导相关变化率PPT学习教案

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1、会计学1一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率三、相关变化率 隐函数和参数式函数求导隐函数和参数式函数求导 相关变化率相关变化率 第二章第二章 第1页/共29页31xy若由方程若由方程0),(yxF可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数 ,由由)(xfy 表示的函数表示的函数 , 称为称为显函数显函数 .例如例如,013 yx可确定显函数可确定显函数03275xxyy可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数 ,但此隐函数不能显化但此隐函数不能显化 .函数为函数为隐函数隐函数 .则称此则称此隐函数隐函数求导方法求导方法: 0

2、),(yxF0),(ddyxFx两边对两边对 x 求导求导(含导数含导数 的方程的方程, 解出解出 y 即可即可)y把一个隐函数化为显函数，称为隐函数显化。把一个隐函数化为显函数，称为隐函数显化。1.1.两边直接求导法两边直接求导法第2页/共29页03275xxyy)(xyy 在在 x = 0 处的导数处的导数.0ddxxy解解: 方程两边对方程两边对 x 求导求导)32(dd75xxyyx得得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因因 x = 0 时时 y = 0 , 故故210ddxxy0确定的隐函数确定的隐函数第3页/共29页191622yx在点在点)3,2(23

3、处的切线方程处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为故切线方程为323y43)2( x即即03843 yx第4页/共29页观察函数观察函数3sin2(1)1,.(4)xxxxyyxxe方法方法: : 先在方程两边取对数先在方程两边取对数, , 然后利用隐函数的求导方法求出导数然后利用隐函数的求导方法求出导数. .-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :()( ).v xu x的的情情形形多个函数相乘除、根式和幂指函数多个函数相乘除、根式和幂指函数第5页/共29页)0(sinxxyx的导数的导数 . 解

4、解: 两边取对数两边取对数 , 化为隐式化为隐式xxylnsinln两边对两边对 x 求导求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx或或 sinlnsinlnsinsin(cosln)xxxxxxyeexxxx 求导公式求导公式第6页/共29页 1) 对幂指函数对幂指函数vuy 可用对数求导法求导可用对数求导法求导 :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1按指数函数求导公式按指数函数求导公式按幂函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:第7页/共29页例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数两边

5、取对数yln两边对两边对 x 求导求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb第8页/共29页)4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny对对 x 求导求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x【P50例例5】第9页/共29页若参数方程若参数方程)()(tytx可确定一个可确定一个 y 与与 x 之间的函数之间的函数)(, )(tt可导可导, 且且,0 )( )(22tt则则0)( t时时, 有有xyddxttydd

6、ddtxtydd1dd)()(tt0)( t时时, 有有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成此时看成 x 是是 y 的函数的函数 )关系关系,第10页/共29页. 2 ,sincos 时的切线方程在求椭圆ttbytax椭圆上任意一点椭圆上任意一点x处的切线的斜率为处的切线的斜率为tabtatbtatbxykcotsincos)cos()sin(dd02cot2abkt故故, 02cos0axbby2sin0从而从而, , 所求切线方程为所求切线方程为： y = b . 解解例例又又第11页/共29页的星形线 323232ayx)2, 0( sincos33ttayt

7、ax.ddxy求Oxytaa参数方程为 星形线是一种圆内摆线例例4dd小大第12页/共29页)cos()sin(dd33tataxyttattasincos3cossin322ttan(,)2ntnZ 解解)2, 0( sincos33ttaytaxOxytaa第13页/共29页 1tvx 求抛射体在时刻求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向的运动速度的大小和方向. 解解: 先求速度大小先求速度大小:速度的水平分量为速度的水平分量为,dd1vtx垂直分量为垂直分量为,dd2tgvty故抛射体故抛射体速度大小速度大小22)dd()dd(tytxv2221)(gtvv再求再求速度方向速度方向(

8、即轨迹的切线方向即轨迹的切线方向):设设 为切线倾角为切线倾角,tanxyddtyddtxdd12vtgv 则则yxo2212tgtvy第14页/共29页22121 tgtvytvx速度的水平分量速度的水平分量,dd1vtx垂直分量垂直分量,dd2tgvtytan12vtgv 在刚射出在刚射出 (即即 t = 0 )时时, 倾角为倾角为12arctanvv达到最高点的时刻达到最高点的时刻,2gvt 高度高度ygv2221落地时刻落地时刻,22gvt 抛射抛射最远距离最远距离xgvv212速度的方向速度的方向yxo2vt g22vt g第15页/共29页) 10(1sin 222yytttx确定

9、函数确定函数, )(xyy 求求.ddxy解解: 方程组两边对方程组两边对 t 求导求导 , 得得故故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0) 1(2ddttxtyddtxdd第16页/共29页)(, )(tyytxx为两可导函数为两可导函数yx ,之间有联系之间有联系tytxdd,dd之间也有联系之间也有联系称为称为相关变化率相关变化率相关变化率问题相关变化率问题解法解法:找出相关变量及其相互关系式找出相关变量及其相互关系式对对 t 求导求导得相关变化率之间的关系式得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率

10、第17页/共29页其速率为其速率为,minm140当气球高度为当气球高度为 500 m 时时, 观察员观察员视线的仰角增加率是多少视线的仰角增加率是多少? 【P53习题习题7】500h解解: 设气球上升设气球上升 t 分后其高度为分后其高度为h , 仰角为仰角为 ,则则tan500h两边对两边对 t 求导求导2sectddthdd5001已知已知,minm140ddth h = 500m 时时,1tan22tan1sec,2sec2tdd14050012114. 0)minrad/(演示相关变量及其关系式相关变量及其关系式相关变化率关系式相关变化率关系式第18页/共29页100 mmin 的速

11、率向气球出发点走来的速率向气球出发点走来,当距离为当距离为500 m 时时, 仰角的增加率是多少仰角的增加率是多少 ?提示提示: tanx500对对 t 求导求导2sectddtxxdd5002已知已知d100m min ,dxt .ddtx500,m500 x求求第19页/共29页试求当容器内水试求当容器内水Rhxhr今以今以 自顶部向容器内注水自顶部向容器内注水 ,scm253位等于锥高的一半时水面上升的速度位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解: 设时刻设时刻 t 容器内水面高度为容器内水面高度为 x ,水的水的VhR231)(231xhrxrh)(33322xhhhR两边对两边对 t

12、求导求导tVdd22hR2)(xh,ddtx而而,)(25222xhRh,2时当hx hxhRr故故txdd) scm(25dd3tV) scm(100dd2Rtx体积为体积为 V , 则则R第20页/共29页1. 隐函数求导法则隐函数求导法则直接对方程两边求导直接对方程两边求导2. 对数求导法对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数连除表示的函数3. 参数方程求导法参数方程求导法极坐标方程求导极坐标方程求导4. 相关变化率问题相关变化率问题列出依赖于列出依赖于 t 的相关变量关系式的相关变量关系式对对 t 求求导导相关变化率之间的关系式相关变化率之间

13、的关系式转化转化第21页/共29页1. 求螺线求螺线r在对应于在对应于的点处的切线方程的点处的切线方程.解解: 化为参数方程化为参数方程sincosryrxcossinxyddddyddxcossinsincos当当时对应点时对应点斜率斜率xykdd222, ),0(2M 切线方程为切线方程为22xy2第22页/共29页)(xyy 由方程由方程eyxey确定确定 , , )0(y解解:方程两边对方程两边对 x 求导求导,得得0yxyyey再求导再求导, 得得2yey yxey)(02 y当当0 x时时, 1y故由故由 得得ey1)0(再代入再代入 得得21)0(ey 求求. )0(y 第23页

14、/共29页, 求求01sin232ytettxy.dd0txy解解： txddyetydd0ddtxy方程组两边同时对方程组两边同时对 t 求导求导, 得得26 ttyddtsin0ddtyteycosteteyysin1costxtydddd0)26)(sin1 (costyyttete2e0t第24页/共29页求其反函数的导数求其反函数的导数 .,xexy解解:xyddyxdd方法方法1xe1y1xe11方法方法2等式两边同时对等式两边同时对 求导求导y1yxddxeyxddyxddxe111. 设设第25页/共29页P52 1P52 18 8题题第26页/共29页第27页/共29页1.1.基本导数公式基本导数公式 (P47) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cos xxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(sec xxxtansec )(csc xxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccos x211x )(arctan x211x )cot(arcx211x1)2)3)4)5)6)7)8)9)10)11)12)13)14)15)16)第28页/共29页