自动控制系统的采样控制系统PPT学习教案

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1、会计学1自动控制系统的采样控制系统自动控制系统的采样控制系统 图7-1中，e(t)是连续信号，采样开关将e(t)离散化，变成一脉冲序列e*(t)(*表示离散化)。e*(t)作为脉冲控制器的输入，控制器的输出为离散信号。显然，这种信号不能直接驱动对象，需要经过保持器使之变成相应的连续信号，去控制受控对象。 系统中，采样开关的作用如图7-2所示。采样开关每隔时间T闭合一次，T称为采样周期。采样开关每次闭合的时间为h，一般情况下，h 0)的z变换。 解ate aktatekTfetf, kkzkTfzF0.133221zezezeaTaTaTaTaTezzze111) 1|(|aTze第8页/共53

2、页2部分分式展开法如果已知连续的函数 的拉氏变换为 ，则可将 展开为部分分式之和的形式，然后再求 。令 （ nm ）将上式展开为部分分式和的形式，即基于 有 其中 为 的极点， 为待定系数。 tf sF sF sF nnnmmmasasbsbsbssF.11110 niiipsAsF111zeApsAZTpiiii niTpizeAzFi111ipiA sF第9页/共53页例例7-3 求f(t)=sint的z变换。 解： 求F(s)并将其展开为部分分式形式： 所以 若 ，用同样的方法可得jsjjsjssF)2/(1)2/(1)(221111211121)(zejzejzFTjTj1cos2si

3、n)cos2(1)(sin2211TzzTzzzTzT ttfcos 1cos2cos2TzzTzzzF第10页/共53页例例7-4 已知 ，求原函数f(t)的z变换。解 将 展开部分分式z变换为 11sssF sF 11111sssssF TTTezzezezzzzzF111第11页/共53页7.2.3 z变换的基本定理1线性定理设 ， ， 和 为常数，则有2滞后定理设 则有 tfZzF11 tfZzF221a2a zfazFatfatfaZ22112211 tfZzF zFztktfZk11第12页/共53页3超前定理 设 的z变换为则有 4位移定理 已知 的z变换为则有 tf zF 10

4、1111kkkkkzkTfzzFzTktfZ tf zF aTatzeFetfZ第13页/共53页5初值定理 设 的z变换为 ，且存在 ，则有 6终值定理设 的z变换为 ，且 在z 平面上的单位圆上除了1之外没有极点，在单位圆外没有极点，则 tf zF zFzlim zFtfztlimlim0 tf zF zF zFztfzt1limlim第14页/共53页 7.2.4 z的反变换 z反变换是z正变换（简称z变换）的逆运算。通过z反变换，可由象函数F(z)求取相应的原函数采样脉冲序列。 从函数 求出原函数 的过程称为z的反变换，记作 由于 只含有连续函数 在采样时刻的信息，因而通过z的反变换，

5、只能求得连续函数在各采样时刻的数值 ，而不是连续函数 。求z反变换一般有三种方法。 1长除法 这种方法是用F(z)的分母除分子。求出 按升幂排列的级数展开式，然后用反变换求出相应的采样函数的脉冲序列。 zF tf tfzFZ1 zF tf tf tf1z第15页/共53页 可以用下面的通式表示 ， (m n)其中ai ，bj均为常系数。通过对上式直接作综合除法，得到按 升幂排列的幂级数展开式，如果得到的无穷级数是收敛的，则按z变换定义可知上式中的系数 （k=0，1，）就是采样脉冲序列 的脉冲强度f(kT）。因此 可直接写出的脉冲序列表达式 zF nnnmmmazazabzbzbzF.11011

6、01z tf tf0*)()(kkkTtftf第16页/共53页例例 7-5 求 的反变换。 解 可以写为 用 的分子除以分母，得它的z反变换为235)(2zzzzF)(zF2112315)(zzzzF zF.7535155)(4321zzzzzF)4(75)3(35)2(15)(5)(0)(*TtTtTtTtttf第17页/共53页例例 7-6 求 的z反变换 。解 用F(z) 的分子除以分母，得它的z 反变换为 21zzzzF tf 432121573023zzzzzzzzF .4153723TtTtTtTttf第18页/共53页 2部分分式法 用部分分式法求z反变换与求拉氏变换的思路类同

7、。 由于F(z)的分子中通常都含有变量z，为了方便求z的反变换，通常先将 F(z) 除以z，然后将F(z)/z展开为部分分式，再把展开式的每一项都乘上z后，分别求z的反变换并求和。第19页/共53页例例 7-7 求 的反变换。解 即 由于 ，则 ， 所以 212)(zzzzF 2212212zzzzzzF 1222zzzzzF2121zzZ1122222kkzzZ221kkTf,.2 , 1 , 0k 010)()22(KkkkTtkTtkTftf第20页/共53页例例 7-8 求 的反变换 。 解 则 取z反变换，得 (k=0，1，2，)故 aTaTezzzezzF11aTezz111 aT

8、aTezzzezF11 aTezzzzzF1akTekTf1 01kakTkTtetf第21页/共53页 7.2.5 用z变换解差分方程 用z变换求解差分方程与拉氏变换求解微分方程类似，即将时域内的差分方程转换为z域内的代数方程，求解后在进行z变换，求出系统在各采样时刻的输出响应。 z变换法的具体步骤是： 对差分方程进行z变换； 解出方程中输出量的z变换F(z)； 求F(z)的z反变换，得差分方程的解f(k)。 第22页/共53页例例 7-9 用z变换解差分方 ， 初始条件： 。解 1） 将差分方程取z变换得到 kkckckc12132 11, 00cc 1031022zzzzCzczzCzc

9、czzCz 1232zzzCzzCzzCz 12322zzzCzz 211231222zzzzzzzzzC23/212/16/zzzzzz第23页/共53页 2） 求z反变换得故 离散输出信号如图7-10 所示。 .3 , 2 , 1 , 0,232121161kkTckkk .4103522TtTtTtTttc图7-10 系统的采样输出序列 第24页/共53页例例 7-10 已知差分方程 式中 ，试求 。解 对差分方程进行z变换得因此求z的反变换得 (k=0，1，2，) krkckckc6152 kkr1kTc 16512zzzCzCzzCz 165132zzzzzC 115623zzzzz

10、C16165623zzzz3121163zzzz316/215 . 015 . 0zzzzzzkkkTc3161215 . 05 . 0第25页/共53页 在线性连续系统中，我们把初始条件为零的条件下系统(或环节)输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变拉之比，定义为传递函数，并用它来描述系统(或环节)的特性。 与此相类似，在线性离散系统中，我们把初始条件为零的条件下系统(或环节)的输出离散信号的z变换与输入离散信号的z变换之比，定义为脉冲传递函数，又称为z传递函数。脉冲传递函数是离散系统的一个重要概念，是分析离散系统的有力工具。 7.3.1 脉冲传递函数的定义 设线形定常采样系统如图 7-11

11、所示。G（s）是系统中连续部分的传递函数，脉冲传递函数的定义为：在零初始条件下，离散输出信号的z变换与离散输入信号的z变换之比，即 zRzCzG第26页/共53页其中： 实际上大多数采样系统的输出信号往往是连续信号c(t)，而不是离散信号 ，如图7-12所示。在这种情况下，为了应用脉冲传递函数的概念，我们可以在输出端虚设一个采样开关。 如图中虚线所示，它与输入采样开关一样以周期T同步工作。这样，输出的采样信号就可根据下式求得 tcZzC trZzR tc zRzGZzCZtc11 图7-11 开环采样系统 图7-12 实际的开环采样系统 第27页/共53页 7.3.2 开环系统的脉冲传递函数采

12、样系统中环节串联时，根据它们之间有无采样开关，其等效的脉冲传递函数是不相同的，两种不同的结构形式如图7-13所示。 1环节之间无采样开关传递函数分别为 、 的两个环节相串联，如图7-13(a)所示。 sG1 sG2 图7-13 串联环节开环采样系统 第28页/共53页由图可见 对上式取z变换，可得脉冲传递函数即其间无采样开关的两个串联环节的脉冲传递函数，等于这两个环节的传递函数乘积的z变换。 2环节之间有采样开关 此种情况见图7-13(b)。由图可见 ， 分别对以上两式取z变换，得 因而有 由此可得等效的脉冲传递函数为 ssRsCsG21GsG zsZzRzCzG2121GGGsG sRsDs

13、G1 sDssC2G zRzDzG1 zDzzC2G zRzzG21GzG zzRzCzG21GzG第29页/共53页 即其间有采样开关的两个串联环节的脉冲传递函数，等于这两个环节的脉冲传递函数的乘积。 以上分析表明，被采样开关分隔的两个线性环节串联时，其脉冲传递函数等于这两环节的脉冲传递函数之积。这个结论可以推广到有n个环节串联而各相邻环节之间都有采样开关分离的情形。无采样开关分隔的两个线性环节串联时，其脉冲传递函数等于这两个环节传递函数之积的z变换。显然，这一结论也可以推广到有n个环节直接串联的情况。环节之间存在采样开关与否时的脉冲传递函数不相等。例例7-11 设 ， ，求脉冲传递函数解

14、（1） assG11 bssG12 zGG21 zGzG21)( sG1 sG2bsas1bsasab111 zGG21bsasabZ111ab 1baezzezzbabaezezeezab1第30页/共53页（2） 根据以上分析比较，显然 。 7.3.3 闭环系统的脉冲传递函数 在连续系统中，闭环系统的闭环传递函数和系统的开环传递函数之间有着确定的关系，而在采样系统中，闭环脉冲传递函数还与采样开关的位置有关。 采样系统结构如图 7-14所示。因为z变换是对离散信号进行的一种数学变换，所以系统中的连续信号都假设离散化了。用虚线表示采样开关，均以周期T 同步工作。由图7-14可得 bTaTezz

15、zGezzzG21， bTaTezezzzGzG221 zGzGzGG2121 sBsRsE sEsHsGsB第31页/共53页对以上两式取z变换得 即 系统输出 取z变换后，得 代入得 即闭环系统脉冲传递函数为 zBzRzE zEzGHzB zEzGHzRzE zGHzRzE1 sEsGsC zEzGzC zGHzGzRzC1 zGHzGzRzCzGC1图7-14 闭环采样系统结构图 第32页/共53页 在线性连续系统中，判别系统的稳定性是根据特征方程的根在s平面的位置。若系统特征方程的所有根都在s平面左半平面，则系统稳定。对线性离散系统进行了z变换以后，对系统的分析要采用z平面，因此需要弄

16、清这两个复平面的相互关系。 7.4.1 z 平面和s 平面的关系z 平面和s 平面的关系为 其中s 是复变量，即 代入，并写成以下的极坐标形式 其中 ， 不难看出，s 平面和z平面有着如下的对应关系： sezjsjjsezeeezez第33页/共53页 由此可见，s左半平面对应于z平面以原点为圆心的单位圆的内部，s平面的虚轴对应于z平面上的单位圆，s右半平面对应于z平面上以原点为圆心的单位圆的外部。如图7-16所示。图 7-16 s平面在z平面上的映像 第34页/共53页 7.4.2 z 平面内的稳定条件s域到z域的映射复变量s和z的相互关系为 ，式中T为采样周期s域中的任意点可表示为 ，映射

17、到z域则为于是，s域到z域的基本映射关系式为若设复变量s在S平面上沿虚轴移动，这时sj，对应的复变量 。后者是Z平面上的一个向量，其模等于1，与频率无关；其相角为T，随频率而改变。可见，S平面上的虚轴映射到Z平面上，为以原点为圆心的单位圆。当s位于S平面虚轴的左边时，为负数， 小于1。反之，当s位于S平面虚轴的右半平面时，为正数， 大于1。s平面的左、右半平面在z平面上的映像为单位圆的内、外部区域。 sTez jsTjTTjeeez）（TzezT，TjezTezTez第35页/共53页 在z域中，离散系统稳定充要条件是： 当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在z平面上的单位圆内，或者所有特征

18、根的模均小于1，相应的线性定常系统是稳定的。例例7-13 设采样控制系统的结构如图7-17所示。其中G（s）= ，T=0.25s，试判断系统的稳定性。解 G（z）= 41ss41ssZ41141ssZ4141ezzzz44141ezzze 4/11411444zeezzzezGzGzGc =Z = 图7-17 采样控制系统的结构图 第36页/共53页特征方程式为 即解方程得 因为 ,所以系统是稳定的。 综上所述，要分析采样控制系统的稳定性 ，就必须求出系统闭环脉冲传递函数的极点，显然，这种方法对于低阶系统是可以的，但对于高阶系统就涉及到高次代数求根的问题。因此，对于采样系统的稳定性分析，可以像

19、连续系统那样，不直接求出其特征根，而是根据特征方程式的系数排列出劳斯表，据此判别闭环系统的稳定性。 014114zeezz0368. 021. 12z044441. 0605. 02, 1jz121 zz第37页/共53页 7.4.3 劳斯稳定判据 对于线性连续系统，可以应用劳斯判据分析系统的稳定性。但是，对于线性采样系统，直接应用劳斯判据是不行的，因为劳斯判据只能判别特征方程的根是否在复变量s平面虚轴的左半部。因此，必须采用一种新的变换，使z平面上的单位圆，在新的坐标系中的映像为虚轴。这种新的坐标变换，称为双线性变换，又称为w变换。 根据复变函数双线性变换公式，令 称为w变换。令 则由上式有

20、1111zzwwwz或yxzjvuwj22222212j11yxyyxyxw第38页/共53页 由上式可见，w平面内u=0（虚轴），对应着z平面内 （单位圆的圆周）；u0（w左半平面），对应于 （单位圆内部），u0（右半平面），对应于 （单位圆 外部）。 这样只要将z平面上的特征方程式经过变换，就可在w平面上直接应用劳斯判据判别系统的稳定性。例例7-14 已知采样控制系统闭环特征方程式试判断系统的稳定性。解 将 代入特征方程式，得122yxz122yxz122yxz 0391191174523zzzzD11wwz0391111911117114523wwwwww第39页/共53页经整理，得 列

21、劳斯表 由于表中第一列元素的符号变化了两次，表示方程有两个根在w右半平面，即有两个根在z平面上的单位圆外，故系统为不稳定。 013911119111171453223wwwwww0402223www401821123wwww00402第40页/共53页 稳态误差是分析和设计控制系统的一个重要性能指标，通过对连续系统的分析可知，系统的稳态误差与输入信号的大小、形式、系统的型别以及开环增益有关。这一结论同样也适用于采样系统。 单位反馈采样系统的结构如图7-18所示。 zCzRzE zGzR1图7-18 单位反馈采样系统的结构图 第41页/共53页对于闭环稳定的采样控制系统，由终值定理可求得其稳态误

22、差。 上式表明，系统的稳态误差与 及输入信号的形式有关。 与线性连续系统稳态误差分析类似引出离散系统型别的概念，由于 的关系，原线性连续系统开环传递函数 在s=0处极点的个数v作为划分系统型别的标准，可推广为将离散系统开环脉冲传递函数 在z=1处极点的数目作为离散系统的型别，称=0,1,2.的系统为0型、I型、II型离散系统。 zEzez1lim1 zGzRzz11lim1 )(zGsTez )(sG)(sG第42页/共53页设闭环系统的开环脉冲传递函数的一般表达式为 1单位阶跃输入时系统的稳态误差设系统的输入为 ，代入，得定义 则有 式中 为系统的静态位置误差系数。 vmjivmiigCpz

23、zzzKzG111 1zzzR 1111lim1zzzGzez zGzlim111 zGKzplim1 pKe11pK第43页/共53页 （1）=0时 =常数则 （2）=1时 则 （3）=2时则njivmiigzppzzzzKK1111lim pKe1111111limnjimiigzppzzzzKK 0e212111limnjimiigzppzzzzKK 0e第44页/共53页 2单位斜坡输入时系统的稳态误差设系统输入为 定义 则有 式中为系统的静态速度误差系数。 因为0型系统的kv=0，I型系统的为有限值，II型和II型以上系统的kv=，所以有如下结论：0型离散系统不能承受单位斜坡函数作用

24、，I型离散系统在单位斜坡函数作用下存在速度误差，II型和II型以上离散系统在单位斜坡函数作用下不存在稳态误差。 21zTzzR 211111limzTzzGzez zGzTz11lim1 zGzTz1lim111 zGzTKzv1lim11 vKe1第45页/共53页 3单位加速度输入时系统的稳态误差设系统输入为 代入得系统的稳态误差为定义 则有 式中为系统的静态加速度误差系数。 由于0型及I型系统的Ka=0，II型系统的为常值，III型及III型以上系统的， Ka=，因此有如下结论成立： 0型及I型离散系统不能承受单位加速度函数作用，II型离散系统在单位加速度函数作用于下存在加速度误差，只有

25、III型及III型以上的离散系统在单位加速度函数作用下，才不存在采样瞬时的稳态位置误差。 32121zzzTzR 321121111limzzzTzGzez zGzTz2121lim1 zGzTKza2121lim1 aKe1第46页/共53页 在线性连续系统中，闭环传递函数零、极点在S平面的分布对系统的暂态响应有非常大的影响。与此类似，采样系统的暂态响应与闭环脉冲传递函数零、极点在z平面的分布也有密切的关系。 采样控制系统的性能分析类似于连续系统，系统的输出特性主要由闭环脉冲传递函数的极点来确定，下面主要讨论在单位阶跃信号作用下，系统的输出特性和闭环极点的关系。 设系统闭环脉冲传递函数为 （

26、nm） 设闭环极点为z1，z2 ，z3 ，zn ，在单位阶跃输入时，输出的z变换为展开成部分分式即有 nnnnmmmmCazazazabbzbzbzRzCzG11101110. 1.211110zzzzzzzzbbzbzbzCnmmm nnzzAzzAzAzzC1101 nnzzzAzzzAzzAzC1101第47页/共53页对上式取z反变换，求得输出响应为 式中等号右边的第一项为系统响应的稳态分量，第二项为系统响应的瞬态分量。 1闭环实数极点 闭环实数极点的位置与动态响应的关系如图7-19所示，系统的瞬态分量是按指数规律变化的。 若闭环实数极点位于右半z平面，则输出动态响应形式为单向正脉冲序

27、列。实极点位于单位园内，脉冲序列收敛，且实极点越接近原点，收敛越快；实极点位于单位园上，脉冲序列等幅变化；实极点位于单位园外，脉冲序列发散。 若闭环实数极点为于左半z平面，则输出动态响应形式为双向交替脉冲序列。实极点位于单位园内，双向脉冲序列收敛；实极点位于单位圆上，双向脉冲序列等幅变化；实极点位于单位圆外，双向脉冲序列发散。 kniiizAkTAkTC101第48页/共53页 2闭环共轭复数极点设 、 为一对共轭复数极点， 、 对应的暂态项为其中 若| |1，闭环复数极点位于z平面上的单位圆外，动态响应为振荡脉冲序列。若| |=1，闭环复数极点位于z平面上的单位圆上，动态响应为等幅振荡脉冲序

28、列。若| |1，闭环复数极点位于z平面上的单位圆内，动态响应为振荡收敛脉冲序列，且|越小，即复极点越靠近原点，振荡收敛越快。 通过以上的分析可以看出，闭环脉冲传递函数的极点在z平面上的位置决定相应暂态分量的性质和特点。 kpkjkkepp1kp1kp111)(*kkkkpzzApzzAZtc)cos(2)(kakTkTkeAkTc,ln1kpTa kkT0,/ kpkpkp第49页/共53页图7-19 实数极点与动态响应的关系图7-20 复数极点分布与响应的关系 第50页/共53页 本章首先讨论了采样控制系统的基本结构，介绍了信号的采样与保持。引入采样系统的采样定理（香农定理），即为了保证信号

29、的恢复，其采样频率信号必须大于等于原连续信号所含最高频率的两倍。采样系统中设置保持器的目的是使离散信号复现为相应的连续信号，以控制受控对象，实际应用中一般采用零阶保持器。 为了建立线性离散控制系统的数学模型，本章引进z变换理论及差分方程。z变换在线性离散控制系统中所起的作用与拉普拉斯变换在线性连续控制系统中所起的作用十分类似。本章介绍的z变换的若干定理对求解线性差分方程和分析线性离散系统的性能是十分重要的。第51页/共53页 在稳定性分析方面，主要讨论了利用z平面到w平面的双线性变换，再利用劳斯判据的方法。采样控制系统的稳定性除与系统固有结构和参数有关外，还与系统的采样周期有关，这是与连续控制系统分析相区别的重要一点。 和连续控制系统一样，采样控制系统瞬态响应的模式和系统的稳定性也是由其闭环极点所决定，采样系统稳定的充要条件是，闭环脉冲传递函数的极点位于z平面上以原点为圆心的单位圆内，即通过双性变换，把z变量变换为w变量后，就可应用劳斯判据来判别采样系统的稳定性。第52页/共53页