《2020版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线方程学案 文（含解析）新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线方程学案 文（含解析）新人教A版（9页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0。(2)范围：直线l倾斜角的范围是0，180)。2直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角不是90，则斜率ktan；若直线的倾斜角90，则斜率不存在。(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k。(x1x2)3直线方程的五种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x0，y0)yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式斜率k与截距bykxb不含垂直于x轴的直线两点式两
2、点(x1，y1)，(x2，y2)不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)续表名称条件方程适用范围截距式截距a与b1(ab0)不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用1直线倾斜角和斜率的关系(1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率。(2)不是倾斜角越大，斜率k就越大，因为ktan，当时，越大，斜率k就越大，同样时也是如此，但当0，)且时就不是了。2截距和距离的不同之处“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数。应注意过原点的特殊情况是否满足题意。一、走进教材1(必修2P89A组T4改编)若过点M(
3、2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A1B4 C1或3D1或4解析由题意得1，解得m1。答案A2(必修2P100A组T9改编)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_。解析当截距为0时，直线方程为3x2y0；当截距不为0时，设直线方程为1，则1，解得a5，所以直线方程为xy50。答案3x2y0或xy50二、走近高考3(2017浙江高考)如图，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q，则直线AP斜率的取值范围是_。解析设P(x，x2)，直线AP的斜率为k，则kx。因为x，所以直线AP斜率的取值范围是(1,1)。答案(1
4、,1)三、走出误区微提醒：由直线方程求斜率的思路不清；忽视斜率和截距对直线位置的影响；忽视直线斜率不存在的情况。4直线l：xsin30ycos150a0的斜率为()ABCD解析设直线l的斜率为k，则k。答案A5如果AC0且BC0，在y轴上的截距0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限。答案C6过直线l：yx上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为_。解析若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；若直线m的斜率k0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；若直线m的斜率k0，设其方程为y2k(
5、x2)，令y0，得x2，依题意有22，即1，解得k，所以直线m的方程为y2(x2)，即x2y20。综上可知，直线m的方程为x2y20或x2。答案x2y20或x2考点一直线的斜率与倾斜角【例1】(1)直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()ABCD(2)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(1,1)和Q(2,2)，若直线l：mxy10与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是_。解析(1)由直线方程可得该直线的斜率为，又10，所以倾斜角的取值范围是。(2)l：mxy10可写成ymx1，即l过定点R(0，1)，直线PR的斜率k12，直线QR的斜率k2。因为直线l与线段PQ有交点，所以斜率k或k2。又
6、因为km，所以m或m2。答案(1)B(2)2，)斜率取值范围的两种求法1数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定。2函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可。【变式训练】(1)平面上有相异两点A(cos，sin2)，B(0,1)，则直线AB的倾斜角的取值范围是_。(2)已知两点M(2，3)，N(3，2)，斜率为k的直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则k的取值范围是_。解析(1)由题意知cos0，则斜率ktancos1,0)(0,1，那么直线AB的倾斜角的取值范围是。(2)因为kPM4，kPN，所以k的取值范围为(，4。答案
7、(1)(2)(，4考点二直线的方程【例2】(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y4x的斜率的的直线方程。(2)求经过点A(5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程。解(1)设所求直线的斜率为k，依题意k4。又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即4x3y130。(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为1，将(5,2)代入所设方程，解得a，所以直线方程为x2y10；当直线过原点时，设直线方程为ykx，则5k2，解得k，所以直线方程为yx，即2x5y0。故所求直线方程为2x5y0或x2y10。1在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件。2对于
8、点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)。【变式训练】求适合下列条件的直线方程。(1)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(1，3)，倾斜角等于直线y3x的倾斜角的2倍；(3)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形。解(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a0，即l过点(0,0)和(4,1)，所以l的方程为yx，即x4y0。若a0，则设l的方程为1，因为l过点(4,1)，所以1，所以a5，所以l的方程为xy50。综上可知，直线l的方程为x4y0或xy50。(2)由已知
9、设直线y3x的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2。因为tan3，所以tan2。又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即3x4y150。(3)由题意可知，所求直线的斜率为1。又过点(3,4)，由点斜式得y4(x3)。所求直线的方程为xy10或xy70。考点三直线方程的综合应用微点小专题【例3】(1)(2019成都模拟)已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当AOB面积最小时，直线l的方程为_。(2)已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a0，b0，因为直线l过点M(2,1)，所以1，则12，故ab8，故SA
10、OB的最小值为ab84，当且仅当时取等号，此时a4，b2，故直线l：1，即x2y40。(2)直线l1可写成a(x2)2(y2)，直线l2可写成2(x2)a2(2y)，所以直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2a，直线l2的横截距为a22，所以四边形的面积S2(2a)2(a22)a2a42。当a时，面积最小。答案(1)x2y40(2)与直线方程有关的最值问题的解题思路1借助直线方程，用y表示x或用x表示y。2将问题转化成关于x(或y)的函数。3利用函数的单调性或基本不等式求最值。【变式训练】(1)当k0时，两直线kxy0,2xky20与x轴围成的三角形面积的最大值为_。(2)(
11、2019苏北四市模拟)已知a，b为正数，且直线axby60与直线2x(b3)y50互相平行，则2a3b的最小值为_。(3)已知x0，y0，且xy1，则x2y2的取值范围是_。解析(1)直线2xky20与x轴交于点(1,0)。由解得y，所以两直线kxy0,2xky20与x轴围成的三角形的面积为1，又k22(当且仅当k时取等号)，故三角形面积的最大值为。(2)由两直线平行可得，a(b3)2b0且5a120，即2b3aab，1。又a，b为正数，所以2a3b(2a3b)1313225，当且仅当ab5时取等号，故2a3b的最小值为25。(3)由已知可得，y1x，代入x2y2，得x2y2x2(1x)22x
12、22x122，x0,1，当x0或x1时，取得最大值1，当x时，取得最小值，所以x2y2的取值范围是。解析：设直线xy1与两坐标轴的交点分别为A(0,1)，B(1,0)，点P(x，y)为线段AB上一点，则P到原点O的距离为|PO|，又|PO|AO|1，所以1，所以x2y2的取值范围是。答案(1)(2)25(3)1(配合例1使用)直线l1与直线l2交于一点P，且l1的斜率为，l2的斜率为2k，直线l1，l2与x轴围成一个等腰三角形，则正实数k的所有可能的取值为_。解析设直线l1与直线l2的倾斜角分别为，因为k0，所以，均为锐角。由于直线l1，l2与x轴围成一个等腰三角形，则有以下两种情况：当2时，
13、tantan2，有，因为k0，所以k；当2时，tantan2，有2k，因为k0，所以k。故k的所有可能的取值为或。答案或2(配合例2使用)(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y4x的斜率的的直线方程；(2)求过A(2,1)，B(m,3)两点的直线l的方程。解(1)设所求直线的斜率为k，依题意k4。又直线经过点A(1,3)。因此所求直线方程为y3(x1)，即4x3y130。(2)当m2时，直线l的方程为x2；当m2时，直线l的方程为，即2x(m2)ym60。因为m2时，代入方程2x(m2)ym60，即为x2，所以直线l的方程为2x(m2)ym60。3(配合例3使用)已知点P在直线x3y20上，点Q在直线x3y60上，线段PQ的中点为M(x0，y0)，且y0x02，则的取值范围是()ABCD(0，)解析设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则得x03y020，即M(x0，y0)在直线x3y20上。又因为y0x02，所以M(x0，y0)位于直线x3y20与直线xy20交点的右下部分的直线上。设两直线的交点为F，易得F(2,0)，而可看作点M与原点O连线的斜率，数形结合可得的取值范围为(0，)。故选D。答案D9
2020版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线方程学案 文（含解析）新人教A版
