2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.2.2 同角三角函数的基本关系学案 新人教A版必修第一册

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1、52.2同角三角函数的基本关系1能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式2理解同角三角函数的基本关系式3能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan.这就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切(k，kZ)温馨提示：(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立，即与角的表达形式无关，如sin23cos231成立，但是sin2cos21就不一定成立(2)sin2是(sin)2的简写，读作“sin的平方”，

2、不能将sin2写成sin2，前者是的正弦的平方，后者是2的正弦(3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2cos21对一切R恒成立，而tan仅对k(kZ)成立判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)对任意角，sin2cos21都成立()(2)对任意角，tan2都成立()(3)若cos0，则sin1.()(4)若sin，则cos.()答案(1)(2)(3)(4)题型一利用同角三角函数的基本关系式求值【典例1】(1)已知cos，求sin和tan.(2)已知tan3，求的值思路导引利用同角三角函数的基本关系式求解解(1)sin21cos2122，因为cos0，所以是

3、第二或第三象限角，当是第二象限角时，sin，tan；当是第三象限角时，sin，tan.(2)原式.变式(1)由本例(2)条件变为：“2”，求的值(2)若本例(2)条件不变，求sin2cos2的值解(1)由2得tan3，所以原式.(2)原式.已知三角函数值求其他三角函数值的方法(1)若已知sinm，可以先应用公式cos求得cos的值，再由公式tan求得tan的值(2)若已知cosm，可以先应用公式sin求得sin的值，再由公式tan求得tan的值(3)已知tanm，可以求或的值，将分子分母同除以cos或cos2，化成关于tan的式子，从而达到求值的目的(4)对于asin2bsincosccos2

4、的求值，可看成分母是1，利用1sin2cos2进行代替后分子分母同时除以cos2，得到关于tan的式子，从而可以求值针对训练1已知sin，并且是第二象限角，求cos和tan.解cos21sin2122，又是第二象限角，所以cos0，cos0.原式tantan1.4化简：sin2sin2sin2sin2cos2cos2.解原式sin2(1sin2)sin2cos2cos2sin2cos2cos2cos2sin2(sin2cos2)cos2sin21.题型三证明简单的三角恒等式【典例3】求证：.思路导引从一边证明，使它等于另一边证明右边左边，原等式成立证明三角恒等式常用的方法(1)从一边开始，证得

5、它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等(3)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想(4)比较法：即证左边右边0或证1.针对训练5求证：1.证明1.课堂归纳小结1利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其它三角函数值2利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值3在进行三角函数式的

6、化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.1下列等式中恒成立的个数为()sin211cos21；sin2cos2sin23cos23；sintancos.A1 B2 C3 D0解析都正确，故选C.答案C2已知是第四象限角，cos，则sin等于()A.BC.D解析sin2cos21，sin21cos21，又是第四象限角，sin0，即sin.答案B3化简(1cos)的结果是()AsinBcosC1sinD1cos解析(1cos)(1cos)sin.答案A

7、4已知sin，则sin4cos4的值为()ABC.D.解析sin4cos4sin2cos22sin211.答案B5若tan2，求sincos.解sincos，而tan2，原式.课内拓展课外探究sincos与sincos关系的应用sincos，sincos，sincos三个式子中，已知其中一个，可以求其它两个，即“知一求二”，它们之间的关系是(sincos)212sincos.【典例】已知sincos，(0，)，求：(1)sincos；(2)sincos；(3)sin3cos3.解(1)由sincos，平方得2sincos，sincos.(2)(sincos)212sincos1，sincos.

8、又由(1)知sincos0，coscos1，所以sin1cos1.故选A.答案A5已知sincos，且，则cossin的值为()A.B.CD解析(cossin)212sincos，因为cos，所以cossin.故选C.答案C二、填空题6若1，则tan的值为_解析1化为1，所以2tan13tan2，所以tan3.答案37已知sin，且sincos1，则tan等于_解析因为sincos1，所以cos0，所以cos，所以tan.答案三、解答题8化简：(为第二象限角)解是第二象限角，cos0.则原式tan.9已知1，求下列各式的值：(1)；(2)sin2sincos2.解因为1，所以tan.(1)原式

9、.(2)原式222.10求证：.证明证法一：左边右边原式成立证法二：右边；左边.左边右边，原式成立综合运用11若1sincos0成立，则角不可能是 ()A第二、三、四象限角B第一、二、三象限角C第一、二、四象限角D第一、三、四象限角解析由于1sincos0，且1sin2cos20，所以sin0，cos0，故选C.答案C12若3，则cos2sin等于()A1 B1CD1或解析若3，则1cos3sin，又sin2cos21，所以sin，cos3sin1，所以cos2sin.故选C.答案C13已知cos，0，则sin_.解析0，0，sin.答案14已知f(tanx)，则f()_.解析因为f(tanx)tan2x1，所以f(x)x21，所以f()4.答案415已知在ABC中，sinAcosA.(1)判断ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(2)求tanA的值解(1)由sinAcosA两边平方，得12sinAcosA，所以sinAcosA0.因为0A0，cosA0，所以sinAcosA.又因为sinAcosA，所以sinA，cosA，所以tanA.13