2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程学案（含解析）新人教B版选修1-1

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1、2.2.1双曲线及其标准方程学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题知识点一双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距知识点二双曲线的标准方程1两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的关系式a2b2c22.焦点F1，F2的位置是双曲线定位的

2、条件，它决定了双曲线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上3当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为Ax2By21(AB0，b0)，则有解得故所求双曲线的方程为1.方法二由椭圆方程1知焦点在y轴上，设所求双曲线方程为1(1625)因为双曲线过点(2，)，所以1，解得20或7(舍去)，故所求双曲线的方程为1.(2)因为双曲线经过点M(0,12)，所以M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，所以c13，所以b2c2a225.所以双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0)因

3、为点P，Q在双曲线上，所以解得故所求双曲线方程为1.反思感悟待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2By21(AB0，b0)，c，b2c2a26a2.由题意知1，1，解得a25或a230(舍)b21.双曲线的标准方程为y21.(2)设双曲线方程为mx2ny21(mn0，b0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|m，F1为双曲线的左焦点，则ABF1的周长为_(2)已知双曲线1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点

4、P使得F1PF260，则F1PF2的面积为_答案(1)4a2m(2)16解析(1)由双曲线的定义，知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a.又|AF2|BF2|AB|，所以ABF1的周长为|AF1|BF1|AB|4a2|AB|4a2m.(2)由1，得a3，b4，c5.由双曲线定义和余弦定理，得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，所以|PF1|PF2|sinF1PF26416.引申探究本例(2)中若F1PF290，其他条件不变，求F1PF2的面积解由双

5、曲线方程知a3，b4，c5，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a6，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36.在RtF1PF2中，由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2100.将代入得|PF1|PF2|32，所以|PF1|PF2|16.反思感悟求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值；利用公式|PF1|PF2|sinF1PF2求得面积(2)方法二：利用公式|F1F2|yP|(yP为P点的纵坐

6、标)求得面积特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1|PF2|2a的变形使用，特别是与|PF1|2|PF2|2，|PF1|PF2|间的关系跟踪训练2已知双曲线的方程是1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON|的大小(O为坐标原点)解设双曲线的另一个焦点为F2，连接PF2，ON是三角形PF1F2的中位线，所以|ON|PF2|，因为|PF1|PF2|2a8，|PF1|10，所以|PF2|2或18，|ON|PF2|1或9.由双曲线的定义求轨迹方程典例已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及

7、圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案x21(x1)解析如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件 |MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|2，这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2且26|C1C2|.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，这里a1，c3，则b28，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为x21 (x1)素养评析(1)定义法求双曲线方程的注意点注意条件中是到定点距离之

8、差，还是差的绝对值当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上(2)建立数与形的联系，探索解决数学问题的思路，提升数形结合能力，形成数学直观直觉，有利于培养学生的数学思维品质和关键能力1到两定点F1(3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是()A椭圆B线段C双曲线D两条射线答案D解析由题意知|F1F2|MF1|MF2|6，所以点M的轨迹是两条射线2若kR，方程1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是()A3k2Bk3Ck2Dk2答案A解析由题意知，k30且k20，3k2.3设F1，F2分别是双曲线x2

9、1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积等于()A4B8C24D48答案C解析由题意得解得又由|F1F2|10，可得PF1F2是直角三角形，则|PF1|PF2|24.4椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则a的值是()A.B1或2C1或D1答案D解析由于a0,0a24，且4a2a2，所以可解得a1，故选D.5求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)a3，c4，焦点在x轴上；(2)焦点为(0，6)，(0,6)，经过点A(5,6)解(1)由题设知，a3，c4，由c2a2b2，得b2c2a242327.因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为1.(2)由

10、已知得c6，且焦点在y轴上，因为点A(5,6)在双曲线上，所以2a|135|8，则a4，b2c2a2624220.所以所求双曲线的标准方程为1.1双曲线定义中|PF1|PF2|2a(2ab不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b2.3用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0，b0)，则a2b25.线段PF1的中点坐标为(0,2)，点P的坐标为(，4)，将其代入双曲线的方程，得1.由解得a21，b24，双曲线的方程为

11、x21.3若kR，则“k5”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析当k5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，k5或k2.故选A.4已知双曲线1的一个焦点是(0,2)，则实数m的值是()A1B1CD.答案B解析由焦点坐标知，焦点在y轴上，mn0)和双曲线1(s，t0)有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|PF2|的值是()AmsB.(ms)Cm2s2D.答案A解析如图所示，设|PF1|x，|PF2|y，则x，y，|PF1|PF2|xyms.6已知两圆C1：(x4)2y22，C2：(x4)2y22，

12、动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是()Ax0B.1(x)C.1D.1或x0答案D解析动圆M与两圆C1，C2都相切，有四种情况：动圆M与两圆都外切；动圆M与两圆都内切；动圆M与圆C1外切，与圆C2内切；动圆M与圆C1内切，与圆C2外切在情况下，显然动圆圆心M的轨迹方程是x0；在的情况下，如图，设动圆M的半径为r，则|MC1|r，|MC2|r，故得|MC1|MC2|2；在的情况下，同理，得|MC2|MC1|2.由得|MC1|MC2|20)，则由QF1QF2，得1，c5.设双曲线方程为1(a0，b0)，则1，又c2a2b225，a216，b29，双曲线的标准方程为1.10已知双曲

13、线1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A，B两点，且|AB|4，F2为双曲线的右焦点，ABF2的周长为20，则m的值为_考点双曲线的定义题点双曲线的焦点三角形答案9解析ABF2的周长|AB|AF2|BF2|20，|AB|4，|AF2|BF2|16.根据双曲线定义知，2a|AF2|AF1|BF2|BF1|，4a(|AF2|BF2|)(|AF1|BF1|)16412，a3，ma29.11在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(6，0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线1的左支上，则_.答案解析由双曲线的定义可得ac10，由正弦定理得.三、解答题12.如图，已知定圆F1：x2y210x240

14、，定圆F2：x2y210x90，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的曲线方程解圆F1：(x5)2y21，圆心F1(5,0)，半径r11.圆F2：(x5)2y242，圆心F2(5,0)，半径r24.设动圆M的半径为R，则有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|3.点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线(左支)，且a，c5.b2.双曲线方程为1.13已知双曲线过点(3，2)且与椭圆4x29y236有相同的焦点(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|MF2|6，试判断MF1F2的形状解(1)椭圆方程可化为1，焦点在x轴上，且c，故设双

15、曲线方程为1，则有解得a23，b22，所以双曲线的标准方程为1.(2)不妨设M点在双曲线的右支上，则有|MF1|MF2|2，又|MF1|MF2|6，解得|MF1|4，|MF2|2，又|F1F2|2，因此在MF1F2中，MF1边最长，而cosMF2F10，所以MF2F1为钝角，故MF1F2为钝角三角形14双曲线1的一个焦点到中心的距离为3，则m的取值范围为_答案2,7解析(1)当焦点在x轴上时，有m5，则c2mm59，m7；(2)当焦点在y轴上时，有m0，则c2m5m9，m2.综上所述，m7或m2.15已知OFQ的面积为2，且m，其中O为坐标原点(1)设m4，求与的夹角的正切值的取值范围；(2)设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，|c，mc2，当|取得最小值时，求此双曲线的标准方程解(1)因为所以tan.又m4，所以1tan4.即tan的取值范围为(1,4)(2)设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，Q(x1，y1)，则(x1c，y1)，所以SOFQ|y1|2，则y1.又m，即(c,0)(x1c，y1)c2，解得x1，所以|2，当且仅当c4时取等号，|最小，这时点Q的坐标为(，)或(，)因为所以所以双曲线的标准方程为1.15