重积分习题课PPT学习教案

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1、会计学1.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 积分区域为：,dyc ).()(21yxy Y型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D第1页/共47页二重积分在极坐标下的计算公式1、被积分函数或者积分区域含有圆，常用极坐标；2、在积分中注意使用对称性与奇偶性;3、一般变量代换中注意雅可比行列式要加绝对值 Drdrdrrf )sin,cos(极点不在区域 D 的内部21( )( )( cos , sin ).rrdf rrrdr( )0( cos , sin ).rdf rrrdr极点位于区域 D 的内部2( )00( cos , sin ).df r

2、rrdr 极点在区域 D 的边界上第2页/共47页 二重积分的计算方法是累次积分法，化二重积分为累次积分的步骤是：作出积分区域的草图选择适当的坐标系选定积分次序，定出积分限1、关于坐标系的选择： 这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑第3页/共47页被积函数呈 )(),(22xyfyxf 常用极坐标其它以直角坐标为宜2、关于积分次序的选择选序原则能积分，少分片，计算简单3、关于积分限的确定二重积分的面积元 )( rdrdddxdyd 为正确定积分限时一定要保证下限小于上限积分区域为圆形、扇形、圆环形极坐标系下勿忘 r第4页/共47页4、关于对称性 利用对称性来简化重积分的计算是十分

3、有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性时要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，不可误用对 DdxdyyxfI),(若D关于 x 轴对称时时当当),(),() 1 (yxfyxf 0 I(2) ( ,)( , )f x yf x y当时 2),(2DdxdyyxfI 0,),(2 yDyxD第5页/共47页若D关于 y 轴对称时时当当),(),() 1 (yxfyxf 0 I时时当当),(),()2(yxfyxf 1),(2DdxdyyxfI 0,),( ),(1 xDyxyxD若D关于原点对称时时当当),(),() 1(yxfyxf 0 I时时当

4、当),(),() 2(yxfyxf 3),(2DdxdyyxfI 0, 0,),(3 yxDyxD第6页/共47页 DDdxdyxyfdxdyyxf),(),(称为关于积分变量的轮换对称性是多元积分所独有的性质 奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于 对称区间上奇偶函数的定积分的性质、简单地说就是:若 D 关于直线 y = x 对称第7页/共47页例1.1, 0,)(d)2(22)(所围由其中计算二重积分xyxyyxIoxy12xy 解120, 10: )(xyx20210d)2(dxyyxxI10022d| )(2xyyxx104d2x

5、x.52解21, 10: )(xyy1210d)2(yxyxdyI1013d| )231(yxyxy102/3d)37231(yyy102/52)151431(yyy注意两种积分次序的 计算效果！x.52y第8页/共47页 Ddyxx )232(2222:ayxD 解D关于 x , y 轴及原点及 y = x 对称故 Ddyx0)32( Ddyx )(2122 DDdydx 22 20043421aadrrd Dad222 故 Ddyxx ) 232(22424aa 例2 计算第9页/共47页 Ddxdyyx)cos(2020: yxD解例3 计算2 yxD1D2 12)cos()cos(DD

6、dxdyyxdxdyyxI 2020)cos( xdyyxdx 2022)cos( xdyyxdx 20202sincossin2sin dxxdxx2 Ddxdyyx 2)sin( yxD0 ,0:第10页/共47页 DyxyxDdxdyyx22:,)(解D的边界 21)21()21(22 yx极点在D的边界上圆周在(0, 0)的切线斜率为1 y故43,4 434sincos02)sin(cos drrdI 4344)sin(cos31 d 4344)4(sin34 d例4 计算 04sin34tdt2 )4( t令第11页/共47页例5 计算 Ddyxyfx )(1 221, 1,:3 x

7、yxyDD2D1解 DDdyxxyfxdI )(22 Ddyxxyf0)(22 DDxdxd1 52 I 0133xxdyxdx52 第12页/共47页例6设 f (x) 在 0,1 上连续 10)(Adxxf求 101)()(xdyyfxfdx解 101100)()()()(xydxyfxfdydyyfxfdxI 100)()(xdyyfxfdx 100101)()()()(2xxdyyfxfdxdyyfxfdxI 10101010)()()()(dyyfdxxfdyyfxfdxD第13页/共47页 1022)(Adxxf22AI 上连续上连续在在设设),()(xf试将二重积分 DdyxfI

8、 )(221: xyD化成定积分解由积分域和被积函数的对称性有 1)(422DdyxfI xyxD 0 , 10:1用极坐标例7第14页/共47页 sec0 ,40 rsec4004( )Idf r rdr 为将二次积分化为所需要的定积分，须变换积分次序 10402141arccos)(4)(4 rdrrfdrdrrfdrIdrrrfrdrrrf)()1arccos4()(1021 drrrrfdrrrf 20211arccos)(4)( DD1第15页/共47页zyxzyxfIddd ),( ),(),(d),(yxzyxzzzyxfd dDx y1、面投影法（先一后二法）2、轴投影法-截面

9、法zyxzyxfIddd ),( 21dccz zDyxx,y,zfd)d(第16页/共47页利用柱面坐标计算三重积分 .,sin,coszzryrx dV =zyxdddzrrddd zyxzyxfddd ),( ),sin,cos(zrrf zrrddd利用球面坐标计算三重积分 .cos,sinsin,cossin rzryrxdV= r 2sin drddzyxzyxfddd ),( ,sinsin,cossin( rrfrcos )sin drddr 2第17页/共47页利用对称性和奇偶性化简三重积分的计算时应注意:、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标面的

10、奇偶性三重积分及更多重积分没有几何意义第18页/共47页重积分应用(1) 体积的体积为的体积为之间直柱体之间直柱体与区域与区域在曲面在曲面Dyxfz),( ( , )DVf x y dxdydv设S曲面的方程为：).,(yxfz 曲面S的面积为 ;122dxdyAxyDyzxz (2) 曲面积：平面图形面积DSdxdy第19页/共47页当薄片是均匀的，重心称为形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy (3) 重心坐标第20页/共47页空间物体的重心(质心). dvM 其中其中,1 dvxMx ,1 dv

11、yMy .1 dvzMz 注：可妙用形心坐标公式求某些重积分 222222(2)1d d dyxzabcy x y z48233yVabcabc椭椭球球第21页/共47页1、薄片对于x轴的转动惯量2、薄片对于y轴的转动惯量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI (4.) 转动惯量第22页/共47页,2 dvzIxy (4.) 转动惯量,2 dvxIyz ,2 dvyIzx ,)(22 dvzyIx ,)(22 dvxzIy ,)(22 dvyxIz .)(222 dvzyxIo 第23页/共47页薄片对轴上单位质点的引力z,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyx

12、fFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 为引力常数f(5) 引力第24页/共47页0322220000322220000322220000() ( , , )()()() () ( , , )()()() () ( , , )()()() xyzPmFGm xxf x y zxxyyzzdvFGm yyf x y zxxyyzzdvFGm zzf x y zxxyyzz在空间区域 上积分，得到该物体 对位于 点的质点的引力在各坐标轴方向的引力大小为：dv第25页/共47页22max,01,01.xyDedDxy8、计算二重积分，

13、其中22xyyx令12D( , )|01,0DD( , )|01,1x yxyxx yxxy将 分为两个区域222212221222max,max,110000 1xyxyDDxyDDxyxyIedxdyedxdye dxdye dxdydxe dydye dxe分析：利用重积分的可加性第26页/共47页 .|( , )|; .max ( , ), ( , ); . ( , ) .min ( , ), ( , ); , .DDDDaf x y dbf x y g x y dcf x y ddf x y g x yd形如等的被积函数均应看作分区域函数来对待 利用积分的可加性分区域积分求和2222

14、229. ( )lim( )0, ( , )|,0,0.lim( ); (2)(); (3).uuRRDf ufuADx yxyRxyf uIfxy dxdyR 设有连续的导数，且 (1)证明:求I计算 第27页/共47页:.lim( )0,.20, . .( ).2( )()( )()()()2lim( )uuLagrangeAafuAAAMst uMfuLagrangeuMAf uf MfuMf MuMf u 解题思路 综合运用中值定理 和极坐标计算二重积分且由局部保号性时由中值定理当时从而第28页/共47页2222002cos.,sin2()() ()(0)4RRDxrbyrIfxy d

15、xdydfrrdrf Rf令则02222()(0). limlim42() lim424RRRRIf RfcRRRfRAR第29页/共47页xy分析:先对 后对 积分2212103Dyyyyxedxdyedyxdx20111()249yyy edy205572144yyedy22210,49.yDxedxdyDyxyx、计算二重积分其中 是曲线和在第一 象限所围成的区域第30页/共47页111. . ( )( )( ) ( )( )(1)(2)(2)tttxysttxxF tdyf x dxf x dy dxF tf t tFf 分析：本题关键在于求导前应先交换积分次序，被积函数中不含有变量

16、，然后化成积分上限函数求导。在应用变限积分对变量求导时，应注意被积函数中不能含有变量 ，否则应先通过恒等变形、变量代换或交换积分次序等方法将被积函数中的变量 换到积分号外或者积分限上去。1( )( )( ), (2).ttyf xF tdyf y dxF11、设为连续函数，求第31页/共47页222( )22( )22( )2222121222()( )( );()() ( ),( )( , , )|() ( )( , )|.(1)( )(0.) (2)0tD tD tf xyzdvf xF xf xydf xydG xdxtx y zxyztf xD tx yxytF ttF12、设函数连续

17、且恒大于零，其中试讨论在区间内的单调性； 证明当时，2( )( ).tG t第32页/共47页a分析： 、分别在球坐标下计算分子的三重积分、( )F t极坐标计算二重积分，再结合的符号确定单调性。b、作适当恒等变形，构造辅助函数，再用单调性证明。222220000222000()sin2()()()ttttddf rrdrf rr draF tdf rrdrf rrdr解： 、（）=20220() ()()tttf rr tr drFtFtf rrdr（）=2在（0,+ ）上， （） 0F t所以，（）在区间（0,+ ）上单调递增。第33页/共47页2020().0()ttf rrdrbG t

18、tf rdr因（）要证结论，只需证时2 ( )( )0F tG t22222000()()()0tttf rr drf rdrf rrdr即：2220( )( )( )()( - )0tg tg tf tf rt rdr令左边( )00( )(0)g tttg tg 而在处连续时(0)00( )0gtg t 又时20 ( )( )tF tG t从而第34页/共47页0013 (0),.Rk 、设有一半径为 的球体，P 是此球的表面上的一个定点， 球体上任一点的密度与该点到P的距离的平方成正比比例常数求球体的重心位置分析：为做题方便，选球在坐标原点，0OPz射线为 轴负向，建立坐标系，则2222

19、0(0,0).,PRxyzR球面为所围区第35页/共47页, ,x y z域为 ，记 重心坐标为（） 由对00.xy称性，222222() () zk xyzRdvzk xyzRdv而2222xyz dvR dv分母=2450004sin3Rddr drR 53215R第36页/共47页22222222RRxyRzRz dvRz dzdxdy分子681544RRRz重心为（0,0, ）第37页/共47页;分析：考察被积函数的奇偶性和积分区域的对称性化简 二重积分的计算24223222001cos.4RDxRdxdydr draaa解：24224DxRdxdybb同理有，42211()4Rab从

20、而原积分2222222,().DxyDxyRdxdyab14、设区域 为计算： 第38页/共47页15：计算 222()()():1xxyyzzabc()lxmynz dxdydzlxdvmydvnzdv其中 ,1 dvxMx ,1 dvyMy .1 dvzMz ()lxmynz dxdydz解： 从而4;3xdvabcx4;3ydvabcy4.3zdvabcz()lxmynz dxdydz43abc lxmynz第39页/共47页16. 在半径为a的均匀密度的球体内部挖掉两个互相内切于大球的半径为a/2的球体，试求剩余部分对于这三个球的公共直径的转动惯量。解：假设 设坐标原点为大球球心；公共

21、直径所在轴为z轴.用球面坐标系计算，122242200cos()2sinsinazaIxy dvddrdr 53652041sin(1 cos)52ada第40页/共47页222222222ln()17., ,1 ,d .1zxyzx y z xyzvxyz 计算222222ln()d1zxyzvxyz解：22221221ln()dd01Dzzzz22222218.( , , )1,0,(235)dx y z xyzzxyzV 计计算算02222221(235)d(235)d2xyzVxyzV则则 00222221400011(235)d5()d2354 dsin dd.33xVxyzVrr

22、2220( , , )1x y z xyz 解解：第41页/共47页 222222240119limd, , 00,00.Rfxyzvx y z xyzRRf uff . .求求：，其其中中具具有有连连续续导导数数，且且 2401limsin d d dRf rrrR 解解：原原式式 2 24 0 0 001limdsin ddRRr f rrR 240 001lim2cosdRRr f rrR 4 0 20dlim4RrrfrRR RRfRRfRRR0320lim4lim4 01lim0fRfR第42页/共47页220. ( ) , ( )0,1 ( )()( )bbaaf xa bf xf

23、 x dxdxbaf x设在区间上连续，且试证明：( , )|,.Dx yaxb aybDyx证明：设平面区域显然 关于直线对称222( )( )1( )( )( )( )2( )( )1( )( )12 ( ) ( )2( ) ( )2( ) ( )()DDDDDDf xf yf xf ydxdydxdydxdyf yf xf yf xfxfyf x f ydxdydxdyf x f yf x f ydxdybababababadyyfdxxfdxxfdxxf)(1)()(1)(第43页/共47页 2 0 0212( )aaaxf x dxfy dyf x dxf x、证明：，其中为连续函数

24、 0 0 ddddaaaaxxf xxfyyf xxfyy左端 aayaxxxfyyfyyfxxf 0 0 0 dddd axaaxyyfxxfyyfxxf 0 0 0 dddd xaxayyfyyfxxf 0 0 ddd aayyfxxf 0 0 dd aaxxfxxf 0 0 dd 2 0daf xx右端第44页/共47页练习设 f(x) 连续，证明 DAAdttAtfdxdyyxf|)()(2| ,2|:|AyAxD 第45页/共47页直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个薄片的重心恰提示: 建立坐标系如图.,0y由对称性知即有恰好落在圆心上 ,问接上去的均匀矩形薄片的另一边长度应为多少?练习第46页/共47页