江苏专版2022年高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第八节函数与方程学案理含解析

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1、江苏专版2022年高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数第八节函数与方程学案理含解析1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个也就是方程f(x)0的根2二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系000图象与x轴的交点(x1,

2、0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数小题体验1(2019苏州调研)函数ye2x1的零点是_答案：02函数f(x)ln x2x6的零点个数是_答案：13(2019海门中学月考)若方程x2x6的解所在的区间是(k，k1)，则整数k_.解析：令f(x)x2x6，根据方程x2x6的解所在的区间是(k，k1)，f(x)在(k，k1)上单调递减，可得f(x)x2x6在区间是(k，k1)上有唯一零点，故有f(k)f(k1)0，再根据f(2)20，f(1)20，可得k2.答案：21函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标2函数零点存在性定理是零点存

3、在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象小题纠偏1函数f(x)(x22)(x23x2)的零点为_答案：，1,22给出下列命题：函数f(x)x21的零点是(1,0)和(1,0)；函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)f(b)0；二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点；若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点其中正确的是_(填序号)答案：题组练透1已知定义在R上的函数f(x)图象的对称轴为x3，且当x3时，f(x)2x3.若函数f(x)在区间(

4、k1，k)(kZ)上有零点，则k的值为_解析：当x3时，由f(x)2x30，解得xlog23.因为1log232，即函数的零点所在的区间为(1,2)，所以k2.又函数f(x)的图象关于x3对称，所以另外一个零点在区间(8，7)上，此时k7.答案：7或22设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为_ 解析：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)ln x，h(x)x2图象交点的横坐标所在的范围作出图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)答案：(1,2)3函数f(x)x23x18在区间1,8上_(填“存在”或“不存在”)零点解析：法一：因为f(1)12311820

5、0，f(8)823818220，所以f(1)f(8)0，又f(x)x23x18在区间1,8的图象是连续的，故f(x)x23x18在区间1,8上存在零点法二：令f(x)0，得x23x180，所以(x6)(x3)0.因为x61,8，x31,8，所以f(x)x23x18在区间1,8上存在零点答案：存在谨记通法确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法(1)定义法：使用零点存在性定理，函数yf(x)必须在区间a，b上是连续的，当f(a)f(b)0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)g(x)h(x)，

6、作出yg(x)和yh(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点典例引领1(2018全国卷)函数f(x)cos在0，的零点个数为_解析：由题意可知，当3xk(kZ)时，f(x)0.x0，3x，当3x取值为，时，f(x)0，即函数f(x)cos在0，的零点个数为3.答案：32函数f(x)的零点个数是_解析：当x0时，由ln xx22x0，得ln xx22x.作出函数yln x，yx22x的图象(图略)，由图象可知有两个交点当x0时，由4x10，解得x.所以函数的零点个数是3.答案：3由题悟法判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点

7、存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点即时应用1(2018上海徐汇区检测)定义在R上的偶函数yf(x)，当x0时，f(x)lg(x23x3)，则f(x)在R上的零点个数为_解析：当x0时，f(x)lg(x23x3)，由lg(x23x3)0，得x23x31，解得x1或x2.因为函数yf(x)是定义在R上的

8、偶函数，所以函数的零点个数为4.答案：42函数f(x)exx2的零点个数为_解析：因为f(x)ex0，所以f(x)在R上单调递增，又f(0)120，f(1)e0，所以函数在区间(0,1)上有且只有一个零点答案：1典例引领(2019南通中学高三学情调研)已知函数g(x)若函数yg(g(x)2m有3个不同的零点，则实数m的取值范围是_解析：当x0时，g(x)x10，此时g(g(x)(x1)21x22x，当0x1时，g(x)x210，此时g(g(x)(x21)1x22，当x1时，g(x)x210，此时g(g(x)(x21)21x42x2，所以函数yg(g(x)画出函数yg(g(x)的图象如图所示结合

9、图象可知，若函数yg(g(x)2m有3个不同的零点，则12m2，即m1，所以实数m的取值范围是.答案：由题悟法已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用方法直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围分离参数法先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决数形结合法先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解即时应用1(2018南京、盐城高三一模)设函数f(x)是偶函数，当x0时，f(x)若函数yf(x)m有四个不同的零点，则实数m的取值范围是_解析：作出当x0时f(x)的图象，根据偶函数的图象关于y轴对称可得x0时的图象，由图象可得m.答案

10、：2(2018启东中学检测)已知f(x)x22x1，若函数yf(|ax1|)k|ax1|4k(a1)有三个不同的零点，则实数k的取值范围是_解析：设t|ax1|，t0，则函数yf(|ax1|)k|ax1|4kt2(k2)t4k1.设h(t)t2(k2)t4k1，若函数g(x)有三个不同的零点，则方程h(t)0有两个不等的实数解t1，t2，且解的情况有如下三种：t1(1，)，t2(0,1)，此时有h(0)0，且h(1)0，解得k. t10，t2(0,1)，此时由h(0)0，得k，所以h(t)t2t，即t2，不符合t2(0,1); t11，t2(0,1)，此时由h(1)0，得k，所以h(t)t2t

11、，即t2，符合t2(0,1)综上，实数k的取值范围是.答案：一抓基础，多练小题做到眼疾手快1已知函数f(x)a的零点为1，则实数a的值为_解析：由已知得f(1)0，即a0，解得a.答案：2已知关于x的方程x2mx60的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是_解析：设函数f(x)x2mx6，则根据条件有f(2)0，即42m60，解得m1.答案：(，1)3已知函数f(x)若f(0)2，f(1)1，则函数g(x)f(x)x的零点个数为_解析：依题意得由此解得b4，c2.由g(x)0得f(x)x0，该方程等价于或解得x2，解得x1或x2.因此，函数g(x)f(x)x的零点个数为3.答案：3

12、4(2019连云港调研)已知函数f(x)xb有一个零点，则实数b的取值范围为_解析：由已知，函数f(x)xb有一个零点，即函数yxb和y的图象有1个交点，如图，其中与半圆相切的直线方程为yx2，过点(0，)的直线方程为yx，所以满足条件的b的取值范围是b2或b .答案：2(，5(2018苏州质检)已知函数f(x)xcos x，则f(x)在0,2上的零点个数为_解析：作出g(x)x与h(x)cos x的图象如图所示，可以看到其在0,2上的交点个数为3，所以函数f(x)在0,2上的零点个数为3.答案：36(2018泰州中学上学期期中)已知函数yf(x)的周期为2，当x1,1时，f(x)x2，那么函

13、数yf(x)的图象与函数y|lg x|的图象的交点共有_个解析：在同一直角坐标系中分别作出yf(x)和y|lg x|的图象，如图，结合图象知，共有10个交点答案：10二保高考，全练题型做到高考达标1设x0为函数f(x)2xx2的零点，且x0(m，n)，其中m，n为相邻的整数，则mn_.解析：函数f(x)2xx2为R上的单调增函数，又f(0)10210，f(1)21210，所以f(0)f(1)0，故函数f(x)2xx2的零点在区间(0,1)内，故m0，n1，mn1.答案：12(2018镇江中学检测)已知函数f(x)2x2x6的零点为x0，不等式x4x0的最小的整数解为k，则k_.解析：函数f(x

14、)2x2x6为R上的单调增函数，又f(1)20，f(2)20，所以函数f(x)2x2x6的零点x0满足1x02，故满足x0n的最小的整数n2，即k42，所以满足不等式x4x0的最小的整数解k6.答案：63已知方程2x3xk的解在1,2)内，则k的取值范围为_解析：令函数f(x)2x3xk，则f(x)在R上是增函数当方程2x3xk的解在(1,2)内时，f(1)f(2)0，即(5k)(10k)0，解得5k10.当f(1)0时，k5.综上，k的取值范围为5,10)答案：5,10)4(2019太原模拟)若函数f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则实数m的

15、取值范围是_解析：依题意并结合函数f(x)的图象可知，即解得m.答案：5(2018无锡期末)设函数f(x)若方程f(x)mx0恰好有3个零点，则实数m的取值范围为_解析：当x1时，方程f(x)mx0变为1mx0，解得x；当1x1时，方程f(x)mx0变为xlog2(x1)m0，解得x0或x2m1.因为f(x)mx0恰好有3个零点，所以1，且12m11，解得0m1，故实数m的取值范围为(0,1)答案：(0,1)6(2019镇江调研)已知k为常数，函数f(x)若关于x的方程f(x)kx2有且只有4个不同的解，则实数k的取值范围为_解析：作出函数yf(x)的大致图象如图所示，若关于x的方程f(x)k

16、x2有且只有4个不同解，当直线ykx2与yln x的图象相切时，设切点为(m，n)，可得nln m，yln x的导数为y(x1)，可得k，则nkm2，解得me3，ke3，则实数k的取值范围为(0，e3)答案：(0，e3)7(2018苏州调研)已知函数f(x)若直线yax与yf(x)交于三个不同的点A(m，f(m)，B(n，f(n)，C(t，f(t)(其中mnt)，则n2的取值范围是_解析：由已知条件可得所以所以n2n，令g(n)n，当f(x)ln x，x0与yax相切时，由f(x)，得a，又ln xax，解得xe，所以要满足题意，则1ne.由g(n)10，所以g(n)n在(1，e)上单调递增，

17、所以g(n)n2.答案：8(2018南京、盐城一模)设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)2x，设g(x)若函数yg(x)t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是_解析：因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，即2xm2x(2xm2x)，解得m1，故g(x)作出函数g(x)的图象(如图所示)当x1时，g(x)单调递增，此时g(x)；当x1时，g(x)单调递减，此时g(x)，所以当t时，yg(x)t有且只有一个零点答案：9已知二次函数f(x)x2(2a1)x12a，(1)判断命题：“对于任意的aR，方程f(x)1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若yf(x)在区间(1,0)及内各

18、有一个零点，求实数a的取值范围解：(1)“对于任意的aR，方程f(x)1必有实数根”是真命题依题意，f(x)1有实根，即x2(2a1)x2a0有实根，因为(2a1)28a(2a1)20对于任意的aR恒成立，即x2(2a1)x2a0必有实根，从而f(x)1必有实根(2)依题意，要使yf(x)在区间(1,0)及内各有一个零点，只需即解得a.故实数a的取值范围为.10(2018通州中学检测)已知二次函数f(x)ax2bx1，g(x)a2x2bx1.若函数f(x)有两个不同零点x1，x2，函数g(x)有两个不同零点x3，x4.(1)若x3x1x4，试比较x2，x3，x4的大小关系；(2)若x1x3x2

19、，m，n，p(，x1)，求证：mnp.解：(1)因为函数g(x)的图象开口向上，且零点为x3，x4，故g(x)0x(x3，x4)因为x1，x2是f(x)的两个不同零点，故f(x1)f(x2)0.因为x3x1x4，故g(x1)0f(x1)，于是(a2a)x0.注意到x10，故a2a0.所以g(x2)f(x2)(a2a)x0，故g(x2)f(x2)0，从而x2(x3，x4)，于是x3x2x4.(2)证明：记x1x3t，故f(t)at2bt10，g(t)a2t2bt10，于是(aa2)t20.因为a0，且t0，故a1.所以f(x)g(x)且图象开口向上所以对x(，x1)，f(x)递增且f(x)0，g

20、(x)递减且g(x)0.若mn，则f(n)f(m)0，0，从而g(p)g(n)0，故np.同上，当np时，可推得pm.所以pmnp，矛盾所以mn不成立同理，nm亦不成立所以mn.同理，np.所以mnp.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2019镇江期中)函数f(x)若关于x的方程f2(x)bf(x)4b10有4个不同的实数根，则实数b的取值范围是_解析：令tf(x)，则原方程等价于t2bt14b0.作出函数f(x)的图象如图所示由图象可知，当t3，2t1时，函数yt和yf(x)各有两个交点，要使方程f2(x)bf(x)4b10有4个不同的实数根，则方程t2bt14b0有两个根t1，t2，且t1

21、3，2t21.令g(t)t2bt14b，则由根的分布可得解得b.答案：2(2019南京调研)设函数fk(x)2x(k1)2x(xR，kZ)(1)若fk(x)是偶函数，求不等式fk(x)的解集；(2)设不等式f0(x)mf1(x)4的解集为A，若A1,2，求实数m的取值范围；(3)设函数g(x)f0(x)f2(2x)2，若g(x)在x1，)上有零点，求实数的取值范围解：(1)因为fk(x)是偶函数，所以fk(x)fk(x)恒成立，即2x(k1)2x2x(k1)2x，所以k2.由2x2x，得422x172x40，解得2x或2x4，即x2或x2，所以不等式fk(x)的解集为x|x2或x2(2)不等式

22、f0(x)mf1(x)4，即为2x2xm2x4，所以m，即m241.令t，x1,2，则t，设h(t)t24t1，t，则h(t)maxh.由A1,2，即不等式f0(x)mf1(x)4在1,2上有解，则需mh(t)max，即m.所以实数m的取值范围为.(3)函数g(x)(2x2x)(22x22x)2在x1，)上有零点，即(2x2x)(22x22x)20在x1，)上有解，因为x1，)，所以2x2x0，所以问题等价于在x1，)上有解令p2x，则p2，令up，则u在p2，)上单调递增，因此u，.设r(u)u，则r(u)1，当u2时，r(u)0，即函数r(u)在上单调递减，当u2时，r(u)0，即函数r(u)在2，)上单调递增，所以函数r(u)在u2时取得最小值，且最小值r(2)4，所以r(u)4，)，从而满足条件的实数的取值范围是4，)