第三章环与域

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date第三章 环与域第三章 环与域第三章 环与域与群一样，环与域也是两个重要的代数系统。但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了，在哪里，我们有数环和数域的概念，它们实际上就是特殊的环与域。在本章里，我们只是介绍环与域的最基本的性质及几类最重要的环与域，通过本章的学习，将使得我们一方面对数环和数域有更清楚的了解，另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备的基础。1 加群、环

2、的定义一、加群在环的概念里要用到加群的概念，因此要先介绍一下什么是加群，实际上加群也不是什么新的群，在习惯上，抽象群的代数运算，都是用乘法的符号来表示的，但我们知道，一个代数运算用什么符号表示是没有什么关系的，对于一个交换群来说，它的代数运算在某种场合下，用加法的符号来表示更加方便。因此，我们通常所说的加群，是指用加法符号表示代数运算的交换群。由于加法符号与乘法符号有所不同，所以加群的许多运算规则与表示形式就要与乘法表示的群有所不同。如：（1）加群的单位元用0表示，叫做零元。即，有。（2）加群的元素的逆元用表示，叫做的负元。即有。利用负元可定义加群的减法运算：。（3）。（4）。（5）（6），且

3、有请同学们在乘法群中写出以上各结论的相应结论。加群的一个非空子集作成一个子群，有，有。加群的子群的陪集表示为：。二、环的定义设是一个非空集合，“+”与“。”是两个代数运算，分别叫做加法与乘法，若1. 对于“+”作成一个加群。2. 对于“。”是封闭的。3. ，有，即乘法适合结合律。4. ，有，即乘法对加法适合左（右）分配律。则称关于“+”与“。”作成一个环。由定义可知，环是一个具有两个代数运算的代数系统，两个代数运算通过分配律联系起来。例1 整数集合，有理数集合，实数集合，复数集合对于普通数的加法和乘法作成环。分别叫做整数环，有理数环，实数环，复数环。例2 数域上所有阶方阵作成的集合关于矩阵的加

4、法和乘法作成环。例3 关于普通数的加法和乘法作成环，叫做偶数环。问：奇数集合关于普通数的加法和乘法是否作成环？答：否。因为关于加法不构成加群。由于一个环也是一个加群，所以上面关于加群的性质与运算规则（1）到（6）在环里也都成立。此外，环还有下列基本性质：（7）证明：由两个分配律以及负元的定义，有再由（4）得，。（8）证明：（9）证明：因为所以。（10）证明：（11） 证明略（12）即。证明略（13）证明略（14）定义：（是正整数），并称为的次乘方（简称次方或次幂）。对任意正整数有证明略由以上（1）-（14）各条可看出，中学代数的计算法则在一个环里差不多都可适用，但还是有少数几个普通计算法则在一

5、个环里不一定成立，这一点我们将在下一节讨论。2 交换律、单位元、零因子、整环前面说过，普通的运算法则大多数在环里也是成立的，但还是有些法则不一定成立，例如，数域上所有阶方阵集合关于矩阵的加法和乘法可验证作成一个环，但我们知道矩阵的乘法是不满交换律与消去律的。由于环的定义中对乘法的要求只有适合结合律一条，所以在环中对乘法的运算往往需要附加一定的条件，由此产生各种类型的环。1、交换律因为在环的定义里没有要求乘法适合交换律，所以在环里对，未必有。如矩阵环就不适合交换律，当然也有适合交换律的环，如整数环。若环的乘法适合交换律（即，有），则称环为交换环。当环是交换环时，有例 若环的每一个元素都适合，则称

6、是布尔环。证明，布尔环是交换环。证明：，有，于是有，即，即，所以，故布尔环是交换环。2、单位元在群论里。我们已经看到了单位元的重要性。在环的定义里，没有要求一个环要有一个对于乘法来说的单位元，但一个环如果有这样一个元，我们可以想象这个元也会占有一个很重要的地位。事实上，有些环确实有单位元，如：整数环就有乘法单位元1；数域上阶方阵环也有乘法单位元，即单位矩阵。但并不是所有环都有单位元，如偶数环就没有乘法单位元。若环存在元素，使得，有，则称是的单位元。此时环也叫做有单位元环。一般地，一个环未必有单位元。但如果有的话，一定是唯一的。因为，若都是环的单位元，则。例1（）在一个有单位元的环里，这个唯一的

7、单位元习惯上常用1来表示。注意，这里的1不是普通的整数1.在有单位元的环里，和群一样，规定。设是有单位元1的环，若，则称是可逆元，是的一个逆元。在有单位元的环里，未必每个元素都有逆元，如整数环是一个有单位元的环，但除了外，其它的整数都没有逆元。又如在矩阵环中非可逆矩阵就没有逆元。但是如果有逆元，则其逆元是唯一的。因为，若有两个逆元和，则。当是可逆元时，其唯一的逆元记作。并规定 （是正整数）这样规定以后，当是可逆元时公式对任何整数都成立。3、零因子前面在讨论环的运算性质时，曾有结论，即当环中的两个元素中有一个是零元时，。那么，反过来当时，是否也有或呢？结论是在一般的环里是不成立的。例2（） 在模

8、剩余类集合中，我们在第一章定义了加法和乘法：并在第二章证明了关于加法构成加群。又因为 所以关于剩余类的加法和乘法构成一个环。这个环叫做模剩余类环，它有单位元。当不是素数时，则，于是在中，而，这里是的零元素。定义 若环中两个非零元，使得，则称是环的左零因子，是环的右零因子。注：左，右零因子统称零因子。若是交换环，则它的一个左零因子也是右零因子，反之也一样。但在非交换环中，一个左零因子未必是右零因子，同样一个右零因子也未必是左零因子。另外，未必每一个环都有零因子，例如整数环就没有零因子。显然，由可推出或当且仅当环没有零因子。例3 设，则不是零因子。证明：（）因为，所以存在，使得。，若，则由，有，所

9、以不是零因子。（）若，则且，所以是中非零元，但与不是零因子矛盾，所以，即。例4（）定理 若环没有零因子，则（左消去律）（右消去律）成立。反之，若环里有一个消去律成立，则环没有零因子。证明：若环没有零因子，则由有于是，从而。同样可证右消去律成立。若在环里左消去律成立，则当时，由及，有，故环没有零因子。同理可证右消去律成立时，也没有零因子。推论 在环中，只要有一个消去律成立，那么两个消去律就都成立。4、整环以上我们给出了一个环的乘法运算可能适合的三个附加条件：交换律，单位元，零因子。一个环当然可以同时适合一个以上的附加条件，同时适合以上三个附加条件的环特别重要。定义 若环适合以下条件：1.乘法适合

10、交换律（即）；2. 有单位元1（即）；3. 没有零因子（即）。则称是一个整环。即，有单位元无零因子的交换环叫做整环。例如，整数环是整环。P89、5.证明 ，显然是非空集合。，有，即对加法封闭。 即加法适合结合律。存在，使得所以0是的零元。，所以的负元是，即。，即加法适合交换律。由可知，关于加法构成群。，即对乘法封闭。 即乘法适合结合律。 即乘法对加法适合分配律。由可知，关于加法和乘法构成环。因为，所以是交换环。是的单位元。若，则。故是整环。3 除环、域在上一节，我们对环的乘法运算附加了一些条件后就产生了一些特殊的环，如：交换环，有单位元环，无零因子环，整环等。在本节将进一步讨论特殊的环，介绍两

11、类重要的特殊环：除环与域。由上一节知识可知在一个有单位元1的环里，可以讨论元素的逆元问题，即当时，称是可逆元，是的逆元。而且当可逆时其逆元是唯一的，记作。那么对于有单位元的环，其中的元素是否都有逆元呢？，为此我们先看下面两个例子。例1（P90）例2（P91）由例1知，当一个有单位元环至少有一个非零元时，零元一定没有逆元。而由例2知，有的有单位元环其每个非零元都有逆元，但有的有单位元环则未必每个非零元都有逆元，例如，是有单位元环，但中并非每个非零元都有逆元。于是有如下概念。定义 设是一个环，若1、含有非零元；2、有单位元1；3、的每个非零元都有逆元（即，当时，存在，使得）。则称是除环。由此定义及

12、例2知，有理数环、实数环、复数环都是除环，但整数环不是除环。除环有如下性质：（1）除环没有零因子。事实上，设是除环，对，若有，则，从而，同理若有，则。故的非零元都不是零因子，即无零因子。由此可知，除环是无零因子环，但是无零因子环未必是除环，如，整数环是无零因子环，但不是整环。（2）除环中非零元集合，关于除环的乘法构成群。事实上，设是除环，则、由（1）知对的乘法封闭；、由环的定义知，乘法适合结合律；、的单位元1就是的单位元；、由除环的定义知，中每个元素都有逆元。故关于的乘法构成群。叫做除环的乘群。这样，一个除环是由两个群：加群与乘群凑合而成的，分配律就像是一座桥，使得这两个群之间发生一种联系。由

13、（1）、（2）知，在一个除环里，方程和（）各有一个唯一的解：和。这两个解分别叫做用从左边和右边去除，这就是除环这个名字的来源。要注意的是，一般地有（因为除环里的乘法不适合交换律）。定义 交换的除环叫做域。由此可见，域是特殊的环。所以除环的性质对域也成立，但反之则未必。由于在域里有，所以我们用来表示这两个相等的元素，即，这时我们就可以得到普通运算法则。设是一个域，则对，有（1）（2）（3）证明 （1）若，则，从而，于是。反之，若，则，因而，即。（2）因为所以（3）因为所以例3（P92）到现在为止，我们已经把几种最常见的适合乘法附加条件的环，都稍微做了介绍，为了能够把它们的隶属关系看得更清楚些，我

14、们做了一个表，详见P93。例4 模剩余类环是域是素数。证明 （）由第二节知，是有单位元的交换环，因此要证是域，只需证中非零元都可逆即可。，则，因为是素数，所以有，于是存在，使得，从而有即是的逆元，所以的每个非零元均可逆，故是域。 （）若不是素数，则有，从而有，但，于是是的零因子，这与是域无零因子矛盾。故是素数。4 无零因子环的特征在前面各节，我们看到了在各种环里哪些普通计算规则是可以适用的。有一种普通计算规则不但在一般环里，就是在适合条件比较强的环域里面也不一定能够适用，这规则就是：时，未必有 (1)例1 在域（是素数）里，有，但那么，（1）之所以不一定成立的原因在哪里呢？设是一个环，我们知道

15、的元素对于加法来说构成一个加群，在这个加群里每一个元素都有一个阶，由阶的定义可知，的元素在加群里的阶若是无限的，那么不管是哪一个整数，都有；若的阶是一个有限数，就有。即对的一个不等于零的元素来说，（1）式能不能成立，完全由在加群里的阶是无限还是有限来决定的，的阶无限时（1）式成立，的阶有限时（1）不成立。在一个环可能某一个不等于零的元素对于加法来说的阶是无限的，而另一个不等于零的元素的阶却是有限的。例2（P95）可见，在一个一般环里，（1）这个计算规则可能对于某一个元素来说成立，对于另一个元素来说又不成立。但在一个没有零因子的环里情形就不同了。定理1 在一个没有零因子的环里，所有不等于零的元素

16、，对于加法来说的阶都是一样的。证明 若的每一个不等于零的元素，对于加法的阶都是无限的，那么定理1成立。假定的某一个不等于零的元素对于加法的阶是有限整数。，则由及是无零因子环可得，所以，同理可证，故。所以的所有不等于零的元素，对于加法来说的阶都是一样的。定义 一个无零因子环的非零元素对于加法的相同阶，叫做无零因子环的特征。这样，一个无零因子环的特征如果是无限的，那么里计算规则（1）永远是对的；的特征如果是有限整数，这个计算规则就永远不对。定理2 若无零因子环的特征是有限整数，则是素数。证明 若不少素数，则，于是，有，但这与是无零因子环矛盾，故是素数。推论 整环、除环、域的特征或是无限大，或是一个

17、素数。若是特征为的无零因子的交还环，则，有事实上，因为而是的倍数，因而，所以。P97、2证明 ，则，于是，即。若，则，于是，从而，这与已知条件矛盾，故3. 证明 令。则，因为和都和互素，所以也和互素，于是，即对剩余类乘法封闭。剩余类乘法适合结合律。有知，即有单位元。，由知，存在使得，于是，但，所以，即。由可知，因此，即。故构成群。4. 证明 在上题中群的阶是，而，因此，故。注：表示小于且与互素的正整数个数。如, 5 子环，环的同态定义 设是一个环，是的非空子集，若对于的代数运算也构成环，则称是的一个子环。若是整环、除环、域，对的运算也构成整环、除环、域，则称是的子整环、子除环、子域。设环的非空

18、子集，则是子环，有。是子除环含有非零元，且，有及。子环关于加法是环加群的子加群，所以子环的零元就是环的零元，故所有的子环都有一个公共元素零元。例1（P98） 每个环都有两个子环，即与0，这两个子环叫做平凡子环。例2（P98） 集合是环的交换子环，这个交换子环叫做环的中心。（习题1）注;1非交还环的子环可能是交还环。如，例2。2一般环的子环可能是整环、除环或域。3有单位元环的子环未必有单位元。如，整数环是有单位元的环，但它的子环就没有单位元。设是一个环，是一个非空集合，有两个代数运算：加法与乘法。由第一章8定理1、定理2及第二章4定理1可得下面定理。定理1 若存在一个到的满射，使得与对于一对加法

19、及一对乘法来说都同态，那么也是一个环。事实上，记的两个运算为：+与，的两个运算为：与，是到的满射，且对于+与以及与同态。则由第二章4定理1知关于加法构成加群，由第一章8定理1、定理2知适合结合律，对适合两个分配律，故构成环。同群一样，若说两个环与同态（同构），意思永远是存在一个到的满射（一一映射），使得与对于加法与乘法来说都同态（同构）。定理2 设和是两个环，是到的同态满射，则（1）；（2）；（3）当是交换环时，也是交换环；（4）当有单位元1时，也有单位元。注：同态满射不保持零因子这一性质，即当无零因子时，可能有零因子。反之，当无零因子时， 可能有零因子。例3（P98）：没有零因子时，与同态的

20、可以有。例4（P99）：有零因子时，与同态的可以没有。当与之间有一个同构映射时，这两个环的代数性质就没有什么区别了。定理3 设与是两个环，且，则是整环、除环、域是整环、除环、域。引理 设在集合与之间存在一个双射，且有加法和乘法，则可以替规定加法和乘法，使得与对于一对加法和一对乘法来说都同构。证明 ，存在唯一，使得，。规定则这样规定的法则是的加法与乘法。因为对，可找到唯一，从而找到唯一的以及唯一的。显然，对于一对加法和一对乘法都是同构映射。定理4 设是环的一个子环，另一个环没有共同元素，并且。则存在一个与同构的环，而且是子环。设是与间的同构映射，令，规定则 且由唯一确定，所以是到的映射。，若，则

21、存在，使得，从而有。若，则，于是，取，有，所以是满射。，当时，1）若，则，从而。2）若，则。3）若，则。如果，则但，于是与已知矛盾，所以，即。4）若，则同样有。由此可见，是单射。由引理，可以替规定如下的加法和乘法：使得。由的构造知，。原来有加法和乘法而且构成一个环，但还不能说就是的子环，因为是的子环的意思是：对的代数运算来说构成一个环，所以还需要证明的运算与的运算是一致的。由的运算定义可知，存在，使得，于是（这里是的加法）。因为是子环，所以，故这说明了的加法与的加法一致，同理可证的乘法与的乘法一致，所以是的子环。P101、3. 证明 （1）因为，所以是的子域。（2）因为，但，所以是的真子域。（

22、3）设是的真子域，则存在，所以，于是有，从而有。若，则存在，于是，从而有，由此可得，所以，这与是的真子域矛盾，因此。故是的唯一真子域。P101、4.证明 设是的一个自同构，则必有，于是（是非零整数），从而，因此（是有理数）。由，得。因此，的自同构只可能是：或易证，这两个的确是的自同构。故只有两个自同构。6 多项式环一、多项式设是有单位元的交还环，是的子环，且的单位元。取，则是的一个元素。定义1 中形如的元素，叫做上的多项式，多项式的系数。记则是的非空子集，且对任意不妨设，有其中。其中由此可见，对的加法和乘法封闭。又因为所以是的子环。定义2 称为上的多项式环。1。2若是的子环，且则即，所以是的包

23、含和的最小子环。3，当不全为零时，未必有例如，时，取，则多项式。二、未定元多项式（一元多项式）定义3 设，若不存在不全为零的元素使得则称是的一个未定元。1当是的一个未定元时，若则因为是未定元，所以即。由此可见，上未定元的多项式只能用一种方法写成。2一般地，未必有上未定元。如P103例题：3定理1 若是有单位元交还环，则一定存在上未定元。注：本定理是说，一定存在一个以为子环的环，使含有上未定元。证明（略）4上未定元的多项式简称为一元多项式，记作，而称为上多项式环。 由定理1知，有单位元交还环上必存在一元多项式环。7 理想前面我们介绍了子环的概念，在这一节里我们要讨论一种特别重要的子环，就是理想子

24、环，这种子环在环论里的地位同不变子群在群论里的地位类似。定义 设是环的一个非空子集，若（1）；（2）。则称是的一个理想子环，简称理想。注：由（1）知：理想是子加群。有（2）知：理想对乘法封闭。由、知：理想是子环。由（2）知：理想所适合的条件比子环的条件要强一点，所以子环未必是理想。每个环都有两个理想：零理想与单位理想。这两个理想也叫做平凡理想，其它理想叫做非平凡理想。定理1 除环只有平凡理想。证明 设是除环的一个理想，若，则存在，于是存在。由理想的定义得，从而，有，因而，又，故是单位理想，因此只有平凡理想。由此可见，在除环、域中讨论理想是没有意义的。例1（P111）是的理想。例2（P111）P

25、1113、4. 证明 设是环的两个理想，则有，所以，因此。，有（1）由，可得，从而。（2）由，可得。综合（1）、（2）可知是的理想。此题的结论可推广到任意多个理想，即若是的一族理想，则是的理想。现在设是环的一个非空子集，令则（因为），于是是的理想，而且它是包含的最小理想（因为每个包含的理想必属于，于是）。我们把这个包含的最小理想叫做由生成的理想，记作。当时，记，叫做由生成的主理想。关于主理想有下面结论：事实上：等式右边集合中的任意两个元素的差以及与中元素的乘积仍在这个集合中，因此它是的一个理想。因为是理想，所以从而等式右边集合，又因为是包含的最小理想，所以=右边。当是交换环时，。当有单位元时，

26、。当是有单位元的交换环时，。这样，例1中的理想是主理想。设是的两个非空子集，定义称为与的和。当是的理想时，也是的理想。事实上，因为，所以是的非空子集。，有，于是，从而有故是的理想。当时，。事实上，是的理想；因为，所以，于是有，从而。因为，所以，从而故。今后记，叫做由生成的理想。例3（P113） 若是主理想，则有，使得，于是由，有，从而是零次多项式，即，因而，所以是一次多项式，即，因此，故。这样就有，但，产生矛盾，所以不是主理想。P113、3.证明 因为，所以，因而的的理想含有，因此是主理想。注：若有单位元环的理想含有单位元1，那么一定有。P113、5.解 。若是的一个理想，则一定是加群的一个子

27、群，但加群是循环群，所以它的子群也是循环群，因此的理想只能是下列形式的集合：，易证，都是的理想。P113、1.证明 ，有所以是的理想。P113、2.证明 由是的理想，可知，从而，于是，又显然有，故。另证 因为互素，所以存在，使得由，得，于是，故。8 剩余类环，同态与理想设是一个环，是的一个理想，于是构成的一个子加群，从而是的不变子群，因此有商集由群论知识可知，有一个加法 （*）且关于上述加法构成一个加群（商群）。再定义：，则当，时，有，从而于是，所以（*）是的代数运算，叫做乘法。令，则显然，且当时，有，于是有，即，故是到的映射。，存在，使得，所以是满射。因为所以是到的同态满射。于是有定理1 若

28、是环的一个理想，则关于商集的加法与乘法构成一个环，这个环叫做的模剩余类环（商环）。定理2（环同态基本定理） 设是两个环，是到的同态满射，则（1）是的理想；（2）。证明 （1）因为，所以，于是是的非空子集。，则，于是所以，故是的理想。（2）令，则，且当时，有，于是，从而，即，所以，故是到的映射。，由满射，存在，使得，从而有，使得，所以是满射。如果，则有，于是有，从而，因为，所以有，故是单射。因为所以是到的同构映射，故。例 。一方面，有，即，所以，于是，从而。另一方面，有，从而有于是。所以，故即模剩余类环就是模的商环。定理3 设是两个环，是到的同态满射，则（1）是的子环 是的子环；（2）是的理想

29、是的理想；（3）是的子环 是的子环；（4）是的理想 是的理想。9 最大理想定义 设是一个环，是的一个理想，。若除了和之外，没有包含的理想，则称是的一个最大理想（极大理想）。显然，的理想是最大理想当的理想适合条件时，必有或。例1（P117）: 是的最大理想是素数。证明 （）若不是最大理想，则存在理想，使得，所以存在但，于是，从而，因此存在，使得。由得，由此得与矛盾，故是最大理想。（）若不是素数，则，从而，于是。因为（否则，有使得，这与矛盾），且（否则，由可得，从而有，这与已知矛盾），所以有，这与已知是的最大理想矛盾，所以是素数。引理1 设是环的理想，则商环只有平凡理想是最大理想。证明 设，则（1

30、），且当时，所以是到的映射。（2），存在使得，所以是到的满射。（3），有所以是到的同态满射，这个同态满射也叫做自然同态。（）因为是的最大理想，所以是的理想。若是的非零理想，则是的理想。由于，所以，有，于是，故。又因为，所以存在，使得，于是存在，使得，从而，否则，产生矛盾。所以，由是最大理想，得，因此，故只有平凡理想。()若不是的最大理想，则存在的理想，使得且，那么是的理想。1若，则，有，所以有，从而有，于是，产生矛盾，所以。2若，则，有，于是存在，使得，从而，由此可得，因此有，于是，产生矛盾，所以。由1、2知是的非平凡理想，这与已知只有平凡理想矛盾，所以是的最大理想。引理2 若有单位元1的交还环只有平凡理想，则一定是一个域。证明 ，则由条件有或，因为，所以，于是，从而存在，使得，因此是的逆元，由此可知，的每一个非零元都有逆元，故是一个域。定理 设是一个有单位元的交还环，是的一个理想，则是一个域是的一个最大理想。-