江苏专版2022年高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第七节对数与对数函数学案理含解析

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1、江苏专版2022年高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数第七节对数与对数函数学案理含解析1对数概念如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式性质对数式与指数式的互化：axNxlogaNloga10，logaa1，alogaN运算法则loga(MN)logaMlogaNa0，且a1，M0，N0logalogaMlogaNlogaMnnlogaM(nR)换底公式换底公式：logab(a0，且a1，c0，且c1，b0)2.对数函数的图象与性质ylogaxa10a1图象性质定义域为(0，)值域为R过定点(1

2、,0)，即x时，y当x1时，y0；当0x1时，y0当0x1时，y0当x1时，y0；在区间(0，)上是函数在区间(0，)上是函数3反函数指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称小题体验1已知a0，且a1，函数yax与yloga(x)的图象可能是_(填序号)答案：2函数f(x)loga(x2)2(a0，且a1)的图象必过定点_答案：(1，2)3函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_答案：4(1)2log3log331log32_；(2)4(lg 2lg 5)_.答案：(1)5(2)11在运算性质logaMlogaM中，要特别注意

3、条件，在没有M0的条件下应为logaMloga|M|(N*，且为偶数)2解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围小题纠偏1函数y的定义域为_答案：2函数f(x)log(x1)(2x1)的单调递增区间是_答案：3已知函数yloga(2ax)(a0，且a1)在0,1上为减函数，则a的取值范围为_解析：因为a0，所以g(x)2ax为减函数，即任取x1，x20,1，且x1x2，有g(x1)g(x2)，又logag(x1)logag(x2)，所以a1.而又因为g(x)2ax在0,1恒大于0，所以2a0，所以a2，综上，1a2.答案：(1,2)题组练

4、透1计算：(1)4log23_.(2)log225log34log59_.解析：(1)4log2322log232log299(2)原式8.答案：(1)9(2)82计算100_.解析：原式(lg 22lg 52)100lg 10lg 1021021020.答案：203.lglglg_.解析：lg lglg(5lg 22lg 7)3lg 2(lg 52lg 7)(lg 2lg 5).答案：谨记通法对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；(2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用典例引领1(20

5、18苏北三市三模)如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y13logax，y22logax和y3logax(a1)的图象上，则实数a的值为_解析：设C(x0，logax0)，则2logaxBlogax0，即 xx0，解得xB，故xCxBx02，解得 x04，即B(2,2loga2)，A(2,3loga2)，由AB2，可得3loga22loga22，解得a.答案：2若不等式logax(x1)2恰有三个整数解，则a的取值范围为_解析：由不等式logax(x1)2恰有三个整数解，得a1.在同一直角坐标系中画出ylogax(a1)与y(x1)2的图象，可知不等式的

6、整数解集为2,3,4，则应满足解得a.答案：，)由题悟法研究对数型函数图象的思路(1)研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到特别地，要注意底数a1或0a1这两种不同情况(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解即时应用(2018常州一中模拟)设f(x)|lg x|，a，b为实数，且0ab.(1)若a，b满足f(a)f(b)，求证：ab1；(2)在(1)的条件下，求证：由关系式f(b)2f所得到的关于b的方程g(b)0，存在b0(3,4)，使g(b0)0.证明：(1)结合函数图象，由f(a)f(b)可判断a(0,

7、1)，b(1， )，从而lg alg b，即lg ab0.故ab1.(2)因为0ab，所以1.由已知可得b2，即4ba2b22ab，得b224b0，g(b)b224b，因为g(3)0，g(4)0，根据零点存在性定理可知，函数g(b)在(3,4)内一定存在零点，即存在b0(3,4)，使g(b0)0.锁定考向高考对对数函数的性质及其应用的考查，多以填空题的形式考查，难度低、中、高档都有常见的命题角度有：(1)比较对数值的大小；(2)简单的对数不等式；(3)对数函数性质的综合问题 题点全练角度一：比较对数值的大小1已知alog29log2，b1log2，clog2，则a，b，c的大小关系为_(用“”

8、表示)解析：alog29log2log23，b1log2log22，clog2log2，因为函数ylog2x是增函数，且23，所以bac.答案：bac角度二：简单的对数不等式2(2018启东联考)已知一元二次不等式f(x)0的解集为(，1)(2，)，则 f(lg x)0的解集为_解析：因为一元二次不等式f(x)0的解集为(，1)(2，)，所以一元二次不等式f(x)0的解集为(1,2)，由f(lg x)0可得1lg x2，从而解得10x100，所以不等式的解集为(10,100)答案：(10,100)角度三：对数函数性质的综合问题3(2019盐城中学第一次检测)已知函数f(x)lg(2x)lg(2

9、x)(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；(2)记函数g(x)10f(x)3x，求函数g(x)的值域；(3)若不等式f(x)m有解，求实数m的取值范围解：(1)函数f(x)lg(2x)lg(2x)，解得2x2.函数f(x)的定义域为(2,2)f(x)lg(2x)lg(2x)f(x)，f(x)是偶函数(2)f(x)lg(2x)lg(2x)lg(4x2)，g(x)10f(x)3xx23x42(2x2)，g(x)maxg，g(x)ming(2)6.函数g(x)的值域是.(3)不等式f(x)m有解，mf(x)max，令t4x2，由于2x2，0t4，mlg 4.实数m的取值范围为(，

10、lg 4)通法在握1解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤2比较对数值大小的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较演练冲关1(2019苏州模拟)已知函数f(x)logax2a|x|(a0，且a1)，若f(3)f(4)，则不等式f(x23x)f(4)的解集为_解析：易知函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，f(x)logax2a|x|f(x)，f(x)在定义域上为偶函数，f(3)f(3)f(3)f(4)

11、，f(3)f(4)，a1，f(x)在(0，)上单调递增故不等式f(x23x)f(4)满足解得1x4，且x0，x3.故不等式f(x23x)f(4)的解集为(1,0)(0,3)(3,4)答案：(1,0)(0,3)(3,4)2已知函数f(x)log4(ax22x3)(1)若f(1)1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由解：(1)因为f(1)1，所以log4(a5)1，因此a54，a1，这时f(x)log4(x22x3)由x22x30，得1x3，函数f(x)的定义域为(1,3)令g(x)x22x3，则g(x)在(1,1)上递增，在

12、(1,3)上递减又ylog4x在(0，)上递增，所以f(x)的单调递增区间是(1,1)，递减区间是(1,3)(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，则h(x)ax22x3应有最小值1，因此应有解得a.故存在实数a，使f(x)的最小值为0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2018淮安调研)函数f(x)log2(3x1)的定义域为_解析：由3x10，解得x，所以函数f(x)的定义域为.答案：2函数f(x)log3(x22x10)的值域为_解析：令tx22x10(x1)299，故函数f(x)可化为ylog3t，t9，此函数是一个增函数，其最小值为log392，故f(x)的值域为2，)答案：2

13、，)3计算log23log34()log34_.解析：log23 log34()323log32224.答案：44(2019长沙调研)已知函数yloga(x3)1(a0，a1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)3xb的图象上，则f(log32)_.解析：函数yloga(x3)1(a0，a1)的图象恒过定点A(2，1)，将x2，y1代入f(x)3xb，得32b1，b，f(x)3x，则f(log32)3log322.答案：5若函数f(x)(a0，且a1)的值域是4，)，则实数a的取值范围是_解析：当x2时，yx64.因为f(x)的值域为4，)，所以当a1时，3logax3loga24，所以l

14、oga21，所以1a2；当0a1时，3logax3loga2，不合题意故a(1,2答案：(1,26(2018镇江期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)1log2x，则不等式f(x)0的解集是_解析：当x0时，f(x)f(x)log2(x)1，f(x)0，即log2(x)10，解得2x0；当x0时，f(x)1log2x，f(x)0，即1log2x0，解得x2，综上，不等式f(x)0的解集是(2,0)(2，)答案：(2,0)(2，)二保高考，全练题型做到高考达标1(2019镇江中学调研)函数ylog2xlog2(4x)的值域为_解析：由题意知，x0且4x0，f(x)的定义域

15、是(0,4)函数f(x)log2xlog2(4x)log2x(4x)，0x(4x)24，当且仅当x2时等号成立log2x(4x)2，函数ylog2xlog2(4x)的值域为(，2答案：(，22(2018镇江中学学情调研)已知函数f(x)lg的定义域是，则实数a的值为_解析：因为函数f(x)lg的定义域是，所以当x时，10，即1，所以a2x，所以xlog2a.令log2a，得a2，所以实数a的值为.答案：3若函数f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上递减，则a的取值范围为_解析：令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为xa，要使函数在 (，1上递减，则有即解得1a2，即a1

16、,2)答案：1,2)4(2019连云港模拟)已知函数f(x)lg，若f(a)，则f(a)_.解析：因为f(x)lg的定义域为1x1，所以f(x)lglgf(x)，所以f(x)为奇函数，所以f(a)f(a).答案：5函数f(x)lg的定义域为_解析：由得故函数定义域为(2,3)(3,4答案：(2,3)(3,46(2018苏州调研)若函数f(x)(a0，且a1)的值域为6，)，则实数a的取值范围是_解析：当x2时，f(x)6，)，所以当x2时，f(x)的取值集合A6，)当0a1时，A，不符合题意；当a1时，A(loga25，)，若A6，)，则有loga256，解得1a2.答案：(1,27函数f(x

17、)log2log(2x)的最小值为_解析：依题意得f(x)log2x(22log2x)(log2x)2log2x2，当且仅当log2x，即x时等号成立，因此函数f(x)的最小值为.答案：8设函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是_解析：由f(a)f(a)得或即或解得a1或1a0.答案：(1,0)(1，)9已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)0，当x0时，f(x)logx.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)2.解：(1)当x0时，x0，则f(x)log (x)因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)所以函数f(x)的解析式为f(x)(2)因为f

18、(4)log42，f(x)是偶函数，所以不等式f(x21)2可化为f(|x21|)f(4)又因为函数f(x)在(0，)上是减函数，所以|x21|4，解得x，即不等式的解集为(，)10(2019如东上学期第一次阶段检测)已知函数f(x)loga(x1)loga(3x)(a0且a1)，且f(1)2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)若不等式f(x)c恒成立，求实数c的取值范围解：(1)因为f(1)2，所以2loga22，故a2，所以f(x)log2(1x)log2(3x)，要使函数f(x)有意义，需有解得1x3，所以f(x)的定义域为(1,3)(2)由(1)知，f(x)log2(1x)log

19、2(3x)log2(1x)(3x)log2(x22x3)log2(x1)24，故当x1时，f(x)有最大值2，所以c的取值范围是2，)三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2019南京五校联考)已知函数f(x)x2ex(x0)与g(x)x2ln(xa)，若函数f(x)图象上存在点P与函数g(x)图象上的点Q关于y轴对称，则a的取值范围是_解析：设点P(x0，y0)(x00)，则点P关于y轴的对称点Q(x0，y0)在函数g(x)的图象上，所以消去y0，可得xe x0(x0)2ln(x0a)，所以e x0ln(x0a)(x00)令m(x)ex(x0)，n(x)ln(ax)(x0)，问题转化为函数m(x

20、)与函数n(x)的图象在x0时有交点在平面直角坐标系中分别作出函数m(x)与函数n(x)的图象如图所示当n(x)ln(ax)的图象过点时，a.由图可知，当a时，函数m(x)与函数n(x)的图象在x0时有交点故a的取值范围为(，)答案：(，)2(2018昆山测试)已知函数f(x)lg(kR)(1)当k0时，求函数f(x)的值域；(2)当k0时，求函数f(x)的定义域；(3)若函数f(x)在区间10，)上是单调增函数，求实数k的取值范围解：(1)当k0时，f(x)lg ，定义域为(，1)因为函数y(x1)的值域为(0，)，所以f(x)lg 的值域为R.(2)因为k0，所以关于x的不等式0(x1)(

21、kx1)0(x1)0.(*)若0k1，则1，不等式(*)的解为x1或x；若k1，则不等式(*)即(x1)20，其解为x1；若k1，则1，不等式(*)的解为x或x1.综上，当0k1时，函数f(x)的定义域为(，1)；当k1时，函数f(x)的定义域为(1，)(3)令g(x)，则f(x)lg g(x)因为函数f(x)在10，)上是单调增函数，且对数的底数101，所以当x10，)时，g(x)0，且函数g(x)在10，)上是单调增函数而g(x)k，若k10，则函数g(x)在10，)上不是单调增函数；若k10，则函数g(x)在10，)上是单调增函数所以k1.因为函数g(x)在10，)上是单调增函数，所以要使当x10，)时，g(x)0，必须g(10)0，即0，解得k.综合知，实数k的取值范围是.