高中数学解不等式方法+练习

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1、且M叵高考要求解不等式不等 式要求 层次重难点一元二次不 等式C解一元二次不等式目HU髭例题精讲 那板块一：解一 （一） 知识内容1.含有一个未知数，且未知数的最高次数为 2的 整式不等式，叫做一元二次不等式.一元二次不等式的解集，一元二次方程的根一元二次方程2,cax bx c 0(a 0)的根有两相异实根xi , “ b Jb2 4ac2a(x x2)有两相 等实根 bxi x22a没有实 根一元 二次不等 式的 解集2,cax bx c 0(a 0)x|x x1或x x2xx R,且bx2a实数集R2ax bx c 0(a 0)x|x1x x2有关含有参数的一元二次不等式问 题，若能把不

2、等式转化成二次函数或 二次方程，通过根的判别式或数形结 合思想，可使问题得到顺利解决.其 方法大致有：用一元二次方程根的 判别式，参数大于最大值或小于最 小值，变更主元利用函数与方程的 思想求解.(二)主要方法1 .解一元二次不等式通常先将不等式化为ax2 bx c 0或ax2 bx c 0 （a 0）的形式，然后求出对应 方程的根（若有根的话），再写出不等式的解: 大于0时两根之外，小于0时两根之间；2 .分式不等式主要是转化为等价的一元一次、 一元二次或者高次不等式来处理；3 .高次不等式主要利用“序轴标根法”解.（三）典例分析：1.二次不等式与分式不等式求解【例1】不等式=1的解集是x

3、2)C .x 3 x 3 或 x 1 B.x|1WxW3D .x| x 1I变式】不等式看的解集是()(x 1)A3,-B,1,3C-,1 U 1 ,3八222D幻 U 1,3一22.含绝对值的不等式问题【例2】已知n N ,则不等式储2 0.01的解集为（）A . n |n 199, n NB.n|n 200, n NC. n|n201, n ND.n|n202,I例3】不等式- 1的解集为（）X 1A. x |0 x 1 U x|x 1B. x |0 x 1C x| 1 x 0D x|x 0【变式】关于x的不等式x 1 lx 2- a 1的解集为空集，则 实数a的取值范围是.【例4】若不等

4、式x 1a 2 1对一切非零实数x均成立 x/则实数a的最大值是.【例5】若不等式|3x b 4的解集中的整数有且仅有1,2,3, 则b的取值范围为 .3.含参数不等式问题【例6】若关于x的不等式2x2 8x 4 a 0在1 x 4内有解，则实数a的取值范围是（）A . a 4B . a 4C . a 12D. a 12【变式】【例7】【例8】例9 【例10 已知a 0 ,则不等式x2 2ax 3a20的解集 为.若不等式8x 9, 7和不等式ax2 bx 2 0的解集相 同，贝1 a b .若不等式ax2 x 2 0的解集为R ,则a的范围是（ ）A. a 0B. a C. a （D. a

5、0若关于x的不等式ax b 0的解集是（，1）,则关于x的不等式40的解集为（）x 2A .,1 U 2,B （1,2）C（1,2）D .，1 U 2,0 b 1 a,若关于x的不等式（x b）2（ax）2的解集中的整数恰有3个，则（）A.1 a 0B ,0 a 1C .1 a 3D .3 a 6要使满足关于x的不等式2x2 9x a 0（解集非空） 的每一个x至少满足不等式x2 4x 3 0和x2 6x 8 0中的一个则实数a的取值范围是；已知不等式ax。bx c 0的解集是xl x ，其中1,则不等式a ax2 bx c ex2 bx a 0 的解集是 .4 .解不等式与分类讨论【例11】

6、设m R,解关于x的不等式m2x2 2mx 3 0 .【京】 解关于x的不等式m 3x 1 x 1 0(m R).【点评】解含参数的不等式，进行讨论时要注意对所 含字母的分类要做到不重不漏.【例12】求不等式ax2 2(a 1)x 4 0的解集.【例13解关于x的不等式a(x 1)vv 1(a 1)【变式】解关于x的不等式x2 (a a2)x a3 0 .【例14】解不等式/2m 1 x 4x K 0I点评】对于二次项系数也含有参数的一元二次不等 式，首先应判定二次项系数是否为零，分别 加以讨论，然后在二次项系数不为零的条件 下，求出判别式 0的零点，分类进行讨论5 .与二次方程或可化为二次方

7、程的解的问题结合口 )陋关于x的方程ax2 2x 1 0至少有一个正的实根，则 a的取值范围是（）A. a0B.1 a 1【例16】已知关于x的方程（m 3）x2 4mx 2m 1 0的两根异号, 且负根的绝对值比正根大，那么实数m的取值 范围是（）A. 3 m 0B. 0 m 3C. m 3 或 m 0D . m 0 或 m 3【例17】有如下几个命题：如果”x2是方程ax2 bx c 0的两个实根且x, xz,那么不等式ax2 bx c 0的解集为x|x x x2；当b2 4ac 0时，二次不等式ax2 bx c 0的解集为Jaw 0与不等式（x a）（x b尸0的解集相同； x bx 3

8、与/ 2x 3（x 1）的解集相同. x I其中正确命题的个数是（）A3B2C1D. 0【例18若关于x的方程9 值范围.(4 a)3x 4 0有解，求实数a的取【例19】已知a R,若关于x的方程x2 x a |a 0有实根， 则a的取值范围是.6.恒成立问题【例2。】若不等式(a 2)x2 2(a 2)x 4 0对x R恒成立,则a的取 值范围是.【变式】f(x) ax2 ax 1在R上恒满足f(x) 0 ,则a的取值范围是 ()A. a0B. a 4C4 a 0D .4 a 0对一切x 0,：成立，则a的最小 值为（）A.。B. 2C. |D. 3不等式|x 3| |x 1性a2 3a对

9、任意实数x恒成立,则 实数a的取值范围为（）A.,1 U 4,B,2 U 5,C.1, 2D.，1 U 2,【变式】对任意a 1,1）函数 f （x） x2 （a 4）x 4 2a的值恒大于 零，则x的取值范围为.【例22】若不等式皿1在x 1,2时恒成立，试求a的取 lg(a x),值范围.【点评】将参数a从不等式 詈1中分离出来是解决问 lg( a x)题的关键.【例23若x, 1 , 1 3x a a2 9x 0恒成立，求实数a的取值范围.【例24】设fxx2 2ax2)当x 1, 时)都有f x A a恒成立,求a的取值范围.【例25】设对所有实数x.不等式22a a 12xlog 2

10、 log22 0a 1 4a恒成立，求a的取值范围.【例26 已知不等式a，4x22, a对任意实数恒成立，求 实数a的取值范围.【例27 已知关于x的不等式x2 x t 0对x R恒成立，则t的 取值范围是【例28 如果|x 1| |x 9| a对任意实数x恒成立,则a的取值 范围是（）A . a|a 8B. a|a 8C.a|a8D.a|aw8【例29】在R上定义运算：xyx(1y).若不等式(x a) (x a) 1对任意实数x成立，则()A1 a 1B. 0 a 2 C2a；D.【例30 设不等式x2 2ax a 2W 0的解集为M)如果M 1,4 )求 实数a的取值范围.【点评】若将

11、本题改为：1,4 M,求a的取值范围，则本 题等价于：当x 1,4时，x2 2ax a 2=0恒成立，求a的取值范围. 可以通过讨论对应二次函数的对称轴，或者 在不等式中将a解出，通过求出对应的代数式 的取值范围解决此问题.仅用第二种方法略解如下：x2 2ax a 2 (1 2x)a x2 2W 0 ,(2x 1)a x2 2 ,x 1,4 ,. 2xQ1 0,从而要满足题意，只需ak14,对x 1，用恒成立即可.2x 1 /故要求x在x 1,4日寸的最大值 令t 2x 1 1,72x 112 o贝U l iL_)_ t2 2t 9 1 29)2x 1 t4t 2 4t)由对勾函数的单调性知：

12、上式在 t 1或t 7时取 到最大值.比较知：当t 1时，上式有最大值3, 故当a3时,有x2 2ax a 2w 0对x 1,4恒成立.即a的取值范围为3,).修板块二：解不(一)典例分析：1 .利用函数单调性解不等式【例31】 解不等式：10gx1(6 x x2) 2.【京】 解关于x的不等式：logx 3(x2 3X 4) 0.2 .解不等式与函数综合问题【例32】已知函数f(x)x3 ax2 b(a,b R)若函数f(x)图象上任意一点处的切线的斜率小于1)求证：石a列若x 0,1 ,函数y f(x)图象上任意一点处的切 线的斜率为k,试讨论P-1的充要条件.I备注】为了缩小讨论范围，本

13、题可以一开始将x 1代入|3x2 2axV1中，解得1VaV2,再进行讨论.本题 讨论过程中的充要条件的得出结合二次函数 的图象会比较容易理解，配图略.【例33求函数f(x) 12x 3x2 lg(15x2 2x 1)的定义域.(福建省上杭二中08 09学年单元质量检查必修5数学试题)如果关于x的不等式2kx, kx q 0对一切实数x 8都成立，则 k 的取值范围 是.(福建省上杭二中08-09学年单元质量检查必修5数学试题)设 f(x) 3ax 2a 1 , 右存在 % ( 1,1) ) 使 f(x。)0)则实数 a的取值范围是()A.1 a 1B. a 1或 a 1C. a 155D.a

14、 15【例34 已知函数 f(x) x 1g(Jx2 1 x) 若不等式 f(m 3x) f(3x 9x 2) 0 对任意x R恒成立，求实数m的取值范围.【例35】已知不等式n力L 2n深gaa 1 |对于一切大于1的自然数n都成立，试求实数a的取值范围.【例36】已知次函数f(x) ax2 x ,如果x 0, 1日寸| f (x)|w 1)求 实数a的取值范围.【点评】在闭区间0, 1上使|f(x)g 1分离出a,然后讨论关 于1的二次函数在1，)上的单调性.【例37】设二次函数当x R时,xf x ax2 bx c a, b, c R , a 0:f x 4 f 2 x , _HL f

15、x x *当 x 0,2 时，f X 1 3x 2ax a 10 .对应的一元二次方程3x2 2ax a, 1 0的判别式4（3 2a2） :当0,即a ,豕当时，不等式的解集 为（a，）；当。，即a哼呼时，记小根小苦三，大 223根x2海亘， 3当a”,即心咚时，不等式的解集为）；当x2,即生a9时，不等式的解集为区,）； 当a”即a J时，不等式的解集为视即）.综上可得答案.【例39】已知集合Dx1, x2|x10,x20, xx2k(其中k为正常数).设u x1x2 ,求u的取值范围;求证：当k1时不等式 x2 x2 -对任意 x , “x22 kD恒成立的k2的范围.【例40】如果f(

16、x)在某个区间I内满足：对任意的 xi,x2 I ,都有-f(xi) f(x2) f上/ ,则称1f(x)在I上为下凸函数；已知函数 f(x) - alnx.x证明：当a 0时，f(x)在(0,)上为下凸函数；若f (x)为f (x)的导函数，且x -,2时，| f (x) | 1 ,求实数a的取值范围.2【例41在R上定义运算：p q 1P cq b 4bc （ b、c为实常数）.记fi x x2 2c , 3f2 x x 2b , x R .令 f x f1 xf2 x .如果函数f x在x 1处有极值 4 ,试确定b、c的值；3求曲线y f x上斜率为c的切线与该曲线的公共点；令g x f x ,记函数g x在区间 1,1上的最大值为M .若b 1 ,证明对任意的c ,都有M 2 .【例 42】设 f xax2 bx c a 0 ,若 f(0) 1 , f (1) 1 , f( 1) 1 ,试证明：对于任意1x1,有f x W5.4