《江苏省南京市13校2022届高三数学12月联合调研测试试题（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省南京市13校2022届高三数学12月联合调研测试试题（含解析）（18页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、江苏省南京市13校2022届高三数学12月联合调研测试试题（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.全集，集合，则_.【答案】【解析】【分析】根据集合的基本运算，先求出AB，再求其补集即可【详解】全集U1，2，3，4，5，集合A1，3,4，B3，5，AB3，则U（AB）1，2，4，5，故答案为：1，2，4，5【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集的基本运算，属于基础题2.复数（为虚数单位）的模为_.【答案】【解析】【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，再利用模的公式计算即可【详解】复数的模为 故答案为： 【点睛】本题考查了复数代数形式的
2、乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题3.在平面直角坐标系中，已知是双曲线的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 【答案】2【解析】试题分析：由题意，.考点：双曲线的标准方程及其几何性质.4.已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是_.【答案】【解析】【分析】先求出从4瓶饮料中随机抽出2瓶的所有的抽法种数，再求出取出的2瓶不是果汁类饮料的种数，利用对立事件的概率即可求得.【详解】从4瓶饮料中随机抽出2瓶，所有的抽法种数为 6（种），取出的2瓶不是果汁类饮料的种数为 1（种）所以所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为P1 故答案
3、为：【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了对立事件的概率，解答的关键是掌握对立事件的概率和等于1,属于基础题.5.如图程序运行的结果是 【答案】【解析】试题分析：初始条件，；运行第一次，；运行第二次，；运行第三次，满足条件，停止运行，所以输出的，所以答案应填：考点：程序框图6.如图是样本容量为200的频率分布直方图根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在内的频数为 【答案】64【解析】试题分析：样本数据落在内的频率为，所以样本数据落在内的频数为.考点：频率分布直方图.7.设等比数列的前项积为，若，则的值是_.【答案】2【解析】【分析】由P12=32P7，得a8a9a12=32，
4、再利用等比数列的性质，可求a10【详解】等比数列an的前n项积为Pn，且P12=32P7，a1a2a3a12=32a1a2a3a7，即a8a9a12=32，由等比数列的性质，得（a10）5=32，解得a10=2故答案为：2【点睛】本题考查等比数列an的前n项积，考查等比数列的性质，属于基础题8.已知直线、与平面、，则下列命题中正确的是_（填写正确命题对应的序号）. 若，则 若，则若，则 若，则【答案】【解析】【分析】列举反例，利用面面垂直的判定定理，利用面面垂直的性质定理，即可判断【详解】如图所示，设c，lc，mc满足条件，但是与不平行，故不正确；假设，l，ll，lm，则满足条件，但是与不垂直
5、，故不正确；由面面垂直的判定定理，若l，则，故正确；若，n，由面面垂直的性质定理知，mn时，m，故不正确综上可知：只有正确故答案为：【点睛】熟练掌握线面、面面垂直与平行的判定与性质定理是解题的关键否定一个命题，只要举出一个反例即可，属于中档题9.已知，则_.【答案】【解析】【分析】由二倍角公式和同角三角函数基本关系可得cos2和sin2，代入sin（2）sin2cos2，计算可得【详解】cos（+） ，且（0，），+（，），sin（+），sin2cos（2+）12 ，cos2sin2（+）2sin（+）cos（+），sin（2）sin2coscos2sin，故答案为：【点睛】本题考查两角和与差
6、的三角函数公式，涉及二倍角公式和同角三角函数基本关系，属于中档题10.在等腰三角形中，底边，若，则_.【答案】【解析】【分析】由 ，得D是AC的中点，利用已知条件求出BA的长度，求出cosB，即可的值【详解】因为D是AC的中点 ，且所以 ，因为在等腰三角形中，底边，得AB= 所以cosB = 且所以 = 2 52 故答案为： 【点睛】本题考查了向量加减法的几何中的应用和平面向量的数量积的应用，也考查计算能力，属于基础题.11.已知，若过轴上的一点可以作一直线与相交于，两点，且满足，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】由圆的方程，可得M（1，4）且半径为2，由PABA，利用圆的几何性质得动
7、点P到圆M的最近的点的距离小于或等于4，由此建立关于a的不等式，解得即可【详解】圆M：（x1）2+（y4）24，圆心为M（1，4），半径r2，直径为4，故弦长BA的范围是（0，4又PABA，动点P到圆M的最近的点的距离小于或等于4，圆与x轴相离，可得P到圆上的点的距离恒大于0P到M的距离小于或等于6，根据两点间的距离公式有： ，解之得12a1+2，即a的取值范围为12，1+2故答案为：12，1+2【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，两点间的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，转化为数形结合的数学思想，属于中档题12.如图,在三棱锥中,、两两垂直,且.设是底面内一点,定义,其中、分别是三棱锥
8、、 三棱锥、三棱锥的体积.若,且恒成立,则正实数的最小值为_.【答案】1【解析】PA、PB、PC两两垂直，且PA=3PB=2，PC=1=+x+y即x+y=则2x+2y=1，又，解得a1正实数a的最小值为113.已知的三边长，成等差数列，且，则实数的取值范围是_.【答案】 .【解析】【分析】由a，b，c成等差数列，设公差为d，则有abd，cb+d，代入已知等式求出b的最大值,由三角形三边关系列出不等式，整理后求出b的范围，即可确定出满足题意b的范围【详解】设公差为d，则有abd，cb+d，代入a2+b2+c263，化简可得3b2+2d263，当d0时，b有最大值为 ，由三角形任意两边之和大于第三
9、边，得到较小的两边之和大于最大边，即a+bc，整理得：b2d，可得：3b2+2（）263，解得：b3 ，则实数b的取值范围是（3，故答案为：（3，【点睛】本题考查了余弦定理，等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题.14.已知函数，若给定非零实数，对于任意实数，总存在非零常数，使得恒成立，则称函数是上的级类周期函数，若函数是上的2级2类周期函数，且当时，又函数.若，使成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由函数f（x）在0，2）上的解析式，可得函数f（x）在0，2）上的最值，结合a级类周期函数的含义，可得f（x）在6，8上的最大值，对于函
10、数g（x），对其求导分析可得g（x）在区间（0，+）上的最小值，将原问题转化为g（x）minf（x）max的问题求解【详解】根据题意，对于函数，当时，可得：当时，有最大值，最小值，当时，函数的图像关于直线对称，则此时有，又由函数是定义在区间内的2级类周期函数，且；则在上，则有，则 ，则函数在区间上的最大值为8，最小值为0；对于函数，有 ，得在上，函数为减函数，在上，函数为增函数，则函数在上，由最小值.若，使成立，必有，即，解可得，即的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查了函数的最值问题，数学转化思想方法，利用了导数求函数的最值，属于中档题二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必
11、要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(1，0)，1，且AOCx，其中O为坐标原点（）若x，设点D为线段OA上的动点，求的最小值和最大值；（）若，向量，(1cosx，sinx2cosx)，求的最小值及对应的x值.【答案】（）（），此时.【解析】试题分析：（） 设（），又所以所以所以当时，最小值为（）由题意得,则因为,所以所以当，即时，取得最大值所以时，取得最小值所以的最小值为，此时.考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量的综合题点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题16
12、.如图，在正三棱柱中，点在棱上，,点分别是的中点.（1）求证：为的中点；（2）求证:平面.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】试题分析：（1）要证为的中点，又AB=AC，即证即可；（）连接，连接交于点，连接，由（）易证，从而问题得证试题解析：（1） 正三棱柱， 平面，又平面， ，又， 平面， 又正三棱柱，平面 平面， ，为的中点 （2） 连接，连接交于点，连接 矩形， 为的中点，又由(1)得为的中点，中， 又点，分别是，的中点，中， ，又平面，平面 平面点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线
13、线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.17.某校在圆心角为直角，半径为的扇形区域内进行野外生存训练.如图所示，在相距的，两个位置分别为300,100名学生，在道路上设置集合地点，要求所有学生沿最短路径到点集合，记所有学生进行的总路程为.（1）设，写出关于的函数表达式；（2）当最小时，集合地点离点多远？【答案】（1），（2）集合地点离出发点的距离为时，总路程最短，其最短总路程为.【解析】【分析】（1）AOD中，由正弦定理求得AD、OD，再计算S300AD+100BD的值；（2）令函数y，求导判断函数单调性与最值，从而求出y的最小值以及对应AD的值和S的最小值【详解】（1）因为在中，所
14、以由正弦定理可知，解得，且，故 ，（2）令，则有，令得记，列表得0极小值可知，当且仅当时，有极小值也是最小值为，当时，此时总路程有最小值.答：当集合点离出发点的距离为时，总路程最短，其最短总路程为.【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数图象与性质的应用问题，是中档题18.如图，、分别为椭圆的焦点，椭圆的右准线与轴交于点，若，且.（）求椭圆的方程；（）过、作互相垂直的两直线分别与椭圆交于、四点，求四边形面积的取值范围.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（I） 先确定A点坐标为（a2，0），利用，可得F2是AF1的中点，由此可求椭圆方程；（II）当直线MN与PQ中有一条与x轴垂直
15、时，四边形PMQN面积；当直线PQ，MN均与x轴不垂直时，设直线PQ、MN的方程与椭圆方程联立，求得|PQ|，|MN|，表示出四边形PMQN面积，再换元，即可求得四边形PMQN面积的取值范围【详解】（）由得，点坐标为；是的中点，椭圆方程为（）当直线与之一与轴垂直时，四边形面积；当直线，均与轴不垂直时，不妨设，联立代入消去得设，则，同理四边形面积令，则，易知是以为变量的增函数所以当，时，综上可知，四边形面积的取值范围为【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系和四边形面积的计算，正确表示四边形的面积是关键，属于中档题.19.已知函数，设.（）若在处取得极值，且，求函数的单调区间；
16、（）若时函数有两个不同的零点、.求的取值范围；求证：.【答案】（1）在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减.（2）（，0）详见解析【解析】试题分析：（1）先确定参数：由可得a=b-3. 由函数极值定义知所以a= -2,b=1 .再根据导函数求单调区间（2）当时，原题转化为函数与直线有两个交点，先研究函数图像，再确定b的取值范围是（，0）.，由题意得,所以，因此须证，构造函数，即可证明试题解析：（1）因为，所以,由可得a=b-3.又因为在处取得极值，所以，所以a= -2,b=1 . 所以，其定义域为（0，+）令得，当（0,1）时，当（1,+），所以函数h（x）在区间（0,1）上单调增
17、；在区间（1,+）上单调减.（2）当时，其定义域为（0，+）.由得，记，则,所以在单调减，在单调增，所以当时取得最小值.又，所以时，而时,所以b的取值范围是（，0）.由题意得,所以,所以，不妨设x1x2,要证, 只需要证.即证，设,则,所以,所以函数在（1，+）上单调增，而，所以即,所以.考点：函数极值，构造函数利用导数证明不等式20.已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为.（1）若数列通项为，求证：；（2）若数列是等差数列，且，求的取值范围；（3）若数列的各项均为正数，且，数列中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列的通项；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解
18、析；（2）；（3）数列中不存在无穷多项依次成等差数列.【解析】【分析】(1)由，得和，再证明，即可满足题意；（2）设的公差为，由，得，又，即，所以d=1，的取值范围；（3）假设数列中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第项为（为常数），由，得到当时，关于的不等式有无穷多个解，推出矛盾，所以不存在.【详解】（1）因为，所以，所以 ，所以，即.（2）设的公差为，因为，所以特别的当时，即，由得 ，整理得，因为上述不等式对一切恒成立，所以必有，解得，又，所以，于是，即，所以，即，所以，因此的取值范围是.（3）由得，所以，即，所以，从而有，又，所以，即，又，所以有，所以，假设数列中存在无穷多项
19、依次成等差数列，不妨设该等差数列的第项为（为常数），则存在，使得，即，设，则即，于是当时，从而有：当时，即，于是当时，关于的不等式有无穷多个解，显然不成立，因此数列中是不存在无穷多项依次成等差数列.【点睛】本题考查的是数列定义的应用和等差数列的性质应用，运用反证法解决存在问题是本题的关键，属于中档题.数学（附加题）【选做题】本题包括21，22，23三小题，请选定其中两题作答，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.选修4-2：矩阵与变换-求曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.【答案】【解析】试题分析：先由矩阵变换得到曲线方程：，再根据曲线形状
20、：菱形，计算其面积：试题解析：设点为曲线上的任一点，在矩阵对应的变换作用下得到的点为，则由， 3分得：即5分所以曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为， 8分所围成的图形为菱形，其面积为 10分考点：矩阵变换22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标，直线的极坐标方程为，试求直线与曲线的交点的极坐标.【答案】【解析】【分析】将两方程化为普通方程，联立，即可求出直线l与曲线C的交点的直角坐标,进而即可得解.【详解】将直线的极坐标方程化直角坐标系方程为将曲线的参数方程化为普通方程可得：由得，解得或，又，所以，所以直线与曲线的交点的直角坐
21、标为.所以直线与曲线的交点的极坐标为.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，普通方程的互化，注意自变量的范围，属于基础题.23.若正数，满足，求的最小值.【答案】.【解析】【分析】由a+2b+4c3，可得（a+1）+2（b+1）+4（c+1）10，由柯西不等式可得的最小值.【详解】因为正数，满足，所以，所以 ，即.当且仅当，时，取最小值.【点睛】本题考查三元柯西不等式及其应用，考查基本的运算能力，属于基础题【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.24.在某次活动中，有5名幸运之星.这5名幸运之星可获得、两种奖品中的一种，并规定：每个人通
22、过抛掷一枚质地均为的骰子决定自己最终获得哪一种奖品（骰子的六个面上的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点），抛掷点数小于3的获得奖品，抛掷点数不小于3的获得奖品.（1）求这5名幸运之星中获得奖品的人数大于获得奖品的人数的概率；（2）设、分别为获得、两种奖品的人数，并记，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】（1）；（2），的分布列见解析.【解析】【分析】首先求出5名幸运之星中，每人获得A奖品的概率和B奖品的概率（1）获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数，得到获得A奖品的人数可能为3，4，5，利用独立重复试验求得概率；（2）由|XY|，可得的可能取值为1，3，5，同样利用独立重复试验求得
23、概率，然后列出频率分布表，代入期望公式求期望【详解】这5名幸运之星中，每人获得奖品的概率为，奖品的概率为.（1）要获得奖品的人数大于获得奖品的人数，则奖品的人数可能为3，4，5，则所求概率为.（2）的可能取值为1，3，5，且，所以的分布列是：135故随机变量的数学期望.【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望的应用，也考查了独立重复试验，属于中档题25.在数学上，常用符号来表示算式，如记=，其中，.（1）若，成等差数列，且，求证： ；（2）若，记，且不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（）由题意求出等差数列的通项公式，然后结合二项式系数的性质证明 ；（）在二项式展开式中分别取x=-1，x=1，求出bn，再借助于二项式系数的性质化简可得，代入不等式，分n为奇数和偶数求得t的取值范围试题解析：（1）设等差数列的通项公式为，其中为公差则 因为，所以 所以 =.注：第（1）问也可以用倒序相加法证明.（酌情给分） （2）令，则令，则，所以 根据已知条件可知， 所以将、代入不等式得，当为偶数时，所以；当为奇数，所以；综上所述，所以实数的取值范围是.考点：数列的求和，二项式系数的性质
江苏省南京市13校2022届高三数学12月联合调研测试试题（含解析）
