运筹学第三排队论PPT学习教案

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1、会计学12第1页/共188页3第2页/共188页4第3页/共188页5排队过程的一般模型排队过程的一般模型第4页/共188页6到达的顾客到达的顾客要求服务内容要求服务内容服务机构服务机构1.不能运转的机器2.修理技工3.病人4.电话呼唤5.文件稿6.提货单7.到达机场上空的飞机8.驶入港口的货船9.上游河水进入水库10.进入我方阵地的敌机修理领取修配零件诊断或动手术通话打字提取存货降落装(卸)货装(卸)放水，调整水位我方高射炮进行射击修理技工发放修配零件的管理员医生(或包括手术台)交换台打字员仓库管理员跑道货码头(泊位)水闸管理员我方高射炮形形色色的排队系统 第5页/共188页7第6页/共18

2、8页8第7页/共188页9例如，到售票处购票的顾客总数可以认为是无限的；上游河水流入水库可以认为顾客总体是无限的例如，某个工厂因故障待修的机床则是有限的。第8页/共188页10第9页/共188页11确定的；例如：物流配送等待的顾客、办理出关手续的顾客、通过路口的车辆的到达都是随机的。第10页/共188页12第11页/共188页13第12页/共188页14第13页/共188页15n第14页/共188页16第15页/共188页17第16页/共188页18第17页/共188页19例如：顾客到饭馆就餐，等了一定时间后不愿再等而自动离去另找饭店用餐。第18页/共188页20第19页/共188页21第20

3、页/共188页22第21页/共188页23服务台的服务台的各种排列各种排列方式方式第22页/共188页24服务台的服务台的各种排列各种排列方式方式第23页/共188页25服务台的服务台的各种排列各种排列方式方式第24页/共188页26服务台的服务台的各种排列各种排列方式方式第25页/共188页27服务台的服务台的各种排列各种排列方式方式第26页/共188页28服务台的服务台的各种排列各种排列方式方式第27页/共188页29第28页/共188页30n第29页/共188页31第30页/共188页32第31页/共188页33时间为负指数分布；有s(s1)个服务台；系统等待空间容量无限(等待制)；顾客

4、源无限，采用先到先服务规则。第32页/共188页34第33页/共188页35第34页/共188页36的顾客数正在服务服务的顾客数在队列中等待顾客数系统中第35页/共188页37Wq，是随机变量，也是顾客最关心的指标，因为顾客通常希望等待时间越短越好。逗留时间等待时间服务时间对这两个指标的研究当然是希望能确定它们的分布，或至少能知道顾客的平均等待时间和平均逗留时间。第36页/共188页38在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。其他一些指标，如在损失制或系统容量有限的情况下，由于顾客被拒绝，而使服务系统受到损失的顾客损失率及服务强度等第37页/共188页39随时间t变化的，所以在时刻t、系统状态

5、为n的概率可以用Pn(t)表示。第38页/共188页40nntlimP (t)= P第39页/共188页41第40页/共188页42态的影响也会消失。因此，本章中将主要讨论与系统所处时刻无关的性质，即统计平衡性质。第41页/共188页43第42页/共188页44第43页/共188页45 k =0=0，1 1，2 2 其中其中 00是常数，则称是常数，则称X 服从参数为服从参数为 的泊松分布。的泊松分布。其均值为其均值为 方差为方差为 ekkPPkk! )(E )(D第44页/共188页46其中其中 00为常数，则称为常数，则称t t服从参数为服从参数为 的指数分布，其分布函数的指数分布，其分布

6、函数F F( (t t) )为为其均值为其均值为 方差为方差为 ttttedtedttftF 1)()( 000)(ttetft 0001)(ttetFt 1)( tE21)( tDv 负指数分布的定义负指数分布的定义第45页/共188页47e, 0( )0, 0tTtftt1 e, 0( )0, 0tTtF tt 1E T 21VarT 1Tv 负指数分布的定义负指数分布的定义第46页/共188页48船舶到达数n频数频率(%)0120.0331430.1182640.1753740.2034710.1955490.1346260.0717190.052840.011920.00510以上以上

7、10.003合计合计3651.000第47页/共188页49iit1iw0, 00,iiiiiiiiitswtswtsw当当相继到达时间间隔相继到达时间间隔等待时间等待时间第48页/共188页50第49页/共188页51顾客编号i到达时刻i服务时间Si到达间隔ti等待时间wi顾客编号i到达时刻i服务时间Si到达间隔ti等待时间wi12345678910111213026111219222636384547495719243312541245173410272230362105650003522232425262728293031323334838688929510110510610911411

8、61171213651322121842324326413521462267520100077第50页/共188页52顾客编号i到达时刻i服务时间Si到达间隔ti等待时间wi顾客编号i到达时刻i服务时间Si到达间隔ti等待时间wi1415161718192021526162657072808121213432913528123000010235363738394041127129130133135139142163524121324332771089第51页/共188页53到达间隔到达间隔/ /分钟分钟次数次数162103846536272819110以上以上1合计合计40服务时间服务时间/

9、/分分钟钟次数次数1102103745546271819以上以上1合计合计41第52页/共188页54分钟) 第53页/共188页55第54页/共188页56, t tt)()()0()()()(tVktPktPkataPk2( ,)()nnP t ttot0,t( )N t(0)t 12( , )nP t t1221,()t ttt(0)n 122121( , )( )( ) (,0)nP t tP N tN tntt n12( ,)nP t ttt1( ,)()P t tttot 0t ()ottt ()( ) ( )(0) ( )PatakPtkPtk第55页/共188页57(0, )(

10、 )nnPtP t, t tt0( ,)1()P t tttot 0,tt0,t, t tt概率概率个数个数概率概率个数个数概率概率个数个数区间区间情况情况0,t, t tt0,tt( )( )( )ABC1230nnnn1230( )( )( )( )( )nnnnP tPtPtPtP t0123n1 ()()tottot nnnnn1( )(1 ()( )()nnP ttotPttot 0,t, t tt第56页/共188页580,tt()nP tt()ot11 ()( )(1 )( )()()( )()( )( )nnnnnnnP ttP ttPttotP ttP totP tPttt

11、即 0t 1( )( )+( ), 1(125)( )0nnnndP tP tPtndtP o 000( )( )(126)( )1dP tP tdtP o ()( )(1 )()()( )()( )nnnnnP ttP ttotP ttP totP ttt 即即 第57页/共188页59(1)( )( )e(127)!0 0,1,2,ntntP tntn( )nP t( )()( )N tN stN s( ) , Var( )(128)E N ttN tt相等！相等！特别地，特别地，t=1时，时，EN(1)= ，因此表表示单位时间平均到达的顾客数示单位时间平均到达的顾客数第58页/共188页

12、60第59页/共188页61当输入过程是泊松流时，由于在单位时间里到达的顾客数是随当输入过程是泊松流时，由于在单位时间里到达的顾客数是随机变量，那么对应的，前后两个顾客到达的时间间隔也就是随机变量，那么对应的，前后两个顾客到达的时间间隔也就是随机变量了，即有的时间间隔长一些，有的时间隔又短一些。机变量了，即有的时间间隔长一些，有的时间隔又短一些。 设设T的分布函数为的分布函数为FT(t)，则，则这个概率也就是在这个概率也就是在0，t)区间内至少有一个顾客到达的概率区间内至少有一个顾客到达的概率。( )TF tP Tt普阿松流与负指数分布关系普阿松流与负指数分布关系第60页/共188页62tte

13、ettP ! 0)()(00第61页/共188页630,t01( )1, 0tP tet 其概率密度函数：其概率密度函数： tTetPtTPtTPtF 1)(1)(1)()(0tTTedttdFtf )()(数学期望为 1E T 表示单位时间内顾客平均到达数。表示单位时间内顾客平均到达数。 1/表示顾客到达的平均间隔时间。表示顾客到达的平均间隔时间。第62页/共188页640, tetv 相继到达时间间隔为负指数分布与到达为泊松相继到达时间间隔为负指数分布与到达为泊松流的等价性流的等价性上述内容还可以用如下表达！上述内容还可以用如下表达！ 对于泊松流，其相继顾客到达时间间隔i，i=1,2,是相

14、互独立同分布的，其分布函数为负指数分布： 0, 00,1)(ttetFti), 2 , 1(i第63页/共188页65第64页/共188页66(12 11)P Tts TsP Tt 第65页/共188页67 例例: :有易碎物品有易碎物品500500件件, ,由甲地运往乙地由甲地运往乙地, ,根据以往统计根据以往统计资料资料, ,在运输过程中易碎物品按普阿松流发生破碎在运输过程中易碎物品按普阿松流发生破碎, ,其破损其破损率为率为0.002,0.002,现求现求:1.:1.破碎破碎3 3件物品的概率件物品的概率;2.;2.破碎少于破碎少于3 3件的件的概率和多于概率和多于3 3件的概率件的概率

15、;3.;3.至少有一件破损的概率至少有一件破损的概率. . 解解: : =0.002500=1 1 1破碎破碎3 3件物品的概率为件物品的概率为: : P(k=3)=( P(k=3)=( 3 3/3/3！)e)e- - =(1=(13 3/3/3！)e)e-1-1=0.0613=0.0613 即物品破碎即物品破碎3 3件的概率为件的概率为6.136.13 2. 2.破碎物品少于破碎物品少于3 3件的概率件的概率: :第66页/共188页68 破碎物品少于破碎物品少于3 3件的概率为件的概率为91.9791.97 破碎物品多于破碎物品多于3 3件的概率为件的概率为: : 02. 098. 01!

16、1330 kkekp 3.3.至少有一件破碎的概率为至少有一件破碎的概率为 PkPk 1=1-(11=1-(1k k/k!)e/k!)e- - =1-(1=1-(10 0/0!)e/0!)e-1-1=0.632=0.632 9197. 021112120 eeknp第67页/共188页69第68页/共188页70 xxxtPxB01)()(第69页/共188页71 ( )1 e, ( )e(12 12)ttvvF tf t 1()Ev第70页/共188页721()( )0(1)!Kttf tetK v爱尔朗分布爱尔朗分布第71页/共188页7312,kv vvk12kTvvv1()( )e,

17、0(12 13)(1)!kktkkktb ttk 211;Var(12 14)E TTk可以证明如下结论。可以证明如下结论。第72页/共188页741()( )e, 0(12 13)(1)!kktkkktb ttk第73页/共188页75)(21kkkTT1()( )0(1)!Kttf tetK 1/ k1/ k表示一个顾客的一个服务台的平均服务时间。表示一个顾客的一个服务台的平均服务时间。第74页/共188页76 例如： 某排队系统有并联的k个服务台，顾客流为泊松流，规定第i, K+i, 2K+i个顾客排入第i号台(i=1,2,K)，则第K台所获得的顾客流，即为爱尔朗输入流，其他各台，从它的

18、第一个顾客到达以后开始所获得的流也为爱尔朗输入流。例如：串联的串联的k k个服务台，个服务台，每台服务时间相互独立，服从相同的负指数分布（每台服务时间相互独立，服从相同的负指数分布（参数参数k k ），那么一顾客走完），那么一顾客走完k k个服务台总共所需要服务时间就服从个服务台总共所需要服务时间就服从k k阶阶ErlangErlang分布。分布。第75页/共188页77第76页/共188页78第77页/共188页79第78页/共188页80 系统中顾客数(队长)的期望值L或Ls； 排队等待的顾客数(排队长)的期望值Lq； 顾客在系统中全部时间(逗留时间)的期望值W或Ws； 顾客排队等待时间的

19、期望值Wq。 排队系统中，由于顾客到达分布和服务时间分布是多种多样的，加之服务台数。顾客源有限无限，排队容量有限无限等的不同组合，就会有不胜枚举的不同排队模型，若对所有排队模型都进行分析与计算，不但十分繁杂而且也没有必要。 下面拟分析几种常见排队系统模型。第79页/共188页81本节讨论输入过程服从普阿松分布过程、服务时间服本节讨论输入过程服从普阿松分布过程、服务时间服从负指数分布单服务台的排队系统。从负指数分布单服务台的排队系统。第80页/共188页82即已知条件：v ：顾客进入系统的平均速度；单位时间到达的顾客数。v ：顾客离开系统的平均速度；单位时间能被服务完成的顾客数。第81页/共18

20、8页83( )nP t第82页/共188页84, t tt()tot 1()tot ()tot 1()tot ()ot第83页/共188页85tttt , t ttnn(D)nn-1(C)nn+1(B)nn(A)离去离去到达到达在时刻在时刻 顾客数顾客数在区间在区间在时刻在时刻t顾顾客数客数情况情况第84页/共188页86第85页/共188页87()nP tt1111()( )(1 )( )( )()()( )()( )( )()( )nnnnnnnnnP ttP tttPttPttotP ttP totPtPtP ttt 0t ( )nP t11( )( )( )()( ) 1,2,(12

21、15)nnnndP tPtPtP tndt( )(1 )(1)nP ttt 1( )(1 )nPttt 1( ) (1)nPttt ( ) nP ttt 所有的高阶所有的高阶无穷小和并无穷小和并tttPtttPtttPttPnnnn)1)()()1)(1)()(1)()1 ()(1tOtttPn第86页/共188页88v当 ，则只有上表中(A)(B)情况，因为在较小的t内不可能发生（D）（到达后即离去），若发生可将t取小即可。且式(A)中无离去的概率为1，即v同理求得 tt , t ttnn(D)nn-1(C)nn+1(B)nn(A)离去离去到达到达在时刻在时刻 顾客数顾客数在区间在区间在时刻

22、在时刻t 顾客数顾客数情况情况( )(1 )(1)nP ttt 1( )(1 )nPttt 1( ) (1)nPttt ( ) nP ttt0n 001()( )(1 )( )(1 )P ttP ttP ttt 001( )( )( )(12 16)dP tP tP tdt 第87页/共188页89( )nP tnP01110(12 17,12 18)()0 1nnnPPPPPn0P1PnP这种系统状态这种系统状态(n)随时间变化的过程就是生灭过程（随时间变化的过程就是生灭过程（Birth and Death Process）。）。 方程方程(12-15)、(12-16) 解是瞬态解，无法应用

23、。解是瞬态解，无法应用。 第88页/共188页9001PP1n 10(/)PP220020()(/) (/)PPPPP；所以 1n 0(/)nnPP101nnP01 1(12 19)(1), 1nnPPn 0000111nnnnppP01110(12 17,12 18)()0 1nnnPPPPPn 第89页/共188页91 系统处于空闲状态的概率：系统处于空闲状态的概率： 10P 系统处于繁忙状态的概率：系统处于繁忙状态的概率： 010P)N(P第90页/共188页92012323423(1)(23)(23), 0 11nsnnnLnPn sL1112(1)1qnnnnnnsLnPnPPL 期

24、期望望 10P第91页/共188页93()( )1 e 0(1220)wF ww ()( )()ewf w 于是，得到于是，得到(3) 在系统中顾客逗留时间的期望值在系统中顾客逗留时间的期望值 (4) 在队列中顾客等待时间的期望值在队列中顾客等待时间的期望值 1sWE W1qsWW 平均逗留时间减平均逗留时间减去平均服务时间去平均服务时间。第92页/共188页94(1) (2) (1221)1(3) (4) sqsqLLWW(1) (2) (1222)1(3) (4) ssqqsqsqLWLWWWLL第93页/共188页95逗留时间的期望值Ws 进入时刻离开时刻队长Ls由时间段内个组成的Ls=

25、Ws(1) (2) (12 22)1(3) (4) ssqqsqsqLWLWWWLL同理：Lq=Wq Ws=Wq+（1/）-Ws与Wq只相差一段平均服务时间1/ 第94页/共188页96第95页/共188页97nf到达的病人数n出现人数010128229316410566以上以上1合计合计100vf为病人完成手术时间v(小时)出现人数0.00.2380.20.4250.40.6170.60.890.81.061.01.251.2以上以上0合计合计100第96页/共188页982.1100nnf0.4100vvf12.50.42.12.52.10.842.52.15.252.52.1sL 0.8

26、4 5.254.41qL 12.52.52.1sW 0.842.12.52.1qW 第97页/共188页993.1 标准的标准的M/M/1模型模型(M/M/1/)第98页/共188页1003.1 标准的标准的M/M/1模型模型(M/M/1/)第99页/共188页1013.1 标准的标准的M/M/1模型模型(M/M/1/)第100页/共188页1023.1 标准的标准的M/M/1模型模型(M/M/1/)第101页/共188页1033.1 标准的标准的M/M/1模型模型(M/M/1/)第102页/共188页1043.1 标准的标准的M/M/1模型模型(M/M/1/)第103页/共188页105解：

27、本例可看成一个解：本例可看成一个M/M/1/ 排队问题，其中排队问题，其中 =2， =3， = / =2/31系统中列车的平均数系统中列车的平均数L= / (1- )=(2/3)/(1-2/3)=2（列）（列）列车在系统中的平均停留时间列车在系统中的平均停留时间W=L/ = 2/2=1（小时）（小时）系统中等待编组的列车平均数系统中等待编组的列车平均数Lq=L- = 2-2/3=4/3（列）（列）列车在系统中的平均等待编组时间列车在系统中的平均等待编组时间 Wq = Lq/ =(4/3)/(1/2)=2/3（小时）（小时）3.1 标准的标准的M/M/1模型模型(M/M/1/)第104页/共18

28、8页1063.1 标准的标准的M/M/1模型模型(M/M/1/)第105页/共188页107第106页/共188页108第107页/共188页10910111 (12-23a)(), 1 (12-23b) (12-23c)nnnNNPPPPPnNPP情情况况 时时刻刻 t 的的顾顾客客 区区间间 t, t+t t 时时刻刻 t+t t的的顾顾客客数数 概概率率 A A N N 无无离离去去 （肯肯定定不不到到达达） N N P Pn n( (t t) )( (1 1- -t t) ) B B N N- -1 1 一一人人到到达达（无无离离去去） N N P Pn n- -1 1( (t t)

29、)t t ttPttPttPNNN)()1 ()()(1 )()()(1tPtPdttdPNNN 第108页/共188页11010111 (12-23a)(), 1 (12-23b) (12-23c)nnnNNPPPPPnNPP0(/)nnPP1001 (), 1 nnNNPPPPnNPP第109页/共188页1111001 (), 1 nnNNPPPPnNPP N则 (/)nP0=1 n=0 N即 P0=1/(/)n= n=0(1-(1-/)/(1-()/(1-(/) )N N+1+1 1/(1/(N N +1) +1) = =011NPPP第110页/共188页112110(1) 111N

30、NsnNnNLnP01(1)(1)NqnsnLnPLP01(1)(1)qssNLLWPP1/qsWW(1)eNPv令 ，得到0111 111 (1224)1NnnNPPnN/第111页/共188页113 (1) 平均平均队长队长Ls：nPnLnNnNNnns 01011nNnNn 0111111) 1(1 NNN (1) 试证试证=1=1时时,Ls=N/2,Ls=N/23.2 系统的容量有限制的情况系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/)0111 111 (1224)1NnnNPPnN第112页/共188页114 110(1) 111NNsnNnNLnP01(1)(1)NqnsnLnPLP0

31、1(1)(1)qssNLLWPP1/qsWW(1)eNPv令 ，得到0111 111 (1224)1NnnNPPnN/第113页/共188页115 (5) 有效到达率有效到达率e 系统容量有限，当满员（系统容量有限，当满员（n=N）时时，顾客将被拒绝，实际的顾客到达率，顾客将被拒绝，实际的顾客到达率与与不一样，不一样，(1)0(1)eNNNPPPesesqLLL esSLW eqqLW 此种情况的公式与前类似此种情况的公式与前类似,只只有有Ls不同不同,e与与 不同。求不同。求e必必须先求得须先求得P0或或PN才行。才行。有效到达率为有效到达率为e 可以证明：可以证明：)1(0Pe 111)1

32、(1 NNN LsLs3.2 系统的容量有限制的情况系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/)第114页/共188页11611100(1)11(1)(12-25)(1)1/NsNqsssqsNLLLPLWPWW第115页/共188页117例例2某单人理发馆共有六把椅子接待顾客排队，无座时将离某单人理发馆共有六把椅子接待顾客排队，无座时将离去，顾客平均到达率为去，顾客平均到达率为3人人/h，理发时间平均为，理发时间平均为15分钟，求：分钟，求：(1) 求某一顾客到达就能理发的概率求某一顾客到达就能理发的概率;(2) 求需要等待的顾客数的期望值求需要等待的顾客数的期望值;(3) 求有效到达率求有效

33、到达率;(4) 求一顾客在系统中的逗留时间和排队时间平均值求一顾客在系统中的逗留时间和排队时间平均值;(5) 在可能到来的顾客中，有百分之几不等待就离开在可能到来的顾客中，有百分之几不等待就离开？3.2 系统的容量有限制的情况系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/)第116页/共188页11811. 275. 0175. 0825. 075. 01) 1(18811 NNsNL02.11 (1)2.11 (1 0.2778) 1.39qsLLP2778. 075. 0175. 0111810 NP(1) 求某一顾客到达就能理发的概率求某一顾客到达就能理发的概率:(2) 求需要等待的顾客数的期

34、望值求需要等待的顾客数的期望值:(3) 求有效到达率求有效到达率:89. 2)2778. 01 (4)1 (0 Pe(4) 求一顾客在系统中的逗留时间和排队时间平均值求一顾客在系统中的逗留时间和排队时间平均值:3.2 系统的容量有限制的情况系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/)第117页/共188页119min8 .4373. 089. 211. 2 hLWessmin86.2848. 089. 239. 1 hLWeqq%71. 375. 075. 0175. 01117817 NNPP0=0.27780P1=0.20836P2=0.15627P3=0.11720 = 0.9629=96

35、.29% 则则1- 0.9629=3.71% P4=0.08790P5=0.06593P6=0.04944(5) 在可能到来的顾客中，有百分之几不等待就离开？在可能到来的顾客中，有百分之几不等待就离开？ 顾客为顾客为何不等何不等待就离待就离去？去？ 因为系统因为系统已经满员已经满员037. 0389. 23 e3.2 系统的容量有限制的情况系统的容量有限制的情况(M/M/1/N/)故拒绝的概率为故拒绝的概率为3.71%第118页/共188页12034081 3/40.27781 (3/4)P8803/48(3/4)2.111 3/41 (3/4)(1)2.11 (1 0.2778)1.39sq

36、sLLLP0(1)4(1 0.2778)2.89ePe/2.11/2.890.73ssWL第119页/共188页121(7)nP 77788311 /343.7%1 (/)4314P人/小时人/小时有限队长2.111.390.730.480.2783.7无限队长32.251.00.750.25034sL7N qLsWqW0P7P以本例为例，比较队长为有限和无限的情形：以本例为例，比较队长为有限和无限的情形：第120页/共188页122第121页/共188页123第122页/共188页124第123页/共188页12510111(1)(), 11nnnmmPm PPmnPmnPnmPP01mii

37、P/10001!()!(1227)! (1)()!iminnPmmimPPnmmn0000(1)()(1)(1)(1228)1(1)1/sqssqsLmPPLmLPmWPWW第124页/共188页126第125页/共188页1275, 1/15, 1/12, /0.8m101234505!5!5!5!5!5!(0.8)(0.8)(0.8)(0.8)(0.8)(0.8)5!4!3!2!1!0!1/136.80.0073P5505! (0.8)0.2870!PP1 5(1 0.0073)3.760.8sL 3.760.9932.77qL 515461(1 0.007)12sW 46 1234qW

38、第126页/共188页128第127页/共188页129第128页/共188页13012ccncnncc1cc第129页/共188页1311P22 Pncncnn Pncnc P第130页/共188页132101111(1)() (1)() ()nnnnnnPPnPPnPncc PPcPnc01iiP1)(!1)(!111!1!1001100cnPcccnPnPckPncnnnckc第131页/共188页133sqcqn02n c 1LL(1230)(c )L(nc)PPc!(1) 0111()()!n cnn cn cnnnnc PnPcPc cn 因为 右边, qsqsLLWW0( )()

39、!(1)ckk cp ncppc第132页/共188页1340.90.43c 2.252.253( 1)c031232343第133页/共188页13532(2.25) 3/40.07481.703!(1/4)/3.95qsqLLL3(2.25)(3)0.07480.573!1/4P n 1.70/0.91.89qW 1.89 1/0.44.39sW 0748. 03/25. 211! 3)25. 2(! 2)25. 2(! 1)25. 2(! 0)25. 2(132100p第134页/共188页136第135页/共188页1371230.9/30.3第136页/共188页1381230.9/

40、30.3模型模型指标指标(1) M/M/3型型 (2) M/M/1型型 服务台空闲的概率服务台空闲的概率 P00.07480.25(每个子系统每个子系统)顾客必须等待的概率顾客必须等待的概率 P(n3)=0.570.75平均队列长平均队列长Lq 1.702.25(每个子系统每个子系统)平均队长平均队长Ls3.959.00(整个系统整个系统)平均逗留时间平均逗留时间Ws(分钟分钟)4.3910平均等待时间平均等待时间Wq (分钟分钟)1.897.5作业！作业！第137页/共188页139()Ncc)(!1)2912()(!111!1!1001100cnPcccnPnpckpncnnnckck0N

41、-112N-2c2cNCC-1ccC+13(c-1)cc第138页/共188页14002()1()(1)!(1)(1)(1232)(1)1cNNqNsqqqNsqPcLcNcccLLcPLWPWWNc0001()(12-33)!(), 0!kcknnPckcPPncnNccP例如，停车场就不允许排队等例如，停车场就不允许排队等待空位的情形！待空位的情形！第139页/共188页1411101010,0,( )(1234) ! (1)( )!qqsnccnnscncnnLWWccnLnPcPcn第140页/共188页1421/sLcP6, 1/2, /12c第141页/共188页143(2)(3)

42、n!(7)(5)6.930.580.422.521051.071044.031044.3010886.140.510.491.451047.111035.041033.5810775.330.440.567.461034.151037202.9910664.480.370.633.311032.071031202.4910553.620.300.701.24103864242.0710442.740.230.7737328861.7310331.830.150.85857221.4410220.920.080.92131211.2101111110(8)Ls (答答)(4)(1)n第第(4)栏

43、栏(2)/(3)第第(5)栏栏：第：第(4)栏各数栏各数累加累加(4)/(5)得满员得满员概率概率用第用第(5)栏同行栏同行去除上去除上一行结一行结果果 (7)12得得 ，为，为每天客每天客房平均房平均占用数占用数()12nnc0() / !cnncn(6)Pc (答答)() / !ncn第142页/共188页144第143页/共188页145 mc00! (0nc)()! !(1235)! (c+1n)()! !nnnn cmPmn npmPmmn c c11()msnnmqnn cLnpLnc P ckmckkckmkmccmckmkmp010)!(1!)!( !11!1第144页/共18

44、8页146e()esmL()/(1236)/esqqssseqqeLLLmLMLWL第145页/共188页1475, 1m 42, /1/4ccm3149. 081818121! 2241! 3 ! 2141! 4141! 51! 51154322100P002. 0,018. 0,074. 0,197. 0,394. 054321pPPPP第146页/共188页148345230.118qLPPP01121.094msnqnLnPLcPP1 (5 1.094)3.906e 0.118/3.9060.03qW 1.094/3.9060.28sW 第147页/共188页149第148页/共188

45、页150 E (1237)sqsesqLLLWWE T 1/E T, ssqqLWLWe第149页/共188页151第150页/共188页1521 E T22 Var (1238)2(1)sTL E TVar TsLqLqWsW第151页/共188页1531e 1( )0 1yyf yy 1/2.50.4, 1/20.5, /0.8110sW8Wq第152页/共188页154 2,VarVar 1Var10.8E YYxXE Y20.80.42 10.82.82 (1 0.8)2sqsLLL/7ssWL/5qqWL例例9 有一售票口，已知顾客按平均为有一售票口，已知顾客按平均为2分分30秒的时

46、间间隔的负指数分布到秒的时间间隔的负指数分布到达。顾客在售票口前服务时间平均为达。顾客在售票口前服务时间平均为2分钟。分钟。 若经过调查，顾客在售票口前至少要占用若经过调查，顾客在售票口前至少要占用1分钟，且认为服务时分钟，且认为服务时间服从负指数分布是不恰当的，而应服从以下概率密度分布，再求间服从负指数分布是不恰当的，而应服从以下概率密度分布，再求顾客的逗留时间和等待时间。顾客的逗留时间和等待时间。1e 1( )0 1yyf yy 第153页/共188页155 21/,0,(1239)2(1)sTVar TLsLqLsWqW第154页/共188页1564, ( )1/10E T 4/10,

47、Var0T2(0.4)0.40.5332(1 0.4)sL 0.5330.40.133qL 0.5330.1334sW 0.1330.0334qW 第155页/共188页157k1kiiTT 22211 Var11 VariiE TTkkE TTk/1kME22222(1)(1240)2(1)2 (1)(1)2 (1)/, /sqssqqkkLkkLkWLWL第156页/共188页1585.51/1/4第157页/共188页159/7.2188/5.51.3()ssWL周2225.51(5.5)5.564 6 7.21885.562 16sL1/421/85.5/6 212, Var()4 6

48、iiE TT 8E T 215.5Var, 4 66T第158页/共188页160第159页/共188页161第160页/共188页162n另一个是顾客等待的机会损失(费用)，它是服务水平的递减函数。n两者的总和呈一条U形曲线。第161页/共188页163第162页/共188页164第163页/共188页165指标下要求机构最为经济。第164页/共188页166第165页/共188页167基本思想。第166页/共188页168第167页/共188页169(1241)swszcc Lsc1wcsLwscczddz22d1 d()1 0()swswzcccc*(1242)wscc第168页/共18

49、8页17022320()wcd zd*2ss wzcc c(1241)swszcc L第169页/共188页171NP1NP(1)NP(1)NP GsNNNNsNNsNcGcGcGPz11111)1 (sc1第170页/共188页172ddzd0dzGcNNsNNN2111)1 () 1(*scGN、 、 、*/sG c*/第171页/共188页1731scsmL1()()()ssmsmzmL GcmEmGcmE0( )!kmxmkxExekm1d( )( )( )dmmmExExExx第172页/共188页174*ddzd0dz21212mmmmmsmmmmmmmEEEEEcmGE scG*

50、/第173页/共188页175Lccczws scwc*()z c*()(1)()(1)z cz cz cz c第174页/共188页176*()(1)(1)()(1)(1)swswswswc cc L cc cc L cc cc L cc cc L c*()(1)/(1)()wL cL ccs cL cL c/swcc第175页/共188页177 4sc 6wc 48 25 /1.92sLc12345/c1.920.960.640.480.38查表查表12-11 Wq10.25500.39610.07720.0170Ls= /(Wq+1)21.6102.6802.0681.952第176页/

51、共188页178sL( )sL c( )(1)( )(1)L cL cL cL c检验员数c未检验顾客数总费用(每天)z(c)1221.61018.930154.9432.6800.61218.93027.87(*)42.0680.1160.61228.3851.95231.710.666swc c *3c *()(3)27.87()z cz元第177页/共188页179第178页/共188页180 求导 dc/du=a+(-b)/(-)2 = 0得: -=+ - (b/a)1/2（根据题意舍负）所以 =+(b/a)1/2=3+(2.25)1/2=4.5(只/日)第179页/共188页181解

52、:模型 M/M/c/ c待定v总费用：F=ac+bLs（c）离散，无法用求导来解。第180页/共188页182考虑: M/M/c/ 要求: =/(c) (/)=1.5讨论 c=2,3,4 c-1 P0=ncn/n+ccc/ (c! (1- )-1 n=0 Lq= P0 ccc+1/c!(1-)2Ls=Lq+/ 第181页/共188页183 结论：结论：c c=3 =3 即设计三个装卸泊位可使每天的总费用最少即设计三个装卸泊位可使每天的总费用最少为为8.605268.60526千元。千元。 M/M/2/ / M/M/3/ / M/M/4/ / P0 1/7=0.14286 4/19=0.2105

53、3 40/181=0.22099 Lq 27/14=1.92857 9/83=0.23684 81/1810=0.04475 Ls 24/7=3.42857 33/19=1.73684 1398/905=1.54475 F 64/7=9.14286 327/38=8.60526 9337/905=10.31713 =1/2 =3/4 =3/8第182页/共188页184第183页/共188页185第184页/共188页186到达车数0123456概率0.230.300.300.100.050.020.00第185页/共188页187到达车数到达车数概率概率累积概率累积概率对应的随机数对应的随机

54、数00.230.23002210.300.53235220.300.83538230.100.93839240.050.98939750.021.009899到达车数0123456概率0.230.300.300.100.050.020.00第186页/共188页1880.901.58平均平均4579总计总计0111235002225449022255481231504224255322449620222661022280 x022002x224497x(6)推迟卸货车数推迟卸货车数(5)卸货车数卸货车数(4)需要卸货车数需要卸货车数(3)到达数到达数(2)随机数随机数(1)日期日期第187页/共188页