一次函数知识点及范例

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第十四章 一次函数14.1 变量与函数1、变量与常量的意义在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable）。数值始终不变的量为常量。友情提醒：在某一个变化过程中，变量、常量都可能有多个。常量可以是一个实数，也可以是一个代数式（数值始终保持不变）。例1、写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是变量，哪些量是常量？1、在一根弹簧的下端悬挂中重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化规律，如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量 m(单位：kg)的式子表示受力后弹簧长度L（单位：cm）？2、用总

2、长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积S（m2）与一边长x(m)之间的关系式；3、某种活期储蓄的月利率为0.16%,存入10000元本金，按国家规定，取款时，应缴纳利息部分的20%的利息税，求这种活期储蓄扣除利息税后实得的本息和y(元)与所存月数x之间的关系式.4、如图，每个图中是由若干个盆花组成的图案，每条边（包括两个顶点）有n盆花，每个图案的花盆总数是S，求S与n之间的关系式.2、函数的概念一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函

3、数值。注意：1、对函数概念的理解，主要应该抓住以下三点：有两个变量；一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化；自变量每确定一个值，函数有一个并且只有一个值与之对应。2、函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。3、自身先改变的是自变量,随之而变的是函数。例1、判断下列变量之间是不是函数关系：（1）长方形的宽一定时，其长与面积；（2）等腰三角形的底边长与面积；（3）某人的年龄与身高。例2、一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km。（1）写出表示y与x的函数关系式。（2）指出自变量x

4、的取值范围。（3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？解：（1）y=50-0.1x （2）0x500 （3）x=200, y=303、函数的表示方法函数的表示方法为解析法、列表法和图形法，这三种方法在解决问题时是可以相互转化的。解析法：把两个变量的函数关系用一个等式来表示，该等式简称解析式优点：函数关系清楚，容易由自变量的值，求出对应的函数值（反之也可），便于利用解析式来研究函数的性质。列表法：列出表格来表示两个变量的函数关系。如：银行的利息表，三角函数表，平方根表。 优点：不用计算，就可求出函数值。图像法：用图像表示两变量之间的关系如：医务室的身高图，气象台的气温变化图。我国人口出生率

5、变化的曲线图。优点：形象直观地表示出函数的变化情况。例1 一水库的水位在最近5消耗司内持续上涨，下表记录了这5个小时水位高度.由记录表推出这5个小时中水位高度y(单位米)随时间t （单位：时）变化的函数解析式，并画出函数图象；据估计这种上涨的情况还会持续2个小时，预测再过2个小时水位高度将达到多少米？解：（1）y=0.05t+10 (0t7)（2）当t=5+2=7时，y=0.05t+10=10.35预计2小时后水位将达到10.35米。4、函数图象的意义一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象（graph）。

6、例1 下面的图象反映的过程是小明从家去菜地浇水，有去玉米地锄草，然后回家。其中x表示时间，y表示小名离家的距离。根据图象回答问题：菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？；小明给菜地浇水用了多少时间？菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？小明给玉米锄草用了多少时间？玉米地离小名家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多少？5、画函数图像的一般步骤1、列表: 2、描点: 3、连线:。6、函数自变量的取值范围：【三招确定“函数自变量取值范围”】一个函数关系式的自变量取值是有一定范围的，自变量取值范围必须使关系式或题中条件有意义。那么如何才能准确地确定自变量的取值范围呢?下面介绍三种方

7、法:第一招: 必须使含自变量的代数式有意义.解析式是整式时,自变量取值范围是全体实数.例如:指出下列各函数的自变量取值范围: y = x2-1 ；y = 3x -2； y =-5x . 解:这三个函数式中,右边的式子都是含自变量x的整式，所以它们的自变量取值范围是全体实数。解析式是分式时,自变量的取值范围是使分母不为0的实数.例如: 确定下列函数的自变量取值范围:y= ； y= ； y = 解：这三个函数式中，右边的式子都是含自变量x的分式，所以分母不为零时，函数有意义。所以中的x0；中的x-1；中的x1且x-1解析式是偶次根式,自变量的取值范围是被开方数为非负数.例如：确定下列函数的自变量取

8、值范围:y=； y= ； y = ； y= 解： x2； 全体实数 ； 即 x0且x1； 全体实数含有零指数、负整指数幂的函数,自变量的取值范围是使底数不为零的实数.例如：确定下列函数的自变量取值范围: y= ； y= 解： x-20， x2 ; 即x-1且x0第二招:必须使实际问题有意义. 例如：一辆汽车的油箱中有汽油40升，该车每千米油耗为0.4升，请写出油箱剩余油量Q（升）与行驶路程s（千米）之间的函数关系式，并确定自变量取值范围。解：Q = 40 -0.4s 0s10自变量取值范围为0s10第三招:必须使图形存在.例1：A、B、C、D四个人做游戏A、B、C三人站在三个不同的点上构成一个

9、三角形且BAC=40，D在ABC内部移动，但不能超越ABC。则D与B、C构成一个三角形，则BDC的度数的取值范围是_. 解:40BDC180例2 :已知等腰三角形的周长为20cm， 请写出底边长y（cm）与腰长x（cm）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围。解：y= 20- 2x 5 x10 例3：已知等腰直角ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米,AC与MN在同一直线上,开始时点A与点N重合.让ABC以每秒2厘米的速度向左运动,最终点A与点M重合,则重叠三角形部分的面积y(cm2)与时间t(秒)之间的函数关系式为_.自变量t 的取值范围是_.分析:在移动的过程中,重合部分的

10、三角形也为等腰直角三角形AN=2t , 则MA= 20-2t, 所以解析式可求.由0MA20可确定自变量取值范围解: y= , 自变量t 的取值范围是0t10 14.2一次函数1、正比例函数一般地，形如y=kx（k是常数，k0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数例1、写出下列函数的关系式。（）圆的周长L随半径r的大小变化而变化。（）铁的密度为78g/cm3铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化。（）每个练习本的厚度为05cm一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化。（）冷冻一个0的物体，使它每分钟下降2物体的温度（）随冷冻时间t（分）的变化

11、而变化。2、正比例函数解析式与图象特征之间的规律：正比例函数y=kx（k是常数，k0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx当K0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k0时，直线y=kx+b由左至右上升；当k0时，y随x增大而增大当k0时，交点在原点上方当b=0时，交点即原点当b0 b0 （2）k0 b0 （3）k0 （4）k0 b0解答：（15，0） （0，-3） 三、四、一 增大（1）三、二、一 （2）三、四、一 （3）二、一、四 （4）二、三、四例3、若函数y=mx-（4m-4）的图象过原点，则m=_，此时函数是_函数若函数y=mx-（4m-4）的图

12、象经过（1，3）点，则m=_，此时函数是_函数例4、若一次函数y=（1-2m）x+3图象经过A（x1、y1）、B（x2、y2）两点当x1 y2，则m的取值范围是什么？答案：例31 正比例 一次 例4解：当x1y2，y随x增大而减小据一次函数性质可知：只有当k0时，y随x增大而减小 故1-2m.b=0k 0经过一、三象限y随x的增大而增大k 0k 0经过一、二、三象限y随x的增大而增大k 0经过一、二、四象限y随x的增大而减小b 0经过一、三、四象限y随x的增大而增大k 0或ax+b 0（a，b为常数a0）的形式，所以解一元一次不等式可以转化为：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围

13、。1、由于一次函数图象是一条直线，它与x轴相交，在x轴上方的图象对应的函数值y大于0，则图象对应的自变量x为相应的自变量取值范围；在x轴下方的图象对应的函数值y小于0，则图象对应的自变量x为相应的自变量取值范围。也是相应的不等式的解集。2、还可以看成比较两个一次函数在同一个自变量x所对应的值的大小；并找到相应的取值范围。3、学会利用函数图象的信息解决实际问题。例1、对于一次函数y=(m-4)x+2m-1，若y随x的增大而增大，且它的图象与y轴的交点在x轴下方，那么m的取值范围是_.3、一次函数与二元一次方程（组）以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上.反过来,一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.即:二元一次方程(数)对应相应的一次函数的图象(形)从函数的观点看解二元一次方程组从“形”的角度看：解方程组相当于确定两条直线的交点坐标。从“数”的角度看：解方程组相当于考虑当自变量为何值时,两个函数值相等以及这个函数值是何值。专心-专注-专业