理学高等数学邱茂路

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1、会计学1理学高等数学邱茂路理学高等数学邱茂路 本章包括三节。第一节介绍幂级数的概念和收敛域的求法。第二节，介绍幂级数求和的方法，其实就是等比级数求和。第三节介绍函数的幂级数展开方法。 第1页/共35页给出一个幂函数列 其中，an为常数，n = 0,1,2。 ,2210nnxaxaxaa将幂函数列的所有项都加起来 02210nnnnnxaxaxaxaa称上述幂函数列的和为幂级数。 当x取定值x0，幂级数成为数值级数 。00nnnxa第2页/共35页例17.1.1给出幂函数列 将幂函数列的所有项都加起来，得幂级数 ,11,121,111,12nxnxx 021111,1211111nnnxnxnx

2、x当x取定值 ，幂级数成为数值级数 。2102111nnn若数值级数 收敛，称幂级数 在x0处收敛， 00nnnxa0nnnxax0称为幂级数的收敛点。 若数值级数 发散，称幂级数 在x0处发散， 00nnnxa0nnnxax0称为幂级数的发散点。 第3页/共35页例17.1.2给出幂级数 0nnx当x取定值 ,幂级数成为数值级数 ,此数值级数收敛。21021nn故幂级数 在 处收敛， 是幂级数的收敛点。0nnx21x21x当x取定值2,幂级数成为数值级数 ,此数值级数发散。02nn故幂级数 在 处收敛，是幂级数的发散点。 0nnx2x足条件|x|1的点,都是收敛点;所有满足条件|x|1的点,

3、都是发散点。由于幂级数 对每个x 都是等比级数,公比为x, 所以所有满0nnx幂级数的所有收敛点的集合，叫幂级数的收敛域； 幂级数的所有发散点的集合，叫幂级数的发散域。 第4页/共35页 这个例子中，幂级数的收敛域，是关于原点对称的区间；发散域是位于这个对称区间两侧的两个半无穷区间。 幂级数 的收敛域为满足不等式 | x | 1的集合,即开区间 (-1,1) ；发散域为满足不等式 | x | 1 的点的集合，即0nnx(-,-1 1,+)，见图17.1-1。 X图17.1-1001下面将看到，这是幂级数收敛域与发散域的共同特征。 第5页/共35页求幂级数的收敛域，也就是求幂级数所有收敛点的集合

4、。 由任意项级数收敛的比值判敛法，若有极限 |lim11xrxaxannnnn则 不等式r | x | 1的解集，为发散点集。 在使 r | x | = 1的两点处，比值判敛法失效，一般用交错级数的莱不尼兹判别法确定其敛散性。若收敛，就归到收敛集合中，若发散就归到发散集合中，然后就可回答收敛域和发散域是什么。 幂级数的收敛域，是关于原点对称的一个区间，可能包括端点，也可能不包括端点。称收敛区间的半径，为幂级数的收敛半径。 注意，单纯从收敛半径上，看不出收敛域是否包括端点。 第6页/共35页(1)例17.1.4求幂级数 的收敛域和收敛半径。 112) 1(nnnnnx|lim11nnnnnxax

5、anxnxnnnnn2) 1(2lim11x21所以，当 ，即-2 x 2级数发散。 1|21x第7页/共35页(2)在端点x = -2， 级数成为 ，是发散的； 11nn在端点x = 2，级数成为 ，是条件收敛的。 111) 1(nnn(3).所以, 2 , 2(2) 1(11的收敛区间为级数nnnnnx收敛半径R=2.因为 例17.1.5求级数 的收敛域。 0!nnnx0) 1(limlim11nxxaxannnnnn所以级数的收敛域为(-, +)，收敛半径R = +。 第8页/共35页(1)例17.1.6.202的收敛区间求级数nnnx2221)1(21|2121lim22limlimx

6、xxxuunnnnnnnnn;2,2|,1|21,022绝对收敛级数时即当所以nnnxxx.2,2|,1|21022发散级数时即当nnnxxx(2) 原级数成为1 + 1 + 1 + + 1 + ,是发散的.,2时当x(3) 。)2,2(故原级数的收敛区间为第9页/共35页令 x-2 = t，则原级数变为 ，一般形式通过变量替换 幂级数的一般形式为 00)(nnnxxa可化为我们已经熟悉的形式 ，在这种形式下进0nnnta行研究，然后再将研究结果反变换到级数 上。 00)(nnnxxatxx0例17.1.7 。 的收敛域求幂级数12)2(nnnx02nnnt第10页/共35页由 2|22lim

7、|lim111tttuunnnnnnnn ，即| t | 2，级数绝对收敛。 12|t，级数发散。 12|t当 t = 2，级数成为 ，发散； 022nnn当 t = -2，级数成为 ，发散； 0) 1(nn第11页/共35页即，|x -2 | 2，即 0 x 4，级数收敛； |x -2 | 2，即 x 0 或 x 4，级数发散。 若本题如下求解则更直接： 2|2|2)2(2)2(lim|lim111xxxuunnnnnnnn 级数当| t | 2，级数绝对收敛，| t | 2，级数发散。 第12页/共35页所以，当 0 x 4，级数收敛； x = 0 时，级数成为 ，发散； 0) 1(nn

8、x = 4 时，级数成为 ，发散。 01n当|x -2 | 2，级数发散。 当 ，即|x -2| 2，级数发散。 12|2|x 当 ，即 x = 0 或 x = 4 时： 12|2|x第13页/共35页 级数求和是很麻烦的，能够求和的情况很少。我们介绍以下三种情况。 当幂级数可以表示为等比级数，此时幂级数可以直接求和。这个和是x的函数，称为幂级数的和函数，简称为幂级数的和。 例17.2.1求幂级数 的和与收敛域。 0nnx幂级数 为等比级数,公比q = x,所以幂级数的和为 0nnx(1) 收敛域为不等式| x | 1的解集，即开区间 (-1,1)。 xxnn110第14页/共35页收敛域为开

9、区间 (-2,2)。 例17.2.2求幂级数 的和与收敛域。 02nnx幂级数 为等比级数,公比 ,所以幂级数的和为 02nnx2xq xxxnn2221120解不等式 ，得 -2 x 2 。 12x第15页/共35页例17.2.3求幂级数 的和与收敛域。 nnnx03幂级数 为等比级数, 公比q =3x ,所以幂级数的和为nnnx03xxnnn31130解不等式 | 3x | 1，得 。 3131x收敛域为开区间 。 31,31第16页/共35页幂级数在其收敛区间内(不包括端点)，有 幂级数是无穷多个幂函数的和，是一个无穷和。对于函数的无穷和，“和的导数等于导数的和”、“和的积分等于积分的和

10、”这两条性质一般不再成立。但对于幂级数，这两条性质仍然成立。即 00nnnnnnxadxdxadxd即：和的导数等于导数的和。 例如 02012012121121nnnnnnxxndxdxndxd第17页/共35页幂级数在其收敛区间内(不包括端点)，有 即：和的积分等于积分的和。 例如 0000nxnnxnnndttadtta 01001000011nnnxnnxnxnnnxntdttdtt 幂级数在求导或积分后，收敛区间的端点处的敛散性可能改变。因此，在使用这两条性质进行幂级数求和时，我们约定，不考虑端点处的情况，这样可以省去很多麻烦。 第18页/共35页 虽然幂级数本身不是等比级数，但求导

11、后的幂级数却成为等比级数，此时可对幂级数求导以后再求和，然后将和积分，得到原级数的和。 我们用例子来说明这个过程。 例17.2.4 。 的和求幂级数012121nnxn幂级数本身不是等比级数,但求导后的幂级数却成为等比级数 02nnx，公比q = x2。 设 012121)(nnxnxS第19页/共35页两端求导得 即 02012121)( nxnnxxnxS02012121)( nxnnxxnxS1|1122xxnxxx2421211)( xxS第20页/共35页注意到，S(0) = 0 所以 两边从0到x积分 dttdttSxx02011)( xxtttS0011ln21)(xxSxS11

12、ln21)0()(1|,11ln21121)(2012xxxxnxSnn 虽然幂级数本身不是等比级数，但积分后的幂级数却成为等比级数，此时可对幂级数积分以后再求和，然后将和求导，得到原级数的和。 第21页/共35页设 两边从0到x积分 11)(nnnxxS1|1)()(1101010 xxxxtdtntdttSnnnxnnxnx两边求导 1|)1 (11)(2xxxxxS即 1|)1 (1211xxnxnn例17.2.5 。的和求幂级数11nnnx幂级数本身不是等比级数，但积分后的幂级数却成为等比级数 ,公比q = x。 1nnx第22页/共35页怎样把一个函数f (x)表示为幂级数。 上节我

13、们讨论怎样求一个幂级数的和函数。这一节我们讨论相反的问题： 把函数f (x)表示为幂级数，也称为将f (x)“展开成”幂级数。 在下面的讨论中，我们将用表示f (x)的n阶导数，特别，表示f (x)的0阶导数，也就是函数f (x)本身。为 n阶导数在0处的值。 第23页/共35页假设函数f (x)能展成幂级数，即 0)(nnnxaxf= a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3 + + an xn + 则 f (0)(0) = f (0) = a0 = 0! a0 (为便于找规律，把1写成0! ) 所以 !0)0()0(0fa (1) 由 f (1)(x) = a1 + 2a2 x +

14、 3a3 x2 + + n an xn-1 + f (1)(0) = a1 = 1! a1 (为便于找规律，把1写成1! ) 所以 (2) ! 1)0()1(1fa 第24页/共35页由 f (2)(x) = 21a2 + 32a3 x + + n (n-1) an xn-2 + f (2)(0) = 2! a2 由 f (3)(x) = 321 a3 + + n (n-1) (n-2) an xn-3 + f (3)(0) =3! a3 所以 (3) !2)0()2(2fa 所以 (4) !3)0()3(3fa 从(1)、(2)、(3)、(4)式中，我们已经发现了规律： , 2, 1, 0!

15、)0()(nnfann(5) 于是我们有 nnnxnfxf0)(!)0()(6) (6)式称为函数f (x)在点0处的泰勒展开式。 第25页/共35页类似的，可得函数f (x)在点x0处的泰勒展开式为 通常，人们把(7)式叫做f (x)的泰勒展开式，而把(6)式叫做f (x)的麦克劳林展开式。在这里我们就不分那么细了，都称为泰勒展开式。 称幂级数 (8) 为f (x)的泰勒级数。 nnnxxnxfxf)(!)()(000)(7) nnnxxnxf)(!)(000)(第26页/共35页 当我们计算了f (x)的各阶导数，就可写出泰勒级数(8)。但我们还不能写出f (x)的泰勒展开式(7)，因为还

16、有两个问题要确定： 一是幂级数(8)的收敛域是什么？二是幂级数(8)在其收敛域上是否就收敛到f (x)? 只有在幂级数(8)收敛到f (x)的区域上(7)式才成立。 这些问题过于复杂，我们就不过问了。可以证明，本节所给出的泰勒展开式都是正确的，你可以放心使用。 第27页/共35页对f (x) = ex有 xnexfxfxf )()()()()1()0(所以 1)0()0()0()()1()0( nfff于是 nxxnxxe!1!2112nnxn0!1第28页/共35页对f (x) = sinx有 2sin)()(nxxfn (见例4.4.7) 2sin)0()(nfn, 2 , 1 , 0n于

17、是，当n是偶数，n = 2k， 0sin22sin)0()2(kkfk当n是奇数，n = 2k+1 2) 12(sin)0()12(kfkkk) 1(2sin第29页/共35页于是 0)(!)0(sinnnnxnfx120)!12() 1(kkkxk 通过计算f (x)的各阶导数将f (x)展成幂级数的方法，通常称为直接展开法。 我们也可以借用已知的展开式，通过求导与积分，求出待展函数的展式。这种方法，通常称为间接展开法。 第30页/共35页由 012)!12() 1(sinkkkkxxx上式两边导：012)!12() 1()(sinkkkkxdxdxdxd012)!12() 1(kkkkxd

18、xd所以，xkxxkkk02)!2() 1(cos第31页/共35页证明：xixeixsincos解：nnixixne)(!101202202!) 12(!)2(kkkkkkxkiixki12020!) 12() 1(!)2() 1(kkkkkkxkixkxixsincos 这是一个很重要的公式，它把复数的三角形式，与指数形式联系起来，这使我们在求解一些问题时，有更多的灵活性和更多的方便。 第32页/共35页例17.3.1求f (x) = ln(1+x)在x = 0处的泰勒展开式。 11) 1(110 xxxnnn因为将上式两边从0到x积： xnnnxdtttdt000) 1(100100|11) 1() 1(nxnnnnxndttndtt所以，111) 1()1ln(10 xnxxnnn第33页/共35页例17.3.2求 在x = 0处的泰勒展开式。 xxf31)(因为且 ,3113131xx1|,110 xxxnn得用替换用的展开式中在,3,11xxx0103133131nnnnnxxx33, 131,xx即其中第34页/共35页