浙江专用2022年高考数学一轮总复习专题5平面向量与解三角形5.3正弦余弦定理及解三角形检测

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1、浙江专用2022年高考数学一轮总复习专题5平面向量与解三角形5.3正弦余弦定理及解三角形检测考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点正弦、余弦定理1.理解正弦定理、余弦定理的推导过程.2.掌握正弦定理、余弦定理并能灵活运用.2018浙江,13三角形边和角的求法三角恒等变换解三角形及其综合应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与三角形有关的几何问题以及和测量有关的实际问题.2016浙江,16三角形角的求法三角形的面积2015浙江,16三角形边和角的求法三角形的面积2014浙江,18三角形角和面积的求法三角恒等变换【考点集训】考点一正弦、余弦定理1.(2018浙江绍兴高三3月适应性

2、模拟,6)在ABC中,内角C为钝角,sin C=,AC=5,AB=3,则BC=() A.2B.3C.5D.10答案A2.(2018浙江嵊州高三期末质检,14)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos(A+C)=,a=2,b=4,则sin A=,c=.答案;3考点二解三角形及其综合应用1.(2018浙江湖州、衢州、丽水第一学期质检,15)在锐角ABC中,AD是BC边上的中线,若AB=3,AC=4,ABC的面积是3,则AD=.答案2.(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处

3、,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD=m.答案100炼技法【方法集训】方法有关三角形面积的计算1. (2018浙江杭州高三教学质检,13)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=,b=3,sin C=2sin A,则sin A= ;设D为AB边上一点,且=2,则BCD的面积为.答案;22.(2018浙江金华十校高考模拟(4月),18)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin A=sin(B-C)+2sin 2B,B.(1)证明:c=2b;(2)若ABC的面积S=5b2-a2,求tan A的值.解析(1)证明:由sin A=sin(B-

4、C)+2sin 2B,知sin(B+C)=sin(B-C)+4sin Bcos B,展开化简得,cos Bsin C=2sin Bcos B,又因为B,所以sin C=2sin B,由正弦定理得,c=2b.(2)因为ABC的面积S=5b2-a2,所以有bcsin A=5b2-a2,由(1)知c=2b,代入上式得b2sin A=5b2-a2,所以a2=b2+c2-2bccos A=5b2-4b2cos A,代入得b2sin A=4b2cos A,tan A=4.过专题【五年高考】A组自主命题浙江卷题组考点一正弦、余弦定理(2018浙江,13,6分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c

5、.若a=,b=2,A=60,则sin B=,c=.答案;3考点二解三角形及其综合应用1.(2017浙江,11,4分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率,理论上能把的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.答案 2.(2016浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若ABC的面积S=,求角A的大小.解析(1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2

6、sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B,所以B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)由S=得absin C=,故有sin Bsin C=sin 2B=sin Bcos B,因sin B0,得sin C=cos B.又B,C(0,),所以C=B.当B+C=时,A=;当C-B=时,A=.综上,A=或A=.评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.3.(2015浙江,16,14分)在

7、ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.(1)求tan C的值;(2)若ABC的面积为3,求b的值.解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos 2B=sin2C.又由A=,即B+C=,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,解得tan C=2.(2)由tan C=2,C(0,)得sin C=,cos C=.又因为sin B=sin(A+C)=sin,所以sin B=.由正弦定理得c=b,又因为A=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3.评析本题主要考查三角函数、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能

8、力.4.(2015浙江文,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan=2.(1)求的值;(2)若B=,a=3,求ABC的面积.解析(1)由tan=2,得tan A=,所以=.(2)由tan A=,A(0,),得sin A=,cos A=.又由a=3,B=及正弦定理得b=3.由sin C=sin(A+B)=sin得sin C=.设ABC的面积为S,则S=absin C=9.评析本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.5.(2014浙江,18,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ab,c=,cos2A-cos

9、2B=sin Acos A-sin Bcos B.(1)求角C的大小;(2)若sin A=,求ABC的面积.解析(1)由题意得-=sin 2A-sin 2B,即sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2B,sin=sin.由ab,得AB,又A+B(0,),得2A-+2B-=,即A+B=,所以C=.(2)由c=,sin A=,=,得a=,由ac,得AC.从而cos A=,故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,所以ABC的面积S=acsin B=.评析本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求

10、解能力.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一正弦、余弦定理 1.(2018课标全国理,6,5分)在ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=()A.4B.C.D.2答案A2.(2017山东理,9,5分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A3.(2018课标全国文,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=

11、8,则ABC的面积为.答案4.(2017课标全国文,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=.答案5.(2018课标全国理,17,12分)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=2,求BC.解析(1)在ABD中,由正弦定理得=.由题设知,=,所以sinADB=.由题设知,ADB90,所以cosADB=.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252=25.所以BC=5

12、.方法总结正、余弦定理的应用原则(1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其中一对的比值或等量关系就可以通过该定理解决问题,在解题时要学会灵活运用.(2)运用余弦定理时,要注意整体思想的应用.(3)在利用正、余弦定理判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.(4)在利用正弦定理求三角形解的个数问题时,可能会出现一解、两解或无解的情况,所以解答此类问题时需要进行分类讨论,以免漏解或增解.6.(2015课标,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍.(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.解析(1

13、)SABD=ABADsinBAD,SADC=ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得=.(2)因为SABDSADC=BDDC,所以BD=.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.考点二解三角形及其综合应用1.(2018课标全国文,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为,则C=()A.B.C.D.答案C2.(2014课标,4,5分

14、)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()A.5B.C.2D.1答案B3.(2018北京文,14,5分)若ABC的面积为(a2+c2-b2),且C为钝角,则B=;的取值范围是.答案;(2,+)4.(2015课标,16,5分)在平面四边形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范围是.答案(-,+)5.(2018天津文,16,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余

15、弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.(1)在ABC中,由正弦定理可得bsin A=asin B,又由bsin A=acos,得asin B=acos,即sin B=cos,可得tan B=.又因为B(0,),可得B=.(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b2=a2+c2-2accos B=7,故b=.由bsin A=acos,可得sin A=.因为ac,故cos A=.因此sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=2cos2A-1=.所以sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=-=.6.(2017课标全国理,17

16、,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.解析本题考查解三角形.(1)由已知可得tan A=-,所以A=.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去)或c=4.(2)由题设可得CAD=,所以BAD=BAC-CAD=.故ABD面积与ACD面积的比值为=1.又ABC的面积为42sinBAC=2,所以ABD的面积为.思路分析(1)由sin A+cos A=0,可求得tan A=-,注意到A是三角形内角,得A=,再由余弦定理

17、求c.(2)由题意知CAD=,BAD=,于是可求得的值,再由SABC=42sinBAC=2得解.一题多解(2)1题多解1:由余弦定理得cos C=,在RtACD中,cos C=,CD=,AD=,DB=CD=,SABD=SACD=2sin C=.1题多解2:BAD=,由余弦定理得cos C=,CD=,AD=,SABD=4sinDAB=.1题多解3:过B作BE垂直AD,交AD的延长线于E,在ABE中,EAB=-=,AB=4,BE=2,BE=CA,从而可得ADCEDB,BD=DC,即D为BC中点,SABD=SABC=24sinCAB=.C组教师专用题组考点一正弦、余弦定理1.(2017课标全国文,1

18、1,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=() A.B.C.D.答案B2.(2016天津,3,5分)在ABC中,若AB=,BC=3,C=120,则AC=() A.1B.2C.3D.4答案A3.(2016课标全国,13,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.答案4.(2015天津,13,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则a的值为.答案85.(2015福建,12,4分)若锐

19、角ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于.答案76.(2015广东,11,5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b=.答案17.(2015重庆,13,5分)在ABC中,B=120,AB=,A的角平分线AD=,则AC=.答案8.(2014天津,12,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为.答案-9.(2014广东,12,5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则=.答案210.(2014福建,12,4分

20、)在ABC中,A=60,AC=4,BC=2,则ABC的面积等于.答案211.(2014江苏,14,5分)若ABC的内角满足sin A+sin B=2sin C,则cos C的最小值是.答案12.(2014课标,16,5分)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则ABC面积的最大值为.答案13.(2017山东文,17,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,=-6,SABC=3,求A和a.解析本题考查向量数量积的运算及解三角形.因为=-6,所以bccos A=-6,又SABC=3,所以

21、bcsin A=6,因此tan A=-1,又0A,所以A=.又b=3,所以c=2.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=9+8-232=29,所以a=.14.(2016江苏,15,14分)在ABC中,AC=6,cos B=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos的值.解析(1)因为cos B=,0B,所以sin B=.由正弦定理知=,所以AB=5.(2)在ABC中,A+B+C=,所以A=-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos Bcos +sin Bsin,又cos B=,sin B=,故cos A=-+=-.因为0A0).则a=ksin A,b=k

22、sin B,c=ksin C.代入+=中,有+=,变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有cos A=.所以sin A=.由(1)可知sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以sin B=cos B+sin B,故tan B=4.评析本题考查的知识点主要是正、余弦定理以及两角和的正弦公式.16.(2014湖南,18,12分)如图,在平面四边形ABCD

23、中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求cosCAD的值;(2)若cosBAD=-,sinCBA=,求BC的长.解析(1)在ADC中,由余弦定理,得cosCAD=.(2)设BAC=,则=BAD-CAD.因为cosCAD=,cosBAD=-,所以sinCAD=,sinBAD=.于是sin =sin(BAD-CAD)=sinBADcosCAD-cosBADsinCAD=-=.在ABC中,由正弦定理,得=,故BC=3.考点二解三角形及其综合应用1.(2014江西,4,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则ABC的面积是() A.3B.C.D.3答

24、案C2.(2014重庆,10,5分)已知ABC的内角A,B,C满足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积S满足1S2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是()A.bc(b+c)8B.ab(a+b)16C.6abc12D.12abc24答案A3.(2017课标全国文,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b=,c=3,则A=.答案754.(2015北京,12,5分)在ABC中,a=4,b=5,c=6,则=.答案15.(2014山东,12,5分)在ABC中,已知=tan A,当A=时,ABC的面积为.答案6.(2

25、018北京理,15,13分)在ABC中,a=7,b=8,cos B=-.(1)求A;(2)求AC边上的高.解析(1)在ABC中,因为cos B=-,所以sin B=.由正弦定理得sin A=.由题设知B,所以0A.所以A=.(2)在ABC中,因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,所以AC边上的高为asin C=7=.方法总结处理解三角形相关的综合题目时,首先要掌握正弦、余弦定理,其次结合图形分析哪些边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通过解方程求出边或角.7.(2017课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B

26、,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.解析本题考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换,考查学生利用三角形面积公式进行运算求解的能力.(1)由题设得acsin B=,即csin B=.由正弦定理得sin Csin B=.故sin Bsin C=.(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-,即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=.由题设得bcsin A=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.故ABC的周长为3+.思路分

27、析(1)首先利用三角形的面积公式可得acsin B=,然后利用正弦定理,把边转化成角的形式,即可得出sin Bsin C的值;(2)首先利用sin Bsin C的值以及题目中给出的6cos Bcos C=1,结合两角和的余弦公式求出B+C,进而得出A,然后利用三角形的面积公式和a的值求出bc的值,最后利用余弦定理求出b+c的值,进而得出ABC的周长.方法总结解三角形的综合应用.(1)应用正弦定理、余弦定理主要是将条件转化为仅有边或仅有角的形式,以便进一步化简计算,例如:将csin B=变形为sin Csin B=.(2)三角形面积公式:S=absin C=acsin B=bcsin A.(3)

28、三角形的内角和为.这一性质经常在三角化简中起到消元的作用,例如:在ABC中,sin(B+C)=sin A.8.(2017课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.解析本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用.(1)由题设及A+B+C=得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=.(2)由cos B=得sin B=,故SABC=acsin B=ac.又

29、SABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2.解后反思在余弦定理和三角形面积公式的运用过程中,要重视“整体运算”的技巧.如本题中b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)中的转化就说明了这一点.9.(2017北京理,15,13分)在ABC中,A=60,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求ABC的面积.解析本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式.(1)在ABC中,因为A=60,c=a,所以由正弦定理得sin C=.(2)因为a=7,所以c

30、=7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b3,解得b=8或b=-5(舍).所以ABC的面积S=bcsin A=83=6.解后反思根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键.在求解面积时,经常用余弦定理求出两边乘积.10.(2016课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=,ABC的面积为,求ABC的周长.解析(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分)2cos Cs

31、in(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.(4分)可得cos C=,所以C=.(6分)(2)由已知,得absin C=.又C=,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.(10分)所以ABC的周长为5+.(12分)评析本题重点考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,同时,对三角恒等变换的公式也有所考查.在解题过程中,要注意先将已知条件中的“边”与“角”的关系,通过正弦定理转化为“角”之间的关系,再运用三角函数知识求解.11.(2016北京,15,13分)在ABC中,a2+c2=b2+ac.(

32、1)求B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.解析(1)由余弦定理及题设得cos B=.又因为0B,所以B=.(6分)(2)由(1)知A+C=.cos A+cos C=cos A+cos=cos A-cos A+sin A=cos A+sin A=cos.(11分)因为0A,所以当A=时,cos A+cos C取得最大值1.(13分)思路分析第(1)问条件中有边的平方和边的乘积,显然应选用余弦定理求解.第(2)问用三角形内角和定理将原三角函数式化为只含一个角的三角函数式,再注意角的取值范围,问题得解.评析本题考查余弦定理、三角恒等变换及三角函数的性质.属中档题.12.(2015四川,

33、19,12分)如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.(1)证明:tan=;(2)若A+C=180,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值.解析(1)证明:tan=.(2)由A+C=180,得C=180-A,D=180-B.由(1),有tan+tan+tan+tan=+=+.连接BD.在ABD中,有BD2=AB2+AD2-2ABADcos A,在BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C,所以AB2+AD2-2ABADcos A=BC2+CD2+2BCCDcos A.则cos A=.于是sin A=.连接AC.同理可得cos B=

34、,于是sin B=.所以tan+tan+tan+tan=+=+=.评析本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程、化归与转化等数学思想.13.(2015安徽,16,12分)在ABC中,A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.解析设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(3)2+62-236cos=18+36-(-36)=90,所以a=3.又由正弦定理得sin B=,由题设知0B0,所以A.于是sin A+sin C=sin A+s

35、in=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2+.因为0A,所以0sin A,因此-2+.由此可知sin A+sin C的取值范围是.评析本题以解三角形为背景,考查三角恒等变换及三角函数的图象与性质,对考生思维的严谨性有较高要求.15.(2015陕西,17,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求ABC的面积.解析(1)因为mn,所以asin B-bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,又sin B0,从而tan A=,由于0

36、A0,所以c=3.故ABC的面积为bcsin A=.解法二:由正弦定理,得=,从而sin B=,又由ab,知AB,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos+cos Bsin=.所以ABC的面积为absin C=.16.(2014陕西,16,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,求cos B的最小值.解析(1)证明:a,b,c成等差数列,a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.sin B=sin-(A+C)=si

37、n(A+C),sin A+sin C=2sin(A+C).(2)a,b,c成等比数列,b2=ac.由余弦定理得cos B=,当且仅当a=c时等号成立.cos B的最小值为.评析本题考查了等差、等比数列,正、余弦定理,基本不等式等知识;考查运算求解能力.17.(2014大纲全国,17,10分)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A=,求B.解析由题设和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A.故3tan Acos C=2sin C,因为tan A=,所以cos C=2sin C,tan C=.(6分)所以tan B=tan18

38、0-(A+C)=-tan(A+C)=(8分)=-1,即B=135.(10分)18.(2014北京,15,13分)如图,在ABC中,B=,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cosADC=.(1)求sinBAD;(2)求BD,AC的长.解析(1)在ADC中,因为cosADC=,所以sinADC=.所以sinBAD=sin(ADC-B)=sinADCcosB-cosADCsinB=-=.(2)在ABD中,由正弦定理得BD=3.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=82+52-285=49.所以AC=7.评析本题考查了正、余弦定理等三角形的相关知识;考查分析推理、运算

39、求解能力.19.(2014安徽,16,12分)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sin的值.解析(1)因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.由正、余弦定理得a=2b.因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.(2)由余弦定理得cos A=-.由于0A,所以sin A=.故sin=sin Acos+cos Asin=+=.评析本题考查正、余弦定理,三角恒等变换等知识;考查基本运算求解能力;属容易题.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2019届浙江名校协作体高三联考,3)在ABC

40、中,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,已知A=45,B=60,b=,则a=() A.B.C.D.答案A2.(2019届浙江嘉兴9月基础测试,8)在ABC中,已知cos A=,cos B=,c=4,则a=()A.12B.15C.D.答案D3.(2018浙江镇海中学期中,10)若ABC沿着三条中位线折起后能够拼接成一个三棱锥,则称这样的ABC为“和谐三角形”,设ABC的三个内角分别为A,B,C,则下列条件不能够确定该ABC为“和谐三角形”的是() A.ABC=72025B.sin Asin Bsin C=72025C.cos Acos Bcos C=72025D.tan Atan Btan

41、 C=72025答案B4.(2018浙江台州第一次调考(4月),7)在ABC中,边a,b,c所对的角分别为A,B,C,若a2=b2+c2-bc,sin C=2cos B,则()A.A=B.B=C.c=bD.c=2a答案D二、填空题(单空题4分,多空题6分,共24分)5.(2019届衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,14)已知ABC的面积为,A=60,D是边AC上一点,AD=2DC,BD=2,则AB=,cos C=.答案2;6.(2019届浙江名校新高考研究联盟第一次联考,14)在ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,A=60,且ABC外接圆的半径为,则a=,若b+c=3,则ABC的

42、面积为.答案3;7.(2018浙江名校协作体,14)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c=2b,sin C=,则sin B=;若2a2+b2+c2=4,则ABC面积的最大值是.答案;8.(2018浙江嘉兴教学测试(4月),14)设ABC的三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,已知a2+2b2=c2,则=;tan B的最大值为.答案-3;三、解答题(共20分)9.(2019届金丽衢十二校高三第一次联考,18)如图,在ABC中,已知点D在边AB上,AD=3DB,cos A=,cosACB=,BC=13.(1)求cos B的值;(2)求CD的长.解析(1)在ABC中,cos A=

43、,A(0,),所以sin A=.同理可得sinACB=.所以cos B=cos-(A+ACB)=-cos(A+ACB)=sin AsinACB-cos AcosACB=-=.(2)在ABC中,由正弦定理得AB=20.又AD=3DB,所以BD=AB=5.在BCD中,由余弦定理得CD=9.10.(2018浙江杭州二中期中,18)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知tan C=.(1)求角C的大小;(2)若ABC的外接圆直径为1,求a2+b2的取值范围.解析(1)tan C=,即=,sin Ccos A+sin Ccos B=sin Acos C+sin Bcos C,即sin Ccos A-sin Acos C=sin Bcos C-sin Ccos B,即sin(C-A)=sin(B-C),C-A=B-C或C-A=-(B-C)(舍去),2C=A+B,C=.(2)由(1)知C=,故设A=+,B=-+,其中-,外接圆半径为R,a=2Rsin A=sin A,b=2Rsin B=sin B.故a2+b2=sin2A+sin2B= (1-cos 2A)+ (1-cos 2B)=1+cos 2.-,-2,-cos 21,a2+b2.