挑战中考数学压轴题全套含答案可编辑范本

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1、第一部分 函数图象中点的存在性问题.1因动点产生的相似三角形问题例1 204年衡阳市中考第题例 04年益阳市中考第21题例3201年湘西州中考第2题例 15年张家界市中考第25题例5 206年常德市中考第26题例 26年岳阳市中考第24题例7 2016年上海市崇明县中考模拟第5题例 20年上海市黄浦区中考模拟第2题1.2因动点产生的等腰三角形问题 例9 2014年长沙市中考第26题例1 2014年张家界市第5题例1 201年邵阳市中考第26题例12 214年娄底市中考第7题例13 2015年怀化市中考第22题例14 201年长沙市中考第26题例5 2016年娄底市中考第题例6 206年上海市长

2、宁区金山区中考模拟第25题例7 21年河南省中考第2题例18 2016年重庆市中考第25题1.3 因动点产生的直角三角形问题例9 2015年益阳市中考第21题例20 2015年湘潭市中考第2题例21 01年郴州市中考第6题例2 216年上海市松江区中考模拟第5题例23 2016年义乌市绍兴市中考第2题1.4 因动点产生的平行四边形问题例24 01年岳阳市中考第24题例25 2014年益阳市中考第0题例26 2014年邵阳市中考第25题例27 1年郴州市中考第2题例28 5年黄冈市中考第4题例29 06年衡阳市中考第2题例3 206年上海市嘉定区宝山区中考模拟中考第24题例31 01年上海市徐汇

3、区中考模拟第24题15 因动点产生的面积问题例32 2014年常德市中考第2题例33 2014年永州市中考第5题例34 2014年怀化市中考第题例35 015年邵阳市中考第26题例36 201年株洲市中考第23题例37 205年衡阳市中考第28题例3 21年益阳市中考第22题例 2016年永州市中考第26题例40 20年邵阳市中考第26题例2016年陕西省中考第25题.6 因动点产生的相切问题例42 204年衡阳市中考第2题例43 014年株洲市中考第23题例4 2015年湘潭市中考第25题例5 2015年湘西州中考第25题例46 016年娄底市中考第25题例7 016年湘潭市中考第题例420

4、16年上海市闵行区中考模拟第24题例9 206年上海市普陀区中考模拟中考第25题17 因动点产生的线段和差问题例50 2014年郴州市中考第2题例5 2014年湘西州中考第25题例52 215年岳阳市中考第2题例53 015年济南市中考第28题例4 215年沈阳市中考第25题例5 2016年福州市中考第26题例 016年张家界市中考第24题例57 2016年益阳市中考第1题第二部分 图形运动中的函数关系问题2. 由比例线段产生的函数关系问题例1 20年常德市中考第2题例 204年湘潭市中考第25题例3 2年郴州市中考第25题例4 2015年常德市中考第25题例5 201年郴州市中考第26题例

5、01年邵阳市中考第25题例7 015年娄底市中考第题例 01年郴州市中考第25题例9 2016年湘西州中考第6题例10 2016年上海市静安区青浦区中考模拟第题例11 216年哈尔滨市中考第27题第三部分 图形运动中的计算说理问题3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 201年长沙市中考第25题例 201年怀化市中考第23题例3 2014年湘潭市中考第26题例4 204年株洲市中考第24题例5 2015年衡阳市中考第27题例 2015年娄底市中考第5题例 2015年永州市中考第2题例8 205年长沙市中考第25题例9 2015年株洲市中考第24题例1 2016年怀化市中考第22题例1 2

6、016年邵阳市中考第2题例226年株洲市中考第26题例13 2016年长沙市中考第25题例14 216年长沙市中考第26题32几何证明及通过几何计算进行说理问题例5 2014年衡阳市中考第26题例16 20年娄底市中考第26题例17 2014年岳阳市中考第题例18 015年常德市中考第26题例1 015年益阳市中考第20题例20 015年永州市中考第题例 05年岳阳市中考第3题例2 016年常德市中考第25题例 16年衡阳市中考第25题例2 2016年永州市中考第27题例25 2016年岳阳市中考第题例26 21年株洲市中考第题例7 20年湘潭市中考第题第四部分 图形的平移、翻折与旋转1 图形

7、的平移例1 015年泰安市中考第15题例2 205年咸宁市中考第14题例3 2015年株洲市中考第1题例4 216年上海市虹口区中考模拟第18题.2 图形的翻折例5 201年上海市奉贤区中考模拟第1题例 26年上海市静安区青浦区中考模拟第8题例7 26年上海市闵行区中考模拟第18题例8 2016年上海市浦东新区中考模拟第1题例8 2016年上海市普陀区中考模拟第1题例206年常德市中考第1题例1 2016年张家界市中考第14题例12 0年淮安市中考第18题例13 216年金华市中考第5题例14 016年雅安市中考第12题.3 图形的旋转例5 016年上海昂立教育中学生三模联考第1题例16 21

8、6年上海市崇明县中考模拟第18题例17 206年上海市黄浦区中考模拟第1题例1 21年上海市嘉定区宝山区中考模拟第18题例1 206年上海市闸北区中考模拟第1题例 2016年邵阳市中考第13题例1 06年株洲市中考第4题.4 三角形例2 20年安徽省中考第10题例2 206年武汉市中考第10题例24 26年河北省中考第1题例25 206年娄底市中考第10题例6 1年苏州市中考第9题例27 016年台州市中考第10题例28 2016年陕西省中考第14题例2 2016年内江市中考第11题例30 2016年上海市中考第18题4 四边形例31 2016年湘西州中考第11题例2 2016年益阳市中考第4

9、题例32016年益阳市中考第6题例 206年常德市中考第1题例5 20年成都市中考第题例36 2016年广州市中考第3题例37 216年福州市中考第18题例3 206年无锡市中考第17题例39 20年台州市中考第15题4.6 圆例4201年滨州市中考第1题例1 201年宁波市中考第1题例4 016年连云港市中考第16题例43 016年烟台市中考第1题例 16年烟台市中考第18题例45 2016年无锡市中考第8题例6 206年武汉市中考第9题例47 2016年宿迁市中考第16题例48 2016年衡阳市中考第7题例49 2016年邵阳市中考第8题例5 2016年湘西州中考第8题例1 2016年永州

10、市中考第20题.7函数的图象及性质例52 215年荆州市中考第9题例3 015年德州市中考第2题例54 201年烟台市中考第12题例55015年中山市中考第10题例56 205年武威市中考第0题例57 2015年呼和浩特市中考第10题例58 06年湘潭市中考第8题例59 6年衡阳市中考第题例0 0年岳阳市中考第15题例1 216年株洲市中考第题例62 2016年永州市中考第19题例 01年岳阳市中考第题例64 06年岳阳市中考第16题例65 01年益阳市中考第14题例66 16年株洲市中考第10题例7 206年株洲市中考第1题例68 01年东营市中考第15题例69 2016年成都市中考第13题

11、例70 016年泰州市中考第16题例71 206年宿迁市中考第15题例72 01年临沂市中考第14题例73 2016年义乌市绍兴市中考第题例7 20年淄博市中考第12题例5 2016年嘉兴市中考第16题1.1 因动点产生的相似三角形问题课前导学相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理和判定定理2都有对应角相等的条件,因此探求两个三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等判定定理2是最常用的解题依据,一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程,解方程并检验.如果已知A=D,探求ABC与DEF相似，只要把夹和D的两边表示出来,按照对应边成比例,分和两种情况列方程.应用判定定理1解题

12、，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等.应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组)还有一种情况,讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的,那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错理解记忆比较好如图1，如果已知、B两点的坐标，怎样求A、两点间的距离呢?我们以为斜边构造直角三角形,直角边与坐标轴平行,这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了.水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离,等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离,等于A、B两点的

13、纵坐标相减图1例 204年湖南省衡阳市中考第28题二次函数y2+x+c（a）的图象与x轴交于A(3, ）、B（1， ）两点，与轴交于点C(0，3）(m0),顶点为D(1)求该二次函数的解析式(系数用含m的代数式表示);()如图,当m=2时,点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设APC的面积为，试求出S与点的横坐标x之间的函数关系式及的最大值;(3)如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与OB相似？图1 图动感体验请打开几何画板文件名“14衡阳2”，拖动点P运动,可以体验到，当点运动到AC的中点的正下方时,PC的面积最大.拖动y轴上表示实数的点运动,抛物线的形状会改变,可以体验到，

14、ACD和都可以成为直角.思路点拨1用交点式求抛物线的解析式比较简便.连结OP，P可以割补为：AOP与CO的和,再减去AOC.3讨论AC与OC相似,先确定ACD是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似.直角三角形ACD存在两种情况图文解析()因为抛物线与轴交于A(3, 0)、B(1,0)两点，设y=a(x+3)(x）代入点（,3m),得3m=-3a解得a=m.所以该二次函数的解析式为m（3）(1)mx22mm（2)如图,连结OP.当m=2时,C(0,-6),y22+，那么P(， 2x24x6).由于AOP=（x+x-6)=-326x9， SCOP=3x,SA=9,所以=SAC=SAOPSOP-

15、SAC-3x2所以当时,S取得最大值，最大值为.图3 图4 图5（3）如图4,过点D作轴的垂线,垂足为E过点A作轴的垂线交于F由(+3)（x1)=m()24m,得D(-1，m)在RtOC中，OBO=13m如果AD与OBC相似，那么AD是直角三角形,而且两条直角边的比为13m如图4，当ACD90时,所以.解得m1此时,.所以.所以CDAC如图,当AD90时,.所以.解得此时,而.因此DC与OBC不相似综上所述，当m1时,CDOC考点伸展第（2)题还可以这样割补:如图6,过点P作x轴的垂线与AC交于点H由直线AC:y=-2x-6,可得H(x，2x6）.又因为P（x， 2x24x6),所以HP=-2

16、x-6.因为PAH与PC有公共底边HP,高的和为A、C两点间的水平距离3,所以S=PC=APHSCPH=(2-6x). 图例 2014年湖南省益阳市中考第21题如图1,在直角梯形ABCD中，AB/CD，AAB，B60,A=10，BC=4,点P沿线段AB从点A向点B运动,设A=x1jy(1)求D的长；(2)点P在运动过程中，是否存在以、D为顶点的三角形与以P、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值;若不存在,请说明理由；（3）设ADP与PB的外接圆的面积分别为S、2，若S=1S2，求的最小值。动感体验图请打开几何画板文件名“1益阳2”，拖动点P在AB上运动,可以体验到,圆心O的运动轨迹是线段B

17、C的垂直平分线上的一条线段观察S随点运动的图象,可以看到,S有最小值,此时点P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已思路点拨1第（2)题先确定CB是直角三角形,再验证两个三角形是否相似.2第（3)题理解PC的外接圆的圆心O很关键，圆心在确定的B的垂直平分线上,同时又在不确定的BP的垂直平分线上而BP与AP是相关的,这样就可以以A为自变量，求S的函数关系式.图文解析(）如图2,作CHA于H，那么A=CH.在RtBCH中,B6，BC=4，所以B，.所以AD（2)因为APD是直角三角形，如果PD与PCB相似，那么PCB一定是直角三角形如图3，当B90时，AP=102=8所以,而=.此时APD与PCB

18、不相似.图 图 图4如图4，当BCP=90时,BP2BC.所以P=2.所以=所以AP=60此时APDB.综上所述,当2时，APDCB（3）如图5,设DP的外接圆的圆心为G，那么点G是斜边DP的中点设PCB的外接圆的圆心为O，那么点在BC边的垂直平分线上，设这条直线与BC交于点，与AB交于点F设A2m作MBP于，那么BM=PM=5m.在RtBE中,BE2,=60，所以在RtOF中,FMBB4(5-）=m1，OFM=0,所以M.所以OB2=BM2+O2在RtDP中,P2=D2+AP1242所以GP23+m.于是SS+=(G2B)=.所以当时,S取得最小值,最小值为图5 图考点伸展关于第（）题,我们

19、再讨论个问题问题，为什么设Pm呢?这是因为线段A=APP+MA+M10.这样M,后续可以减少一些分数运算这不影响求S的最小值问题2,如果圆心在线段EF的延长线上，关于m的解析式是什么？如图6，圆心在线段EF的延长线上时，不同的是FM=BMF=(5-m)41-此时O2=M2M2=这并不影响S关于的解析式.例 25年湖南省湘西市中考第26题如图1,已知直线=x+3与轴、y轴分别交于A、两点,抛物线=-x2+bx经过A、B两点,点P在线段O上,从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时,点Q在线段AB上，从点A出发，向点以每秒个单位的速度匀速运动，连结PQ，设运动时间为t秒(1）求抛物线的

20、解析式；()问：当t为何值时,AQ为直角三角形；（3）过点P作PE/轴,交A于点,过点Q作QF/y轴,交抛物线于点,连结EF,当EF/PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ,问：是否存在t的值,使以B、Q、M为顶点的三角形与以、B、P为顶点的三角形相似？若存在,请求出t的值；若不存在，请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“15湘西2”，拖动点P在O上运动，可以体验到，APQ有两个时刻可以成为直角三角形,四边形EPF有一个时刻可以成为平行四边形,MBQ与BOP有一次机会相似思路点拨在PQ中，4,夹A的两条边、AQ都可以用表示,分两种情况讨论直角三角形APQ.2先

21、用含的式子表示点、Q的坐标，进而表示点E、F的坐标,根据PEQF列方程就好了3MBQ与BP都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论.图文解析(1)由y=-x,得A(3， ）,B(0，3)将A(3, )、B（0， )分别代入=x2b+c，得解得所以抛物线的解析式为y=-x2+23()在APQ中，Q=5,APt，AQ=.分两种情况讨论直角三角形APQ:当A9时,AP=AQ解方程3t=t,得t1(如图2)当QPA=90时,AAP.解方程=(3-）,得t15（如图).图 图(3）如图,因为PE/QF,当E/PQ时，四边形PQF是平行四边形所以EPF.所以yE-yPyF-yQ.因为Pt，xQ=

22、3-t,所以E3t,yQt,F=(3）2+2(t）+3=-t4.因为yE-PF-y，解方程3(t2+4t)-t，得t=,或t=3（舍去)所以点F的坐标为（2, 3)图4 图5(4)由y=+2x+=（1）2+4,得M（1,)由A（, 0)、B(, ),可知A、B两点间的水平距离、竖直距离相等,AB3.由B（0， 3）、M（1, 4),可知B、M两点间的水平距离、竖直距离相等，M.所以MB=BOP9.因此MBQ与相似存在两种可能:当时,解得（如图5)当时,整理，得t3t+30.此方程无实根考点伸展第（3)题也可以用坐标平移的方法:由P(t, ),E(t, 3-t),Q(3t, t）,按照E方向,将

23、点向上平移,得F（3-t, 3).再将F(3-t, 3)代入yx2+2+3，得t=1,或=3.1 因动点产生的等腰三角形问题课前导学我们先回顾两个画图问题:1.已知线段AB=5厘米,以线段AB为腰的等腰三角形AC有多少个?顶点C的轨迹是什么？2已知线段B=6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆,圆上除了两个点以外,都是顶点.已知底边画等腰三角形,顶角的顶点在底边的垂直平分线上,垂足要除外在讨论等腰三角形的存在性问题时,一般都要先分类如果ABC是等腰三角形，那么存在AB=A，BA,C=CB三种情况解等腰三角形的存在性问题,有几何法和

24、代数法,把几何法和代数法相结合,可以使得解题又好又快.几何法一般分三步：分类、画图、计算哪些题目适合用几何法呢？如果A的A(的余弦值)是确定的,夹A的两边AB和A可以用含的式子表示出来,那么就用几何法如图1，如果AB=AC，直接列方程;如图2，如果AB,那么;如图3,如果CA=,那么代数法一般也分三步：罗列三边长,分类列方程,解方程并检验如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式,三边长（的平方）就可以罗列出来图 图2 图3 例 9 2014年长沙市中考第26题如图1,抛物线y=ax+c（a、b、c是常数，a0）的对称轴为y轴,且经过(0

25、，0)和两点,点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的P总经过定点A（0， 2）(1）求a、c的值；(2)求证：在点P运动的过程中,P始终与x轴相交；(3)设P与x轴相交于(x1,0）、(x2， )两点,当AM为等腰三角形时,求圆心的纵坐标.图1动感体验请打开几何画板文件名“4长沙26”，拖动圆心P在抛物线上运动,可以体验到,圆与x轴总是相交的，等腰三角形N存在五种情况.思路点拨1.不算不知道,一算真奇妙，原来P在x轴上截得的弦长MN=4是定值2.等腰三角形MN存在五种情况,点的纵坐标有三个值,根据对称性，AN和NA=N时,点P的纵坐标是相等的图文解析(1)已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y=a

26、x2所以b,c0.将代入ax2,得解得(舍去了负值）.（2）抛物线的解析式为,设点P的坐标为已知A(， ),所以.而圆心P到轴的距离为,所以半径PA圆心P到x轴的距离所以在点运动的过程中,P始终与轴相交.(3）如图2,设M的中点为H，那么PH垂直平分M在RtPH中，,所以H2=4所以MH=2.因此MN4,为定值.等腰AN存在三种情况:如图,当AM=A时,点P为原点O重合,此时点的纵坐标为图2 图如图4,当MA=MN时,在tAM中，OA=2,AM=4，所以M=此时x=OH=2所以点P的纵坐标为.如图5，当NANM时,根据对称性,点P的纵坐标为也为图 图5如图6,当NANM时,在RtON中,A2,

27、N=4,所以ON2.此时xO=2.所以点P的纵坐标为如图7，当MN=MA=时,根据对称性,点的纵坐标也为图6 图考点伸展如果点P在抛物线上运动，以点P为圆心的P总经过定点B（0, 1）,那么在点P运动的过程中,P始终与直线=-1相切这是因为：设点P的坐标为已知（0, ）,所以.而圆心P到直线=-的距离也为，所以半径PB=圆心P到直线1的距离所以在点运动的过程中,P始终与直线y=-1相切例0 201年湖南省张家界市中考第2题如图1，在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=a2b+(a0)过O、C三点,B、坐标分别为(1， 0）和,以OB为直径的A经过C点,直线垂直x轴于B点（1)求直线BC的

28、解析式;（2)求抛物线解析式及顶点坐标;(3）点M是上一动点(不同于O、B)，过点M作的切线,交y轴于点E,交直线l于点F，设线段M长为m,MF长为n,请猜想mn的值,并证明你的结论;（）若点从出发,以每秒1个单位的速度向点作直线运动,点Q同时从B出发，以相同速度向点C作直线运动，经过t（0t8)秒时恰好使PQ为等腰三角形,请求出满足条件的t值图 图1 动感体验请打开几何画板文件名“14张家界”,拖动点在圆上运动,可以体验到,EA保持直角三角形的形状,M是斜边上的高拖动点在BC上运动,可以体验到，PQ有三个时刻可以成为等腰三角形. 思路点拨1.从直线C的解析式可以得到OBC的三角比，为讨论等腰

29、三角形BPQ作铺垫2设交点式求抛物线的解析式比较简便3.第(3）题连结E、AF容易看到AM是直角三角形EF斜边上的高.4.第(4）题的PQ中,B是确定的,夹B的两条边可以用含t的式子表示.分三种情况讨论等腰三角形图文解析(1)直线BC的解析式为.()因为抛物线与轴交于O、B(10,0)两点,设yx(-10)代入点C,得.解得所以.抛物线的顶点为.（)如图2，因为F切于,所以AMF由A=AE,AO=AM,可得RtAERtAME所以1=2同理3=.于是可得A=90.所以51由an5a1，得所以MEMFA2，即25. 图2()在BPQ中，os，P10-t，Q=.分三种情况讨论等腰三角形BQ：如图,当

30、BPQ时，1tt解得t5如图4，当PBPQ时，.解方程,得.如图,当B=Q时,.解方程,得图3 图4 图5考点伸展在第(3)题条件下,以EF为直径的G与x轴相切于点A如图6,这是因为AG既是直角三角形EA斜边上的中线，也是直角梯形EOBF的中位线,因此圆心G到x轴的距离等于圆的半径,所以G与x轴相切于点A.图6例 11 2014年湖南省邵阳市中考第6题在平面直角坐标系中，抛物线=x-(）xmn（n)与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧),与y轴相交于点C.(1）若2,n,求A、两点的坐标;（2)若、B两点分别位于y轴的两侧,C点坐标是(0，1）,求ACB的大小；（3）若m=2,ABC是等

31、腰三角形,求的值动感体验请打开几何画板文件名“14邵阳2”,点击屏幕左下方的按钮（2),拖动点A在x轴正半轴上运动，可以体验到，BC保持直角三角形的形状.点击屏幕左下方的按钮（3），拖动点B在x轴上运动,观察ABC的顶点能否落在对边的垂直平分线上,可以体验到，等腰三角形ABC有种情况.思路点拨1抛物线的解析式可以化为交点式,用m,n表示点、C的坐标.第(2）题判定直角三角形ABC,可以用勾股定理的逆定理,也可以用锐角的三角比3第（3)题讨论等腰三角形AB，先把三边长(的平方）罗列出来，再分类解方程图文解析（）由2-(mn)xmn(x-m）（x)，且,点位于点B的右侧，可知A（m, 0），(n，

32、 0).若m=,n1，那么A(2，0）,B（1, )(2)如图1，由于（0， m),当点C的坐标是(0，-1),mn=，OC1若A、B两点分别位于y轴的两侧,那么OAOB=m(n）=-mn=所以O2OAB所以所以tn1=tan2.所以12又因为1与3互余,所以2与互余所以CB=9图1 图2 图3（3)在ABC中,已知A（2， 0),(n, 0),C(0， 2n）讨论等腰三角形ABC,用代数法解比较方便：由两点间的距离公式，得AB2(n-）2，BC2n2，24+4n2当ABAC时，解方程(n-）24,得(如图2)当CACB时,解方程44n2=5n2，得-2（如图3），或2(、B重合,舍去）当BA

33、BC时，解方程(n-2)2=5n2,得（如图4）,或(如图5）.图 图5考点伸展第（2)题常用的方法还有勾股定理的逆定理由于C(0， mn），当点C的坐标是(0,1）,mn=-.由A(m, 0），B（n， 0）,C(0，-1），得AB2=(m-)m22mnn22+n2+2,BC2n2+1，AC2m2+1所以B2=C2AC2.于是得到RtBC,C第(3)题在讨论等腰三角形A时,对于CCB的情况,此时A、两点关于y轴对称,可以直接写出B(-2,0),n=.例12 204年湖南省娄底市中考第27题如图1,在AC中,ACB=0,AC4cm，B=3cm.如果点P由点B出发沿A方向向点A匀速运动,同时点Q

34、由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为cm/.连结PQ，设运动时间为t(s）(0t4），解答下列问题：(1)设AP的面积为S，当为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（)如图2,连结PC,将PQC沿QC翻折,得到四边形P，当四边形PQPC为菱形时，求t的值；（）当为何值时,PQ是等腰三角形？图1 图动感体验请打开几何画板文件名“1娄底27，拖动点Q在A上运动,可以体验到,当点P运动到AB的中点时,APQ的面积最大，等腰三角形PQ存在三种情况还可以体验到,当QC=HC时，四边形PQPC是菱形.思路点拨在AP中，A是确定的，夹A的两条边可以用含t的式子表示2.四边形P的对角线保持垂

35、直,当对角线互相平分时，它是菱形,.图文解析(1）在RtC中,C=，C=3,所以AB=5，sinA=，co=.作DA于D，那么QAiA=t所以SSPQ当时，S取得最大值,最大值为.（2)设PP与AC交于点H,那么PPC,A=PcosA如果四边形PQPC为菱形,那么Q=P.所以Q=2H解方程,得.图3 图(3)等腰三角形AP存在三种情况:如图5,当APAQ时，5-tt.解得如图，当AP时,解方程，得如图7，当QAQP时,.解方程，得图5 图 图7考点伸展在本题情境下，如果点Q是PC的重心，求t的值.如图8，如果点Q是PPC的重心,那么QHC解方程，得图8例 13 25年湖南省怀化市中考第22题如

36、图1，已知RtABC中,C0,AC,BC6,点P以每秒1个单位的速度从向C运动,同时点Q以每秒2个单位的速度从A方向运动，它们到C点后都停止运动，设点、Q运动的时间为秒(1)在运动过程中，求、Q两点间距离的最大值；()经过秒的运动,求AC被直线PQ扫过的面积与时间t的函数关系式;（3),Q两点在运动过程中,是否存在时间t，使得PQ为等腰三角形若存在，求出此时的t值，若不存在，请说明理由.(，结果保留一位小数）图动感体验请打开几何画板文件名“5怀化2”，拖动点在AC上运动，可以体验到,PQ与BD保持平行,等腰三角形PQC存在三种情况.思路点拨.过点作Q的平行线交A于D，那么D的长就是PQ的最大值

37、2.线段PQ扫过的面积S要分两种情况讨论，点Q分别在AB、BC上.3等腰三角形Q分三种情况讨论，先罗列三边长.图文解析（1)在RABC中,AC8,BC6,所以=10如图2,当点在AB上时，作BD/PQ交C于点D，那么所以AD5所以D3如图3,当点在C上时,又因为,所以因此P/BD.所以PQ的最大值就是BD在RC中，BC=，=3,所以B.所以的最大值是.图 图3 图(2)如图2,当点Q在AB上时，0t5，SABD15由APABD，得.所以SSAP=.如图3,当点Q在C上时,5t,SAB=2.因为CQP=,所以SABCCQP=24-（t-8）2=-t216t-40（3)如图3,当点Q在BC上时，P

38、，9,所以PQC不可能成为等腰三角形.当点Q在AB上时,我们先用表示PC的三边长:易知Pt.如图2，由QP/B，得,即.所以.如图,作QA于H.在QH中，A sinA=，A=.在RtCH中,由勾股定理,得C=.分三种情况讨论等腰三角形QC:(1)当C=Q时，解方程,得3。4（如图5所示)当Q=QP时,整理,得.所以(1t40)(t-8）0.解得3。6(如图6所示),或t=8(舍去).当CPCQ时，整理,得解得=3。（如图7所示),或t=0（舍去).综上所述，当t的值约为3.4,3.6,或等于3。时,PQC是等腰三角形.图5 图6 图考点伸展第（1)题求P、Q两点间距离的最大值,可以用代数计算说

39、理的方法:如图8,当点Q在AB上时,PQ=.当Q与B重合时，PQ最大,此时t，PQ的最大值为如图9，当点在BC上时，PQ=.当Q与B重合时,PQ最大，此时t=5,Q的最大值为综上所述,PQ的最大值为.图 图9. 因动点产生的直角三角形问题课前导学我们先看三个问题:1.已知线段AB,以线段B为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么?已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形A有多少个？顶点C的轨迹是什么？3.已知点A（,)，如果OAB是等腰直角三角形,求符合条件的点B的坐标.图1 图2 图如图,点C在垂线上，垂足除外.如图2,点在以AB为直径的圆上，A、两点除外如图,以为边画两个正

40、方形，除了O、两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共个解直角三角形的存在性问题,一般分三步走，第一步寻找分类标准,第二步列方程，第三步解方程并验根.一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程.有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起.如果直角边与坐标轴不平行,那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形,这样列比例方程比较简便.如图4,已知A(3， )，B(,-4),如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标.我们可以用几何的方法,作B为直径的

41、圆，快速找到两个符合条件的点C如果作BDy轴于D,那么ACB.设Om，那么这个方程有两个解,分别对应图中圆与轴的两个交点 图4例 1 2015年湖南省益阳市中考第21题如图1,已知抛物线E1:=x2经过点(,m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(,2)，点A、B关于y轴的对称点分别为点A、B.(）求的值及抛物线2所表示的二次函数的表达式;（2)如图1,在第一象限内,抛物线E1上是否存在点Q，使得以点、B为顶点的三角形为直角三角形?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(）如图2,P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点,连结并延长与抛物线2相交于点P，求PA与PBB的面积之比图1

42、 图2动感体验请打开几何画板文件名“15益阳21”，拖动点P在抛物线E1上运动,可以体验到，点P始终是线段O的中点还可以体验到,直角三角形BB有两个思路点拨1.判断点P是线段P的中点是解决问题的突破口,这样就可以用一个字母表示点P、P的坐标2.分别求线段ABB，点P到AA的距离点P到BB的距离,就可以比较PAA与PBB的面积之比.图文解析（1)当x=时,y=x2=1,所以(1, 1），.设抛物线E2的表达式为y=ax2，代入点B(2，2)，可得=.所以y=x.(2）点Q在第一象限内的抛物线E1上,直角三角形QB存在两种情况：图 图4如图,过点B作BB的垂线交抛物线E1于Q,那么（， 4).如图

43、4，以B为直径的圆D与抛物线E交于点，那么QD=2设Q(x, x2)，因为D（0, ）,根据QD24列方程2+(22)2=4.解得=.此时Q（3）如图，因为点P、分别在抛物线E1、上,设P(b， b2）,(, ）因为、P、P三点在同一条直线上，所以,即所以c=2b.所以P(， 2）.如图，由A(1,1)、(，2),可得AA2,BB由A（1, )、P(b, 2）,可得点P到直线A的距离M =21.由B(2,2）、P(2,2b)，可得点P到直线BB的距离PN=2b22所以PA与PBB的面积比=2(b21）(2b2-2）=14图5 图6考点延伸第(2)中当BB90时,求点Q(x， x）的坐标有三种常

44、用的方法:方法二，由勾股定理,得BQ+BQ2BB2.所以(2)2+（x2-2)（x2）+(x2-2）2.方法三,作BB于，那么QH2HB所以(x2-)（+2) (-x)例 20 5年湖南省湘潭市中考第2题如图1,二次函数y=2bxc的图象与x轴交于A(1, 0)、B（3，0)两点,与y轴交于点C，连结BC.动点以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，动点Q以每秒个单位长度的速度从点B向点运动，P、Q两点同时出发，连结Q，当点Q到达点C时，、Q两点同时停止运动设运动的时间为t秒（）求二次函数的解析式；(2）如图1,当BQ为直角三角形时，求t的值；（3)如图2,当t2时，延长Q交y轴于点M,在抛

45、物线上是否存在一点N,使得PQ的中点恰为MN的中点,若存在，求出点N的坐标与的值;若不存在，请说明理由.图1图动感体验请打开几何画板文件名“15湘潭”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，PQ有两次机会可以成为直角三角形.还可以体验到，点N有一次机会可以落在抛物线上思路点拨1分两种情况讨论等腰直角三角形.如果PQ的中点恰为N的中点，那么MQ=N,以MQ、NP为直角边可以构造全等的直角三角形,从而根据直角边对应相等可以列方程.图文解析（）因为抛物线2xc与x轴交于A（1, ）、B(3, 0)两点,所以y=()(x3）x22x3.(2)由A(1, )、B（, )、C(0,3),可得AB=4，AB=4

46、5在BP中，=45，BP4，Q=t直角三角形BPQ存在两种情况：当BPQ90时,BQ=P解方程t=(4t),得t(如图)当BQ=时,PQ解方程-t=2t,得(如图4).图 图 图(3）如图5，设Q的中点为G,当点G恰为MN的中点时,MQP作QE轴于,作x轴于,作x轴于H,那么MQNPF由已知条件,可得(t-1， 0),Q（3-t,).由QE=PF,可得x=xNxP，即3t=xN(t-).解得xN=2将x2代入=(+1）(x3）,得y=3.所以N（,3）.由H/F，得,即.整理,得t2-9t+1=0.解得因为t,所以取.考点伸展第(3）题也可以应用中点坐标公式,得.所以x2x2.4 因动点产生的

47、平行四边形问题课前导学我们先思考三个问题：1已知A、B、C三点,以、B、C、为顶点的平行四边形有几个,怎么画？2.在坐标平面内，如何理解平行四边形ABC的对边B与DC平行且相等？3.在坐标平面内,如何理解平行四边形A的对角线互相平分？图1 图2 图3如图1,过ABC的每个顶点画对边的平行线,三条直线两两相交,产生三个点D.如图,已知A(0,）,B(-2， 0）,C(,1），如果四边形AB是平行四边形，怎样求点D的坐标呢？点B先向右平移2个单位，再向上平移3个单位与点A重合，因为BA与D平行且相等,所以点C(3, 1) 先向右平移个单位，再向上平移3个单位得到点D(5, 4).如图3，如果平行四

48、边形ABCD的对角线交于点G,那么过点G画任意一条直线(一般与坐标轴垂直），点A、C到这条直线的距离相等,点B、到这条直线的距离相等关系式x+x=B+D和Ay=y+yD有时候用起来很方便.我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合如图4,点A是抛物线=x22x3在轴上方的一个动点,Bx轴于点,线段AB交直线x-于点C,那么点A的坐标可以表示为(x，x22x+3),点的坐标可以表示为(x，1)，线段AB的长可以用点A的纵坐标表示为A=x2+23，线段C的长可以用A、C两点的纵坐标 图4表示为CyyC=（-x22x+)-(1)=-+x+2 通俗地说，数形结合就是：点在图象上,可以用图象的解析式表示点的

49、坐标,用点的坐标表示点到坐标轴的距离.例 24 014年湖南省岳阳市中考第24题如图1,抛物线经过A(， ）、（, 0)、C三点设点E(x, y)是抛物线上一动点，且在x轴下方,四边形OEB是以OB为对角线的平行四边形.(1)求抛物线的解析式;(2）当点(x,y）运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值；（3)是否存在这样的点E，使平行四边形OB为正方形？若存在,求点E、F的坐标;若不存在,请说明理由.图 动感体验请打开几何画板文件名“14岳阳24”，拖动点E运动,可以体验到,当点E运动到抛物线的顶点时,S最大当点E运动到O的垂直平分线上时,四边形OBF恰好是正方形.思路点拨1.平行四边形OEF的面积等于O面积的2倍2.第(）题探究正方形OEB,先确定点在O的垂直平分线上,再验证O=B图文解析（)因为抛物线与x轴交于A（1， )、(,0)两点,设ya(x)(x）.代入点，得.解得所以抛物线的解析式为（2）因为S平行四边形BF=OBEB(-yE)=.所以当x时,S取得最大值,最大值为此时点E是抛物线的顶点(如图2)(3）如果平行四边形OF是正方形，那么点E在OB的垂直平分线上，且E=EB.当x=时,.此时E.如图3，设EF与O交于点D，恰好OD.所以OE是等腰直角三角形所以平行四边形