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1、2022年高考数学一轮复习 第十三篇 推理证明、算法、复数 第4讲数学归纳法教案 理 新人教版【xx年高考会这样考】1数学归纳法的原理及其步骤2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题【复习指导】复习时要抓住数学归纳法证明命题的原理，明晰其内在的联系，把握数学归纳法证明命题的一般步骤，熟知每一步之间的区别联系，熟悉数学归纳法在证明命题中的应用技巧基础梳理1归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法2数学归纳法(1)数学归纳法：设Pn是一个与正整数相关的命题集合，如果：证明起始命题P1(或P0)成立；
2、在假设Pk成立的前提下，推出Pk1也成立，那么可以断定Pn对一切正整数成立(2)用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：归纳奠基：证明当取第一个自然数n0时命题成立；归纳递推：假设nk，(kN*，kn0)时，命题成立，证明当nk1时，命题成立；由得出结论 两个防范数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据”，两个步骤缺一不可，在证明过程中要防范以下两点：(1) 第一步验证nn0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值(2)第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明nk1时，命题也成立的过程中一定要用到它，否则就
3、不是数学归纳法第二步关键是“一凑假设，二凑结论”三个注意运用数学归纳法应注意以下三点：(1)nn0时成立，要弄清楚命题的含义(2)由假设nk成立证nk1时，要推导详实，并且一定要运用nk成立的结论(3)要注意nk到nk1时增加的项数双基自测1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验第一个值n0 等于()A1 B2 C3 D0解析边数最少的凸n边形是三角形答案C2利用数学归纳法证明不等式1f(n)(n2，nN*)的过程，由nk到nk1时，左边增加了()A1项 Bk项 C2k1项 D2k项解析1，共增加了2k项，故选D.答案D3用数学归纳法证明：“1aa2an1(a1，nN
4、*)”在验证n1时，左端计算所得的项为()A1 B1a C1aa2 D1aa2a3答案C4某个命题与自然数n有关，若nk(kN*)时命题成立，那么可推得当nk1时该命题也成立，现已知n5时，该命题不成立，那么可以推得()An6时该命题不成立 Bn6时该命题成立Cn4时该命题不成立 Dn4时该命题成立解析法一由nk(kN*)成立，可推得当nk1时该命题也成立因而若n4成立，必有n5成立现知n5不成立，所以n4一定不成立法二其逆否命题“若当nk1时该命题不成立，则当nk时也不成立”为真，故“n5时不成立”“n4时不成立”答案C5用数学归纳法证明不等式的过程中，由nk推导nk1时，不等式的左边增加的
5、式子是_解析不等式的左边增加的式子是，故填.答案考向一用数学归纳法证明等式【例1】用数学归纳法证明：tan tan 2tan 2tan 3tan(n1)tan nn(nN*，n2)审题视点 注意第一步验证的值，在第二步推理证明时要注意把假设作为已知证明(1)当n2时，右边22tan tan 2左边，等式成立(2)假设当nk(kN*且k2)时，等式成立，即tan tan 2tan 2tan 3tan(k1)tan kk，那么当nk1时，tan tan 2tan 2tan 3tan(k1)tan ktan ktan(k1)ktan ktan(k1)1tan ktan(k1)(k1)(k1)(k1)
6、这就是说，当nk1时等式也成立由(1)(2)知，对任何nN*且n2，原等式成立 用数学归纳法证明等式时，要注意第(1)步中验证n0的值，如本题要取n02，在第(2)步的证明中应在归纳假设的基础上正确地使用正切的差角公式【训练1】 用数学归纳法证明：对任意的nN*，.证明(1)当n1时，左边，右边，左边右边，所以等式成立(2)假设当nk(kN*且k1)时等式成立，即有，则当nk1时，所以当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，对一切nN*等式都成立考向二用数学归纳法证明整除问题【例2】是否存在正整数m使得f(n)(2n7)3n9对任意自然数n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并证明你的结
7、论；若不存在，说明理由审题视点 观察所给函数式，凑出推理要证明所需的项解由f(n)(2n7)3n9得，f(1)36，f(2)336，f(3)1036，f(4)3436，由此猜想：m36.下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，显然成立；(2)假设nk(kN*且k1)时，f(k)能被36整除，即f(k)(2k7)3k9能被36整除；当nk1时，2(k1)73k19(2k7)3k1272723k193(2k7)3k918(3k11)，由于3k11是2的倍数，故18(3k11)能被36整除，这就是说，当nk1时，f(n)也能被36整除由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)(2n7)3n9能被36
8、整除，m的最大值为36. 证明整除问题的关键“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出nk时的情形，从而利用归纳假设使问题获证【训练2】 用数学归纳法证明an1(a1)2n1(nN*)能被a2a1整除证明(1)当n1时，a2(a1)a2a1可被a2a1整除(2)假设nk(kN*且k1)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1a(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1，由假设可知aak1(a1)2k1能被a2a1整除，(a2a1)(a1)2k1也能被a2a1整除
9、，ak2(a1)2k1也能被a2a1整除，即nk1时命题也成立，对任意nN*原命题成立考向三用数学归纳法证明不等式【例3】用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式均成立审题视点 本题用数学归纳法证明不等式，在推理过程中用放缩法，要注意放缩的“度”证明(1)当n2时，左边1；右边.左边右边，不等式成立(2)假设nk(k2，且kN*)时不等式成立，即.则当nk1时，.当nk1时，不等式也成立由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立 在由nk到nk1的推证过程中，应用放缩技巧，使问题得以简化，用数学归纳法证明不等式问题时，从nk到nk1的推证过程中，证明不等式的常用方法有比较法
10、、分析法、综合法、放缩法等【训练3】 已知函数f(x)x3x，数列an满足条件：a11，an1f(an1)试比较与1的大小，并说明理由解f(x)x21，an1f(an1)，an1(an1)21.函数g(x)(x1)21x22x在区间1，)上单调递增，于是由a11，得a2(a11)21221，进而得a3(a21)21241231，由此猜想：an2n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：当n1时，a12111，结论成立；假设nk(k1且kN*)时结论成立，即ak2k1，则当nk1时，由g(x)(x1)21在区间1，)上单调递增知，ak1(ak1)2122k12k11，即nk1时，结论也成立由、知，对任
11、意nN*，都有an2n1.即1an2n，1n1.考向四归纳、猜想、证明【例4】数列an满足Sn2nan(nN*)(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想审题视点 利用Sn与an的关系式求出an的前几项，然后归纳出an，并用数学归纳法证明解(1)当n1时，a1S12a1，a11.当n2时，a1a2S222a2，a2.当n3时，a1a2a3S323a3，a3.当n4时，a1a2a3a4S424a4，a4.由此猜想an(nN*)(2)证明当n1时，左边a11，右边1，左边右边，结论成立假设nk(k1且kN*)时，结论成立，即ak，那么nk1时，a
12、k1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak，ak1，这表明nk1时，结论成立，由知猜想an成立 (1)归纳、猜想、证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例从特例入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律(2)数列是定义在N*上的函数，这与数学归纳法所运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用数学归纳法解决【训练4】 由下列各式1，11，1，12，1，你能得到怎样的一般不等式，并加以证明答案猜想：第n个不等式为1(nN*)(1)当n1时，1，猜想正确(2)假设当nk(k1且kN*)时猜想正确，
13、即1，那么，当nk1时，1.即当nk1时，不等式成立对于任意nN*，不等式恒成立阅卷报告20由于方法选择不当导致失误【问题诊断】 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题时，关键在于弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项，其难点在于归纳假设后，如何推证对下一个正整数值命题也成立.【防范措施】 把归纳假设当做已知条件参加推理.明确对下一个正整数值命题成立的目标，通过适当的变换达到这个目标，这里可以使用综合法，也可以使用分析法，甚至可以再次使用数学归纳法.【示例】 在数列an、bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，b
14、n，an1，bn1成等比数列(nN*)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：.实录(1)由条件得2bnanan1，abnbn1.由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜测ann(n1)，bn(n1)2.用数学归纳法证明：当n1时，由上可得结论成立假设当nk(k1且kN*)时，结论成立，即akk(k1)，bk(k1)2，那么当nk1时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1(k2)2，所以当nk1时，结论也成立由，可知ann(n1)，bn(n1)2对一切正整数都成立错因第二问由于不等式的右端为常数，结论本身是不能用数学归纳法证明的，可考虑用放缩法证明，也可考虑加强不等式后，用数学归纳法证明(2)当n1时假设nk(kN*)时不等式成立即当nk1时到此无法用数学归纳法证明正解(1)用实录(1)(2)证明：.n2时，由(1)知anbn(n1)(2n1)2(n1)n.故.综上，原不等式成立
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