2022-2023学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(183)

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1、2022-2023学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(183)一、 填空题（每小题8分，共64分）1. 已知互异的复数满足，集合.则.2. 已知正整数使得函数的最大值也为正整数.则函数的最大值为.3. 在正项等比数列中，.则满足的最大正整数的值为.4. 已知函数，任取，记函数在区间上的最大值为，最小值为.则函数的值域为.5. 在直角坐标平面上，已知点，为线段上的动点.若恒成立，则正实数的最小值为.6. 记表示不超过实数的最大整数.设集合.则所表示的平面区域的面积为.7. 如图1，已知正三棱锥的所有棱长均为4，点分别在棱上.则满足的共有个.8. 已知.则正整数的乘积能被整除的情形有种.二、解答题（共

2、56分）9.（16分）已知函数,其中，为正常数.若恰有两组解，使得在定义域上的值域也为，求的取值范围.10.（20分）已知数列满足，对于所有正整数有.求使得成立的最小正整数.11.（20分）已知的三个顶点在椭圆上，坐标原点为的重心.证明：的面积为定值.一、（40分）如图2，已知内切圆分别与边切于点，直线分别与交于另一点.证明：.二、（40分）对正合数，记为其最小的三个正约数之和，为其最大的两个正约数之和.求所有的正合数，使得为的某个正整数次幂.三、（50分）设正整数.求的最大值，使得对所有满足，且的实数均有.四、(50分)一次循环赛中有支参赛队,其中每队与其他队均只进行一场比赛,且比赛结果中没有平局.若三支参赛队满足:击败,击败,击败,则称它们形成一个“环形三元组”.求（1）环形三元组的最小可能数目；（2）环形三元组的最大可能数目.