（浙江版）备战2018高考数学二轮复习 专题1.5 立体几何与向量方法教学案

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1、专题1.5 立体几何与向量方法【考情动态】考 点最新考纲5年统计1.空间几何体的结构及其三视图和直观图1了解多面体和旋转体的概念，理解柱、锥、台、球的结构特征。2理解简单空间图形 (柱、锥、台、球的简易组合) 的含义，了解中心投影的含义，掌握平行投影的含义。3理解三视图和直观图间的关系，掌握三视图所表示的空间几何体。会用斜二测法画出它们的直观图。2013浙江文5,20；理10,12,20;2014浙江文3,20；理3,20;2015浙江文2,18；理2,13,17； 2016浙江文9,18；理11,17;2017浙江3,9,19.2.空间几何体的表面积与体积会计算柱、锥、台、球的表面积和体积.

2、2013浙江文5；理12;2014浙江文3；理3；2015浙江文2 ；理2；; 2016浙江文9；理11,14;2017浙江3.3.空间点、线、面的位置关系了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义，掌握公理、判定定理和性质定理；了解两点间距离、点到平面的距离的含义。理解两条异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的概念。2013浙江文20；理10; 2014浙江文6；理20;2015浙江文4,7；理8,13; 2016浙江文2,14；理2;2017浙江9,19.4.直线、平面平行的判定与性质掌握公理、判定定理和性质定理.2013浙江理10,20;2015浙江文4; 2016浙江文2

3、；理2;2017浙江19.5.直线、平面垂直的判定与性质掌握公理、判定定理和性质定理.2013浙江文20；理10;2014浙江文6,20；理20;2015浙江文4，18；理17; 2016浙江文2.18；理2,17;2017浙江19.6.空间直角坐标系、空间向量及其运算1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。3掌握空间向量的加、减、数乘、数量积的定义、坐标表示的运算。4掌握空间两点间的距离公式，会求向量的长度、两向量夹角，并会解决简单的立体几何问题。2015浙江文18；理17. 7.立体几何

4、中的向量方法(1)理解直线的方向向量与平面的法向量.(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).2015浙江文18；理17；2016浙江理17;【热点重温】热点一空间几何体的三视图及表面积体积【典例1】【2017浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是AB C D【答案】A【对点训练】【2017课标II，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）A B C

5、 D【答案】B【解析】【典例2】【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为ABCD【答案】B【解析】 【对点训练】【2018届河南省洛阳市高三期中】在三棱锥中，底面是直角三角形，其斜边， 平面，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据已知，可将三棱锥补成一个长方体，如下图：则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由于，且是直角三角形， 平面， 长方体的对角线长为， 三棱锥的外接球的半径， 三棱锥的外接球的表面积为，故选A. 【典例3】【2017天津，理10】已知一个正方体的所有顶点在一个球

6、面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .【答案】 【对点训练】【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_.【答案】【解析】【考点】简单几何体的体积【考向预测】通过对近几年高考试题的分析可看出,空间几何体的命题形式比较稳定,多为选择题或填空题,有时也出现在解答题的某一

7、问中,题目难度常为中低档题.考查的重点是直观图、三视图、面积与体积等知识,此类问题多为考查三视图的还原问题,且常与空间几何体的表面积、体积等问题交汇,是每年必考的内容.对空间几何体的三视图的考查目标是考查考生的空间想象能力;对表面积和体积的考查,常见形式为蕴涵在两个几何体的“切”或“接”形态中,或以三视图为载体进行综合考查,此内容还要注意强化几何体的核心截面以及补形、切割等数学思想方法的训练.热点二 空间平行、垂直等位置关系【典例4】【2017江苏，15】 如图,在三棱锥A-BCD中,ABAD, BCBD, 平面ABD平面BCD, 点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD.

8、 求证：（1）EF平面ABC； （2）ADAC.(第15题)ADBCEF【答案】（1）见解析（2）见解析【对点训练】如图,在直角梯形ABCD中,ABCD,ADAB,CD=2AB=4,AD=,E为CD的中点,将BCE沿BE折起,使得CODE,其中点O在线段DE内.(1)求证:CO平面ABED;(2)求CEO(记为)多大时,三棱锥C-AOE的体积最大?最大值为多少?【答案】（1）见解析； （2）的最大值为. (2)解：由(1)知CO平面ABED,知三棱锥C-AOE的体积V=SAOEOC=OEADOC.由直角梯形ABCD中,CD=2AB=4,AD=,CE=2,得三棱锥C-AOE中,OE=CEcos

9、=2cos ,OC=CEsin =2sin ,V=sin 2,当且仅当sin 2=1,即=时取等号(此时OE=DE,O落在线段DE内).故当=时,三棱锥C-AOE的体积最大,最大值为.【典例5】【2018届云南省师范大学附属中学高三月考二】如图，四棱锥的底面是平行四边形，底面，.（1）求证：平面平面；（2）若点分别为上的点，且，在线段上是否存在一点，使得平面；若存在，求出三棱锥的体积；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）线段上存在一点，使得平面 （）线段上存在一点，使得平面证明：在线段上取一点，使，连接 ，且，又，且，且，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面 【对点训练】【201

10、8届南宁市高三摸底】如图，在正方形中，分别是的中点，是的中点.现在沿及把这个正方形折成一个空间图形，使三点重合，重合后的点记为.下列说法错误的是_（将符合题意的选项序号填到横线上）.所在平面；所在平面；所在平面；所在平面.【答案】【考向预测】近年来，高考题由考查知识向考查能力方向转变，题目新颖多变，灵活性强空间中的平行关系在高考命题中，主要与平面问题中的平行、简单几何体的结构特征等问题相结合，综合直线和平面，以及简单几何体的内容于一体，经常是以简单几何体作为载体，以解答题形式呈现是主要命题方式, 通过对图形或几何体的认识，考查线面平行、面面平行的判定与性质，考查转化思想、空间想象能力、逻辑思维

11、能力及运算能力. 空间中的垂直关系是高考命题的重点，客观题、大题都有可能考查，以客观题形式考查命题的真假判断，在解答题中以分层设问或条件形式呈现，以证明问题为主，主要考查线面垂直的判定及性质、面面垂直的判定及性质，以及运用其进一步研究体积、距离、角的问题，考查转化与化归思想、运算求解能力及空间想象能力浙江卷对垂直关系的考查多于对平行关系的考查.热点三 空间角的计算【典例6】【2017课标3，理16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60

12、角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最小值为60.其中正确的是_.（填写所有正确结论的编号）【答案】【解析】【对点训练】【2017浙江，9】如图，已知正四面体DABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，分别记二面角DPRQ，DPQR，DQRP的平面角为，则ABCD【答案】B【解析】【典例7】【2017浙江，19】如图，已知四棱锥PABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，CDAD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点（）证明：平面PAB；（）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值【答案】（）见解析；

13、（）【解析】试题解析： MH是MQ在平面PBC上的射影，所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角设CD=1在PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，在PBN中，由PN=BN=1，PB=得QH=，在RtMQH中，QH=，MQ=，所以sinQMH=， 所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是【对点训练】【2017课标II，理10】已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D【答案】C 【典例8】【2017山东，理17】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点.（）设是上的一点，且，求的大小；（）当，求二面角的大小.【答案

14、】（）.（）.思路二：以为坐标原点，分别以，所在的直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.写出相关点的坐标，求平面的一个法向量，平面的一个法向量计算即得.（）解法一：取的中点，连接，.因为，所以四边形为菱形，所以.取中点，连接，.则，所以为所求二面角的平面角.又，所以.在中，由于，由余弦定理得，所以，因此为等边三角形，故所求的角为.解法二：以为坐标原点，分别以，所在的直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因此所求的角为.【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.立体几何中角的计算问题，

15、往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力转化与化归思想及基本运算能力等.【对点训练】.【2017天津，文17】如图，在四棱锥中，平面，.（I）求异面直线与所成角的余弦值；（II）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(); () . 【考向预测】从近几年的高考试题来看,所考的主要内容是:(1)有关线面位置关系的组合判断,试题通常以选择题的形式出现,主要是考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质;(2)有关线线、线面和面面的平行与垂直的证明,试题以解答题为主,常以多面体为载体,突出考查学生的空间想象能力

16、及推理论证能力;(3)线线角、线面角和二面角是高考的热点,尤其是线面角和二面角,几乎每年必考,题型多为解答题,一般为中低档题,主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和转化与化归的应用能力.对于求线线角、线面角和二面角的问题,常用方法有两种:几何法和空间向量法,几何法要理清求角的三部曲,即“一作、二证、三求”,是解答此类问题的关键.热点四 立体几何中的“动态问题”【典例9】如图,在直二面角A-BD-C中,ABD,CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形,取AD中点E,将ABE沿BE翻折到A1BE,在ABE的翻折过程中,下列不可能成立的是()A.BC与平面A1BE内某直线平行 B.CD平面A1BEC.B

17、C与平面A1BE内某直线垂直 D.BCA1B【答案】D【对点训练】如图,已知三棱锥A-BCD的所有棱长均相等,点E满足=3,点P在棱AC上运动,设EP与平面BCD所成角为,则sin 的最大值为.【答案】【考向预测】立体几何中的动态问题,由于具有较强的灵活性,而且不易整理出通法,一直都是高考的热点和难点,2013年,2015年选择题最后一题、2016年填空题第14题浙江高考卷都出现了此类问题,2015年、2016年均考查了翻折问题,2013年是立体几何的材料阅读题.将问题进行等价转化是解决这类问题的根本出发点,常见的转化有将立体转化为平面,将立体几何中的最值问题转化为函数最值问题,要注意在动态问

18、题中寻找静态的量,化动为静.热点五 空间向量方法的应用【典例8】【2017天津，理17】如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2. （）求证：MN平面BDE；（）求二面角C-EM-N的正弦值；（）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.【答案】 （1）证明见解析（2） （3） 或 （）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.因为平面BDE，所以MN/平面BDE. 【对点训练】【2017北京，理16

19、】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD/平面MAC，PA=PD=，AB=4（I）求证：M为PB的中点；（II）求二面角B-PD-A的大小；（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值【答案】（）详见解析：（） ；（） 【解析】 （III）由题意知，.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.【考向预测】用空间向量解决的主要解决立体几何中平行、垂直、求角、求距离等.纵观近几年浙江卷，此类问题较少，侧重于应用几何法解题.注意空间向量方法的应用：1.用向量证明空间中的平行关系:(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和

20、v2,则l1l2(或l1与l2重合)v1v2.(2)设直线l的方向向量为v,与平面共面的两个不共线向量v1和v2,则l或l存在两个实数x,y,使v=xv1+yv2.(3)设直线l的方向向量为v,平面的法向量为u,则l或lvu.(4)设平面和的法向量分别为u1,u2,则u1u2.2.用向量证明空间中的垂直关系:(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1l2v1v2v1v2=0.(2)设直线l的方向向量为v,平面的法向量为u,则lvu.(3)设平面和的法向量分别为u1和u2,则u1u2u1u2=0.3.两异面直线所成的角不一定是它们的方向向量的夹角;两平面的法向量的夹角与两平面的二面角相等或互补;直线的方向向量与平面的法向量的夹角与线面角的余角相等或互补.(1)两条异面直线所成的角:设异面直线a,b所成的角为,a,b的方向向量为a,b,其夹角为,则有cos =|cos |=. (2)直线和平面所成的角:如图,sin =|cos |= .(3)平面与平面所成的二面角为,两平面的法向量分别为m,n,则|cos |= .29