311方程的根与函数的零点教案

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1、3.1.1方程的根与函数的零点课型：新授课 授课人：郭红霞【教学目标】1了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者的关系；2理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个；3能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数，及所在区间；4经历“类比归纳应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法，培养归纳概括能力；5初步体会函数与方程思想，能将方程求解问题转化为函数零点问题；体会函数与方程的“形”与“数”、“动”与“静”、“整体”与“局部”的内在联系 【教学重难点】教学重点

2、：方程的根与函数零点的关系、函数零点存在性定理教学难点：对零点存在性定理的准确理解【教学方法】观察探索与问题式相结合【教学过程】（一）创设情境，感知概念1实例引入解方程：（1）2-x=4；（2）2-x=x设计意图：通过纯粹靠代数运算无法解决的方程，引起学生认知冲突，激起探求的热情2一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系填空：方程x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0根x1=-1，x2=3x1=x2=1无实数根函数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3图象42-2-43-112Oxy42-2-43-112Oxy42-23-112Oxy图象与x轴的交点两个交点：(

3、-1,0)，(3,0)一个交点：(1,0)没有交点问题1：从该表你可以得出什么结论？归纳：判别式000方程ax2+bx+c=0 (a0)的根两个不相等的实数根x1、x2有两个相等的实数根x1 = x2没有实数根函数y=ax2+bx+c (a0)的图象Oxyx1x2Oyxx1Oxy函数的图象与x轴的交点两个交点：(x1,0)，(x2,0)一个交点：(x1,0)无交点问题2：一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？学生讨论，得出结论：一元二次方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标设计意图：通过回顾二次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备3一般函数

4、的图象与方程根的关系问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？师生互动，由一元二次方程抽象出一般方程，由二次函数抽象出一般函数，得出一般的结论：方程f(x)0有几个根，yf(x)的图象与x轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标设计意图：由具体到抽象，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫（二）辨析讨论，深化概念4函数零点概念：对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点即兴练习：函数f(x)=x(x216)的零点为（ D ）A(0，0)，(4，0) B0，4C(4，0)，(0，0)，(4，0) D4，0，4设计意图：及时矫正“零点是交点”这一误解说明：函数零点不

5、是一个点，而是具体的自变量的取值求函数零点就是求方程f(x)0的根5归纳函数的零点与方程的根的关系问题4：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？（1）联系：数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根；存在性一致：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点（2）区别：零点对于函数而言，根对于方程而言以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，函数问题有时可转化为方程问题，同样，有些方程问题可以转化为函数问题来求解，这正是函数与方程思想的基础练习：求下列函数的零点：设计意图：使学生熟悉零点的求法（即求相应方程的实数根）（三）实例探究，归纳定理6零点存在性定理的探

6、索问题5：观察两组画面,请你推断一下哪一组一定能说明小马已经成功过河？问题6：将河流抽象成x轴，将小马前后的两个位置抽象为A、B两点。请问当A、B与x轴满足怎样的位置关系时AB间的一段函数图象与x轴会有交点？并画出函数图像通过类比，发现只要满足A、B两点在x轴的两侧这种位置关系就可以达到要求。同时这种位置关系可以用f（a）f（b）0来表示。 设计意图：将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行合情推理，同时由原来的图形语言抽象成数学语言，再转换成函数图像。培养学生的观察能力和提取有效信息的能力。体验语言转化的过程。abcxyOd问题7：结合图像，试用恰当的语言表述如何判断函数在某个区间上是否存在零

7、点？观察函数的图象：在区间(a，b)上_(有/无)零点；f(a)f(b) _ 0（“”或“”）在区间(b，c)上_(有/无)零点；f(b)f(c) _ 0（“”或“”）在区间(c，d)上_(有/无)零点；f(c)f(d) _ 0（“”或“”）设计意图：通过归纳得出零点存在性定理7零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根即兴练习：下列函数在相应区间内是否存在零点？（1）f(x)=log2x，x，2；（2）f(x)=ex-1+4x

8、-4，x0，1设计意图：通过简单的练习适应定理的使用（四）正反例证，熟悉定理8定理辨析与灵活运用例1 判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：（1）已知函数y=f(x)在区间a，b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点（ ）（2）已知函数y=f(x)在区间a，b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内没有零点（ ）（3）已知函数y=f(x)在区间a，b满足f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内存在零点（ ）请一位学生板书反例，其他学生补充评析，例如：abOxyabOxyabOxy归纳：定理不能确零点的个数；定理中的

9、“连续不断”是必不可少的条件；不满足定理条件时依然可能有零点设计意图：通过对定理中条件的改变，将几种容易产生的误解正面给出，在第一时间加以纠正，从而促进对定理本身的准确理解9练习：（1）已知函数f (x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：x1234567f(x)23971151226那么函数在区间1，6上的零点至少有（ ）A5个B4个C3个D2个（2）方程 x 3 3x + 5=0的根所在的大致区间为（ ）A( 2，1)B( 1，0)C(0，1)D(1，2)设计意图：一方面促进对定理的活用，另一方面为突破后面的例题铺设台阶（五）综合应用，拓展思维10例题讲解例2：求函数f(x)

10、lnx2x6的零点的个数，并确定零点所在的区间n，n+1(nZ)解法1（借助计算工具）：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象x123456789f(x)-4.0-1.31.13.45.67.89.912.114.2由表或图象可知，f (2)0,则f (2) f (3)0，这说明函数f(x)在区间(2，3)内有零点问题8：如何说明零点的唯一性？又由于函数f(x)在(0，+)内单调递增，所以它仅有一个零点解法2（估算）：估计f(x)在各整数处的函数值的正负，可得如下表格：x1234f(x)结合函数的单调性，f(x)在区间(2，3)内有唯一的零点解法3（函数交点法）：将方程lnx2x6=

11、0化为lnx=6-2x，分别画出g(x)=lnx与h(x)=6-2x的草图，从而确定零点个数为1继而比较g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小，确定交点所在的区间，即零点的区间 6Oxy2134g(x)h(x)由图可知f(x)在区间(2，3)内有唯一的零点设计意图：通过例题分析，能根据零点存在性定理，使用多种方法确定零点所在的区间，并且结合函数性质，判断零点个数 练习 求方程2-x =x的解的个数，并确定解所在的区间n，n+1(nZ)设计意图：一方面与引例相呼应，又作为例题方法的巩固，也为下一节课作铺垫（六）总结整理，提高认识（1）一个关系：函数零点与方程根的关系：函数方程零点根数 值

12、存在性个 数（2）两种思想：函数方程思想；数形结合思想（3）三种题型：求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间（七）布置作业，独立探究1函数f(x)(x4)(x4)(x2)在区间-5，6上是否存在零点？若存在，有几个？2利用函数图象判断下列方程有几个根：（1）2x(x2)3；（2）ex144x3结合上课给出的图象，写出并证明下列函数零点所在的大致区间：（1）f(x)=2xln(x-2)-3；（2）f(x)3(x2)(x3)(x4)x思考题：方程2-x =x在区间_内有解，如何求出这个解的近似值？请预习下一节设计意图：为下一节“用二分法求方程的近似解”的学习做准备【板书设计】方程的根与函数的零点1、零点概念：练习：2、方程的根与函数零点的关系3、函数零点存在性定理的条件例2：例1反例：xyOxyOxyO