2022年高考数学总复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件

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1、2022年高考数学总复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲1.理解命题的概念；2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义知 识 梳 理1四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系2充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的

2、既不充分也不必要条件pq且qp诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)“x22x80”是命题()(2)一个命题非真即假()(3)命题“三角形的内角和是180”的否命题是“三角形的内角和不是180”()(4)“a2”是“(a1)(a2)0”的必要不充分条件()(5)给定两个命题p，q.若p是q的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件()2命题“若，则tan 1”的逆否命题是()A若，则tan 1B若，则tan 1C若tan 1，则D若tan 1，则解析命题的条件是p：，结论是q：tan 1.由命题的四种形式，可知命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，显然q：

3、tan 1，p：，所以该命题的逆否命题是“若tan 1，则”答案C3(xx福建卷)已知集合A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析a3时，A1,3，显然AB.但AB时，a2或3.所以A正确答案A4(xx浙江卷)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析因为菱形的对角线互相垂直，所以“四边形ABCD为菱形”“ACBD”，所以“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的充分条件；又因为对角线垂直的四边

4、形不一定是菱形，所以“ACBD” “四边形ABCD为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”不是“ACBD”的必要条件综上，“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的充分不必要条件答案A5(人教A选修11P10练习4改编)下列命题：x2是x24x40的必要不充分条件；圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；sin sin 是的充要条件；ab0是a0的充分不必要条件其中为真命题的是_(填序号)答案考点一四种命题及其相互关系【例1】 (xx陕西卷)原命题为“若an，nN，则an为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A真，真，真B假，假，真C真，

5、真，假D假，假，假解析从原命题的真假入手，由于anan1anan为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与其逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，则其逆命题、否命题和逆否命题均为真命题答案A规律方法(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假(3)判断一个命题为假命题可举反例【训练1】 已知：命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”，则下列结论正确的是()A否命题是“若函数f(x)exmx在(0，)上是减函数，则m1”，是

6、真命题B逆命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是增函数”，是假命题C逆否命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是减函数”，是真命题D逆否命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”，是真命题解析由f(x)exmx在(0，)上是增函数，则f(x)exm0恒成立，m1.命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”是真命题，所以其逆否命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”是真命题答案D考点二充分、必要条件的判定与探求【例2 】 (1)(xx新课标全国卷)函数f(x)在xx0处导数存在若p：f(x0)0；q：xx0是f(x

7、)的极值点，则()Ap是q的充分必要条件Bp是q的充分条件，但不是q的必要条件Cp是q的必要条件，但不是q的充分条件Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件(2)ax22x10至少有一个负实根的充要条件是()A0a1Ba1Ca1D0a1或a0解析(1)设f(x)x3，f(0)0，但是f(x)是单调增函数，在x0处不存在极值，故“若p，则q”是一个假命题，由极值点的定义可得“若q，则p”是一个真命题(2)法一当a0时，原方程为一元一次方程2x10，有一个负实根当a0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是44a0，即a1.设此时方程的两根分别为x1，x2，则x1x2，x1x2，当只有一个负

8、实根时，a0；当有两个负实根时，综上所述，a1.法二 (排除法)当a0时，原方程有一个负实根，可以排除A，D；当a1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B.答案(1)C(2)C规律方法判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题【训练2】 (1)(xx北京卷)设a，b是实数，则“ab”是“a2b2”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(2)已

9、知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是()AxBx1Cx5Dx0解析(1)令a1，b2，显然ab，但a2b2；“ab”不是“a2b2”的充分条件令a2，b1，显然a2b2，但ab，“ab”不是“a2b2”的必要条件“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件(2)a(x1,2)，b(2,1)，ab2(x1)212x.又abab0，2x0，x0.答案(1)D(2)D考点三根据充分、必要条件求参数的范围【例3】 已知命题p：x22x30；命题q：xa，且q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是()A1，)B(，1C1，)D(，3解析由x22x30，得x3或x1，由q的一个充分不

10、必要条件是p，可知p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件故a1.答案A规律方法解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象【训练3】 若xm1是x22x30的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_解析由已知易得x|x22x30x|xm1，又x|x22x30x|x3，或0m2.答案0,2思想方法1写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题

11、的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定2命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假(2)等价法：利用AB与BA，BA与AB，AB与BA的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：若AB，则“xA”是“xB”的充分条件或“xB”是“xA”的必要条件；若AB，则“xA”是“xB”的充要条件易错防范对于命题正误的判断是高考的热点之一，理应引起大家的关注，命题正误的判断可涉及各章节的内容，覆盖面宽，也是

12、学生的易失分点命题正误的判断的原则是正确的命题要有依据或者给以论证；不一定正确的命题要举出反例，绝对不要主观臆断，这也是最基本的数学逻辑思维方式.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B“若一个数的平方是正数，则它是负数”C“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数答案B2已知a，b，cR，命题“若abc3，则a2b2c23”的否命题是()A若abc3，则a2b2c23B若abc3，则a2b2

13、c23C若abc3，则a2b2c23D若a2b2c23，则abc3解析同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题答案A3命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是()A若xy是偶数，则x与y不都是偶数B若xy是偶数，则x与y都不是偶数C若xy不是偶数，则x与y不都是偶数D若xy不是偶数，则x与y都不是偶数解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“xy是偶数”的否定表达是“xy不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若xy不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.答案C4(xx郑州检测)已知直线l，m，其中只有m在平面内，则“l”是“lm”的()A充分不必要条件B必

14、要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析当l时，直线l与平面内的直线m平行、异面都有可能，所以lm不成立；当lm时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l，即“l”是“lm”的必要不充分条件，故选B.答案B5(xx云南统一检测)“lg xlg y”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析若lg xlg y，则xy0，有，所以充分性成立；反之，当x0，y0时，有，但没有lg xlg y，所以必要性不成立，所以“lg xlg y”是“”的充分不必要条件，故选A.答案A6(xx成都二诊)下列说法正确的是()A命题“若x21，则x1”的否命题为“若x2

15、1，则x1”B命题“x0R，x1”的否定是“xR，x21”C命题“若xy，则cos xcos y”的逆否命题为假命题D命题“若xy，则cos xcos y”的逆命题为假命题解析A项中否命题为“若x21，则x1”，所以A错误；B项中否定为“xR，x21”，所以B错误；因为逆否命题与原命题同真假，所以C错误；易知D正确，故选D.答案D7(xx广东卷)在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“ab”是“sin Asin B”的()A充分必要条件B充分非必要条件C必要非充分条件D非充分非必要条件解析结合正弦定理可知，ab2Rsin A2Rsin Bsin Asin B(R为ABC外接圆的

16、半径)故选A.答案A8(xx东北三省四市联考)下列命题中真命题是()A“ab”是“a2b2”的充分条件B“ab”是“a2b2”的必要条件C“ab”是“ac2bc2”的必要条件D“ab”是“|a|b|”的充要条件解析由ab不能得知ac2bc2，当c20时，ac2bc2；反过来，由ac2bc2可得a b.因此，“ab”是“ac2bc2”的必要不充分条件，故选C.答案C二、填空题9命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是_答案“若xy，则x2y2”10“m”是“一元二次方程x2xm0有实数解”的_条件(填“充分不必要、必要不充分、充要”)解析x2xm0有实数解等价于14m0，即m.答案充分不必要11函

17、数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是_解析已知函数f(x)x22x1的图象关于直线x1对称，则m2；反之也成立所以函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是m2.答案m212下列命题：“全等三角形的面积相等”的逆命题；“若ab0，则a0”的否命题；“正三角形的三个角均为60”的逆否命题其中真命题的序号是_解析“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；“若ab0，则a0”的否命题为“若ab0，则a0”，而由ab0，可得a，b都不为零，故a0，所以该命题是真命题；因为原命题“正三角形的三个角均为60”是一个真命题，故其逆否命题也

18、是一个真命题答案能力提升题组(建议用时：15分钟)13(xx天津十二区县重点中学联考)设x，yR，则“x2y29”是“x3且y3”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析当x4时满足x2y29，但不满足x3，所以充分性不成立；反之，当x3且y3时，一定有x2y29，所以必要性成立，即“x2y29”是“x3且y3”的必要不充分条件，故选B.答案B14(xx临沂模拟)已知p：xk，q：(x1)(2x)0，如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是()A2，)B(2，) C1，)D(，1解析由q：(x1)(2x)0，得x1或x2，又p是q的充分不必要条件，所以k2

19、，即实数k的取值范围是(2，)，故选B.答案B15(xx湖南高考诊断)下列选项中，p是q的必要不充分条件的是()Ap：x1，q：x2xBp：|a|b|，q：a2b2Cp：xa2b2，q：x2abDp：acbd，q：ab且cd解析A中，x1x2x，x2xx0或x1x1，故p是q的充分不必要条件；B中，因为|a|b|，根据不等式的性质可得a2b2，反之也成立，故p是q的充要条件；C中，因为a2b22ab，由xa2b2，得x2ab，反之不成立，故p是q的充分不必要条件；D中，取a1，b1，c0，d3，满足acbd，但是ab，cd，反之，由同向不等式可加性得ab，cdacbd，故p是q的必要不充分条件综上所述，故选D.答案D16设nN*，一元二次方程x24xn0有整数根的充要条件是n_.解析已知方程有根，由判别式164n0，解得n4，又nN*，逐个分析，当n1,2时，方程没有整数根；而当n3时，方程有整数根1,3；当n4时，方程有整数根2.答案3或417已知集合A，Bx|1xm1，xR，若xB成立的一个充分不必要的条件是xA，则实数m的取值范围是_解析Ax|1x3，xB成立的一个充分不必要条件是xA，AB，m13，即m2.答案(2，)