2017-2018学年高中数学 第一单元 基本初等函数（Ⅱ）1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质（一）学案 新人教B版必修4

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1、1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(一)学习目标1.会用“五点法”作出余弦函数的简图.2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值.3.理解正弦曲线与余弦曲线的联系.知识点一余弦函数的图象思考如何快速作出余弦函数的图象？梳理余弦函数ycos x的图象叫做余弦曲线.知识点二余弦函数的性质思考1观察余弦曲线，余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？思考2当自变量x分别取何值时，余弦函数ycos x取得最大值1和最小值1？余弦函数的周期性如何？思考3观察余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？梳理正弦函

2、数、余弦函数的图象、性质对比函数ysin xycos x图象定义域值域奇偶性周期性最小正周期：_最小正周期：_单调性在_ 上单调递增；在_上单调递减在_上单调递增；在_上单调递减最值在_时，ymax1；在_时，ymin1在_时，ymax1；在_时，ymin1知识点三正弦曲线、余弦曲线的对称性思考1观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？思考2上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？梳理正弦函数ysin x(xR)和余弦函数ycos x(xR)的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们的图象如图所示：研究正弦曲线和余弦曲线可以得到以下结论：(1)正弦曲线是中心对称图

3、形，其所有的对称中心坐标为(k，0)(kZ)，且正弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程是xk(kZ).(2)余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是(kZ)；余弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程是xk(kZ).类型一求余弦函数的单调区间例1求函数y3cos的单调递增区间.反思与感悟确定函数yAcos(x)单调区间的基本思想是整体换元思想.即将x看作一个整体，利用基本三角函数的单调性来求复杂三角函数的单调区间.若x的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解.有时还应兼顾函数的定义域.跟踪训练1求函数ylogcos的单调递增区间.类型二余弦函数的值域或最值例2求函数y3cos2x4co

4、s x1，x的值域. 反思与感悟求三角函数最值的两种基本类型：(1)将三角函数式化为yAcos(x)k的形式，结合有界性求最值.(2)将三角函数式化为关于cos x(或sin x)的二次函数的形式，利用二次函数的性质和有界性求最值.跟踪训练2已知函数yacos3，x的最大值为4，求实数a的值.类型三余弦函数的对称性例3已知函数y2cos.(1)在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；(2)把该函数的图象向右平移个单位后，图象关于原点对称，求的最小正值.反思与感悟关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：(1)f(x)Asin(x)(或Acos(x)的图象关于xx0对称f(x0)A

5、或A.(2)f(x)Asin(x)(或Acos(x)的图象关于点(x0,0)中心对称f(x0)0.跟踪训练3把函数ycos的图象向右平移个单位，正好关于y轴对称，求的最小正值.1.函数f(x)cos 4x，xR是()A.最小正周期为的偶函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的奇函数2.如果函数y3cos(2x)的图象关于点中心对称，那么|的最小值为()A. B. C. D.3.函数ycos x|cos x|，x0,2的大致图象为()4.已知f(x)sin，g(x)cos，则f(x)的图象()A.与g(x)的图象相同B.与g(x)的图象关于y轴对称C.向左平移个单位

6、，得g(x)的图象D.向右平移个单位，得g(x)的图象5.函数f(x)lg cos x的定义域为_.1.余弦函数ycos x(xR)是偶函数，而且是周期函数，最小正周期为2.与yAsin(x)一样，函数yAcos(x)(0)的周期也是.2.与正弦函数类似，函数yAcos(x)(0，0)的图象也可由ycos x的图象通过变换得到，变换规律相同.3.在研究yAcos(x)的性质时，注意采用整体代换的思想.例如它在x2k(kZ)时取得最大值，在x2k(kZ)时取得最小值.答案精析问题导学知识点一思考(1)依据诱导公式cos xsin，要得到ycos x的图象，只须把ysin x的图象向左平移个单位长

7、度即可余弦函数的图象叫做余弦曲线，图象如图所示：(2)在精确度要求不高时，要画出ycos x，x0,2的图象，可以通过描出(0,1)，(，1)，(2，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数ycos x，x0,2的图象知识点二思考1余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和1.思考2对于余弦函数ycos x，xR有：当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1；当且仅当x(2k1)，kZ时，取得最小值1.和正弦函数一样，余弦函数也是周期函数，最小正周期为2.思考3在整个定义域R上，余弦函数不是单调函数为研究余弦函数ycos x的变化情况，我们先选取一个周期区间，来研究余弦函数单调情况

8、，再借助周期推而广之函数ycos x，x，的图象如图所示：观察图象可知，当x，0时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由1增大到1；当x0，时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到1.推广到整个定义域可得：当x2k，2k，kZ时，余弦函数ycos x是增函数，函数值由1增大到1；当x2k，(2k1)，kZ时，余弦函数ycos x是减函数，函数值由1减小到1.梳理RR1,11,1奇函数偶函数222k，2k(kZ)2k，2k (kZ)2k，2k (kZ)2k，2k (kZ)x2k (kZ)x2k (kZ)x2k (kZ)x2k (kZ)知识点三思考1正弦函数ysin x的图象关于原

9、点对称，余弦函数ycos x的图象关于y轴对称思考2正弦函数是R上的奇函数，余弦函数是R上的偶函数根据诱导公式，得sin(x)sin x，cos(x)cos x对一切xR恒成立题型探究例1解y3cos3cos.由2k2k(kZ)，得4kx4k(kZ)，函数y3cos的单调递增区间为(kZ)跟踪训练1解根据复合函数“同增异减”的规律，即求函数ycos的单调递减区间，同时x应使cos0.2k2k(kZ)整理得4kx4k(kZ)函数ylogcos的单调递增区间是(kZ)例2解y3cos2x4cos x132.x，cos x.从而当cos x，即x时，ymax；当cos x，即x时，ymin.函数值域为.跟踪训练2实数a的值为2或1.例3解(1)令2xk，kZ，解得x，kZ.令k0，x；令k1，x.函数y2cos的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x.(2)设该函数向右平移个单位后解析式为yf(x)，则f(x)2cos2cos.yf(x)的图象关于原点(0,0)对称，f(0)2cos0.2k，kZ，解得(kZ)令k0，得.的最小正值是.跟踪训练3解由题意可知，平移后的函数为ycos，它是偶函数，因此，当x0时，cos取得最大值1或最小值1，故2n或(2n1) (nZ)，即k (kZ)k (kZ)，当k1时，取最小正值.当堂训练1C2.A3.D4.D5.10