概率全章专题练习及答案资料

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1、概率全章复习与巩固编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】1 . 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别2 .会用互斥事件的概率加法公式求互斥事件的概率3 .理解古典概型及其概率计算公式，会计算一些随机事件发生的概率4 .了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率，初步体会几何概型的意义.【知识网络】对立事件频率题机事件基本事件空间频率、概率的性质与意义等可能事件古典概型不可能事件I加法公式:古典慨型Inr I几舸梃型L比例算法随机数与随机模拟随机现象试验应用概率解决实际问题一要点一：随机事件的概率1 .随机事件的概念在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.(

2、1)随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件;(2)必然事件：在一定条件下必然要发生的事件； (3)不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2 .随机事件的概率事件A的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率 工总接近于某个常数， 在它附近摆动，这n时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).由定义可知0W P(A) & 1,显然必然事件的概率是1 ,不可能事件的概率是 0.3 .事件间的关系(1)互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件(2)对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做对立事件(3)包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件 A包含于事件B(或事件

3、B包含事件A).要点诠释：1 .随机事件是指在一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此强调同一事件必须在相同的条件下进行研究.随机事件可以重复地进行大量实验，每次的实验结果不一定相同，但随着实验的重复进 行，其结果呈现规律性.2 .频率与概率的区别与联系：概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率.3 .从集合角度理解互斥事件为两事件交集为空，对立事件为两事件互补若两事件A与B对立，则A与B必为互斥事件，而若事件 A与B互斥，则不一定是对立事件 .要点二：古典概型1 .基本事件：试验结果中不能再分的最简单白随机事件称

4、为基本事件基本事件的特点：(1)每个基本事件的发生都是等可能的.(2)因为试验结果是有限个，所以基本事件也只有有限个(3)任意两个基本事件都是互斥的，一次试验只能出现一个结果，即产生一个基本事件.(4)基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件都可以用基本事件的和的形式来表示2 .古典概型的定义：(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等；我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型 3 .计算古典概型的概率的基本步骤为：(1)计算所求事件A所包含的基本事件个数m；(2)计算基本事件的总数 n；应用公式P(A)

5、工计算概率.n4 .古典概型的概率公式：A包含的基本事件的个数P(A)基本事件的总数.应用公式的关键在于准确计算事件A所包含的基本事件的个数和基本事件的总数.要点诠释：古典概型的判断：如果一个概率模型是古典概型，则其必须满足以上两个条件，有一条不满足则必不是古 典概型.如“掷均匀的骰子和硬币”问题满足以上两个条件，所以是古典概型问题； 若骰子或硬币不均匀，则每个基本事件出现的可能性不同，从而不是古典概型问题；“在线段AB上任取一点C,求ACBC勺概率”问题，因为基本事件为无限个，所以也不是古典概型问题要点三：几何概型 1.几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几

6、何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.5 .几何概型的基本特点： (1)试验中所有可能出现的结果 (基本事件)有无限多个； (2)每个基本事件出现的可能性相等 . 3.几何概型的概率：一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件”该点落在其内部一个区域d内”为事件 A,则事件A发生的概率P(A)d的测度D的测度说明：(1) D的测度不为0;(2)其中“测度的意义依 D确定，当D分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的测度”分别是长

7、 度，面积和体积；(3)区域为开区域”；(4)区域D内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该 部分的测度成正比而与其形状位置无关.要点诠释：几种常见的几何概型(1)设线段l是线段L的一部分，向线段 L上任投一点，若落在线段 l上的点数与线段l的长度成正比，而 与线段l在线段L上的相对位置无关，则点落在线段l上的概率为：P=l的长度/L的长度(2)设平面区域g是平面区域G的一部分，向区域 G上任投一点，若落在区域g上的点数与区域 g的面积成正比，而与区域 g在区域G上的相对位置无关，则点落在区域g上概率为：P=g的面积/G的面积(3)设空间区域上 v是空

8、间区域 V的一部分，向区域 V上任投一点，若落在区域 v上的点数与区域 v的体 积成正比，而与区域 v在区域V上的相对位置无关，则点落在区域v上的概率为：P=v的体积/V的体积要点四：随机数的产生1 .随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的.它可以帮助我们模拟随机试验，特别是一些成本高、时间长的试验，用随机模拟的方法可以起到降低成本，缩短时间的作 用.2 .随机数的产生方法：一般用试验的方法，如把数字标在小球上，搅拌均匀，用统计中的抽签法等抽样方法，可以产生某个范围 内的随机数.在计算器或计算机中可以应用随机函数产生某个范围的伪随机数，当作随机

9、数来应用3 .随机模拟法(蒙特卡罗法 广用计算机或计算器模拟试验的方法，具体步骤如下：(1)用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；(2)统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数 N;(3)计算频率fn(A) M作为所求概率的近似值. N要点诠释：1 .对于抽签法等抽样方法试验，如果亲手做大量重复试验的话，花费的时间太多，因此利用计算机或计算 器做随机模拟试验可以大大节省时间.2 .随机函数RANDBETWEEN(Oo)产生从整数a到整数b的取整数值的随机数.3 .随机数具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复试验，比如现

10、在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中4 .在区间a, b上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数5 .利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了 数学知识的应用价值.6 .用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是，构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计 算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀 随机点的个数之比来解决.7 .利用计算机和线性变换 Y=X*(b-a) + a,可

11、以产生任意区间a, b上的均匀随机数. 要点五：求解概率问题应当注意的问题1 .求解概率问题应首先分清是哪类概率问题，针对不同的概型灵活选择相应的方法及公式2 .求解概率的应用问题一般可分为三步：用字母恰当地表示相关事件；明确事件之间的关系，如互斥、对立、独立等；运用正确的计算公式.3 .对于稍微复杂的事件的概率求解时，通常有两种方法，一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，二 是先求出此事件的对立事件 (适用于“至多” “至少”型的事件概率)的概率.4 .几何概型问题时常借助图形的直观帮助分析【典型例题】要点一：随机事件与概率例1.某射手在相同条件下进行射击，结果如下:射击次数界102050

12、100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率0.80. 950. 880.920, 890.91(1)问该射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？(2)假设该射手射击了 300次，估计击中靶心的次数是多少？【思路点拨】弄清频率和概率的含义及它们之间的关系是解题的关键.【解析】(1)由表可知概率约为 Q9;(2)估计击中靶心的次数为 300X0. 9= 270(次),【总结升华】本题中利用概率知识估计击中靶心的次数是一种非常科学的决策方法.举一反三：【变式1】若在同等条件下进行 n次重复试验得到某个事件 A发生的频率f n ,则随着n的逐渐增大，有()A. f n与某个

13、常数相等B. f n与某个常数的差逐渐减小C. f n与某个常数的差的绝对值逐渐减小D. f n与某个常数的附近摆动并趋于稳定【答案】本题选D,根据概率的定义.要点二：互斥事件与对立事件例2.经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下:排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30, 30. 10.04(1)至多2人排队等候的概率是多少 ？(2)至少3人排队等候的概率是多少 ？【思路点拨】利用互斥事件概率加法公式计算.【解析】记等候的人数为0”为事件A, “1人等候”为事件 B, “2人等候”为事件 C, “3人等候”为事件D, “4人等候”为事件 E, “5人及5人以

14、上等候”为事件 F,则易知A、B、C、D、E、F互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件 G,则G=AUBUC, P( G) = p A+B+C ) = P( A) +P( B) +P( C)=0. 1+0. 16+0. 3= 0.56.(2)记“至少3人排队等候”为事件 H,则H=DUEUF, P(H) = P( D+E+F ) =P(D)+P( E) +P( F)=0. 3+0. 1+0. 04=0.44.【总结升华】第(2)问也可以这样解：因为G与H是对立事件，所以 P(H) = 1P(G) = 1 0.56 = 0.44.举一反三：【变式1】某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示

15、：年降水量(单位：mm)100,150150,200200,250250,300概率0.120.250.160.14 求年降水量在100,200)( mm)内的概率；(2)求年降水量在150,300)( mm)内的概率.【答案】(1) 0.37 (2) 0.55【解析】(1)记这个地区的年降水量在100,150)、150,200)、200,250)、250,300)( mm)范围内分别为事件A, B,C,D ,这4个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，年降水量在100,200)( mm)范围内的概率是P(A B) P(A) P(B) 0.12 0.25 0.37，年降水量在100,2

16、00)( mm)范围内的概率是0.37.(2)年降水量在150,300)( mm)范围内的概率是P(B C D) P(B) P(C) P(D) 0.250.16 0.14 0.55，年降水量在150,300)( mm)范围内的概率是0.55.要点三：古典概型例3. 5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，然后由乙抽一张，求:(1)甲中奖的概率P(A);(2)甲、乙都中奖的概率 P(B);(3)只有乙中奖的概率 P(C);(4)乙中奖的概率P(D).【思路点拨】先确定事件总数，再确定四个事件中包含的基本事件个数, 【解析】甲、乙两人按顺序各抽一张，5张奖券分别为 A1, A2, B1用古典概率

17、公式求解.B2, B3,其中 A1A2为中奖券，则基本事件为(A1 (B1, A1), (B1： A2), (B3, B1) (1)若“甲中奖”A2) , (A1, B1) , (A1, B2) , (A1, B3) , (A2, A1)，(A2,A2), (B1, B2), (B1, B3), (B2, A1), (B2, A力，(B2, B1)(B3, B2),共 20 种.,则有(A1, A2) , (A1, B1)(A1, B2)，(A1, B3), (A2,B1),(B2A1),(A2,B3)(A2,B2),(B3B1),(A2A1)B3) (B3(A2B2),一.82(A2, B3

18、),共 8 种，故 P(A) 一 一205(2)甲、乙都中奖含有的基本事件有(A1A2), (A2(3) “只有乙中奖”的基本事件有 (B1, A1),(B2, A1),一 ,2A1),共2种，所以P(B) = 20(B3, A1) , (B1, A2), (B2, A2)10(B3, A2),共6种，故 P(C)-20 10(4) “乙中奖”的基本事件有(A2,A2) , (B3, A2),共 8 种，故 P(D)A1), (B1, A1), (B2, A1) , (B3, A1), (Al, A2) , (B1, A2) , (B2,8220 5【总结升华】1、利用古典概型的计算公式时应注

19、意两点:(1)所有的基本事件必须是互斥的；(2)m为事件A所包含的基本事件数，求 m值时，要做到不重不漏.2、古典概型解题步骤：(1)阅读题目，搜集信息；(2)判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；(3)求出基本事件总数 n和事件A所包含的结果数 m ;(4)用公式P(A) m求出概率并下结论. n举一反三：【变式1】在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等.(I )求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；(n)求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率.【答案】(1)3( n )包816【解析】设从甲、乙两个盒子中各取

20、1个球，其数字分别为x, y ,用(x, y)表示抽取结果，则所有可能有 1,1,1,3 , 1,4 , 2,1 , 2,2 , 2,3 ,2,43.14,4 ,共 16 种.(I )所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有1,22,12,33,26种.故所求概率P 316 8(n)所取两个球上的数字和能被3整除的结果有1,22,12,43,34,2 ,共5种.故一，5所求概率为P .16【变式2从含有两件正品 a1, a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件,每次取出后不放回，连续取两次,【解析】和，(a 1求取出的两件产品中恰有一件次品的概率23每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一

21、切可能的结果组成的基本事件有,b1) , (a 2, a1), (a 2, b1), (b 1, a。，(b 1, a2).其中小括号内左边的字母表示第6 个,即(a1, a2)1次取出的产品，右边的字母表示第 2次取出的产用 A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件, 则人二阳1, b1), (a 2, b1), (b1, a), (b 1, a?),4 2事件A由4个基本事件组成，因而， P(A)= -=-6 3要点四：几何概型9:45到 10:15 出例4、从甲地到乙地有一班车在 9:30至M0:00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘 发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是多少？

22、.然后把这两个变量所满【思路点拨】此题中班车出发的时间与甲到达的时间都是随机的，设为两个变量足的条件写成集合形式，并把所研究事件A的集合也分析得出.把两个集合用平面区域表示，特别注意不等式所表示区域.【解析】到达乙地的时间是 9:30到10:00之间的任一时刻，某人从乙地转乘的时间是9:45到10:15之间的任时刻，如果在平面直角坐标系中用X轴表示班车到达乙地的时间，y轴表示从乙地出发的时间，因为到达0.5的正方形.设“他能赶上车”为事件 A,则事件A的条件是x0且 1,即2b0. a若 a= 1,则 b= -2, -1;若 a=2,则 b=-2, -1, 1;若 a=3,则 b=-2, -1

23、, 1;若 a=4,则 b=-2, -1, 1, 2;若 a=5,则 b=-2, -1, 1, 2.满足条件的事件包含事件的个数是2+3+3+4+4 = 16.所求事件的概率为 4.36 9(2)由(1)知，当且仅当2b0时，函数f (x)2ax 4bx 1在区间1, +8)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为a b 8 0,(a, b) a 0,，构成所求事件的区域为如图所示阴影部分.b 0a b 8 0,由 a 得交点坐标为 , b -3 31 8 8所求事件的概率为 P 2318 8 2【总结升华】几何概型的概率问题关键是数形结合，将问题转化成与长度、角度、面积、体积等相关的类 型解决.