高等数学：第十一章 广义积分与含参变量的积分

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1、第十一章第十一章 广义积分与含广义积分与含参变量的积分参变量的积分定积分条件积分区间有限被积函数有界推广定积分积分区间无限被积函数无界abxy0y=f (x)baxxfd)(1Axy012d1xx21xy 1)11 (lim1limd1limd111212AxxxxxAAAAA1 1 广义积分广义积分l1.无穷积分无穷积分(1)定义定义a：设函数：设函数f(x)在在a,+)上有定义，且对任意上有定义，且对任意Aa, f(x)在在a,A上可积。若上可积。若 存在，则称存在，则称无穷积分无穷积分 收敛收敛，并定义，并定义否则称无穷积分否则称无穷积分发散发散。AaAdxxf)(lim；AaAadxx

2、fdxxf)(lim)(adxxf)(0dxex求bxbxxexe00dlimdbxbe0lim)1 (limbbe= 1xy0y=ex1考虑1.d收敛还是发散无穷积分xxbbxxxx1211ddbx12122221 b,d,1增长且无界时可以看出当bxxb1bxy0 xy1bxx1d.d1发散因此积分xx使两个带电粒子从初始距离a分开到距离b所需能量由barrqkqEd221给出, 其中q1, q2是电荷的数量, k为常数. 若q1, q2的单位为库仑(C), a, b是米(m), E的单位为焦耳(J). k = 9109.一个氢原子由一个质子和一个电子组成, 它们带有数值为1.61019

3、C的相反电荷. 求使氢原子激发(即使电子从其轨道移动到离质子无穷远处)的能量. 假设电子和质子之间的初始距离为玻尔半径RB = 5.31011m.因为由初始距离RB移动到最终距离的能量由广义积分表示为babarrqkqrrqkqEd1limd221221bRbBrqkq1lim21BbRbqkq11lim21BRqkq21代入使用的单位(E的单位为J), 有J1035. 4103 . 5)106 . 1)(109(18112199E这 是 移 动 一 个 微 尘 粒 离 开 地 面0.00000001cm所需能量的量值, (换句话说不很大!)比较一下, 移动彼此相距无穷远的两个相同符号的1C的

4、电荷到相距1m以内所需要的能量大约等于使100万头大象离开地面15cm所需要的能量.广义积分被用作分离氢原子所需能量的模型是因为通过无穷大的距离与通过很大的有限距离分离电子和质子所需能量之间的差是可以忽略不计的. 而广义积分可以在不知道最终距离的情况下计算出来.1 1 广义积分广义积分l1.无穷积分无穷积分(1)定义定义b:设函数设函数f(x)在在(-,b上有定义，且对任意上有定义，且对任意Ab, f(x)在在A,b上可积。若上可积。若 存在，则称存在，则称无穷积分无穷积分 收敛，并定义收敛，并定义否则称无穷积分发散。否则称无穷积分发散。bAAdxxf)(lim；bAAbdxxfdxxf)(l

5、im)(bdxxf)(1 1 广义积分广义积分l1.无穷积分无穷积分(1)定义定义c:设函数设函数f(x)在在(-,+)上有定义，且在任意上有定义，且在任意区间区间a,b上可积。若上可积。若 与与 同同时存在，则称无穷积分时存在，则称无穷积分 收敛，并定义收敛，并定义否则称无穷积分发散。否则称无穷积分发散。bbdxxf0)(lim；00)(lim)(lim)(aabbdxxfdxxfdxxfdxxf)(0)(limaadxxf.)()()(00dxxfdxxfdxxf 确定指数 p 的值,使积分 d1pxx收敛或发散.对 p 1, xpxxbpbp11111d pbpp)1111(1若若p+1

6、1则积分则积分收敛收敛,若若p1时积分有值时积分有值xxxxbpbp10d1limd1)1111(lim1pbppb)11(p11p1.无穷积分无穷积分l(2)无穷积分的性质无穷积分的性质若两个无穷积分若两个无穷积分 与与 都收敛，都收敛，则无穷积分则无穷积分 也收敛，且也收敛，且其中其中k1,k2为常数。为常数。adxxg)(adxxf)(adxxgkxfk)()(21,)()()()(2121aaadxxgkdxxfkdxxgkxfk1.无穷积分无穷积分l(3)无穷积分收敛的充要条件无穷积分收敛的充要条件柯西收敛原理柯西收敛原理:无穷积分无穷积分 收敛的充要条件是收敛的充要条件是:任给任给

7、0,存在正数存在正数A0a,只要只要AA0, AA0,便有便有adxxf)(.|)(|AAdxxf 判断).( dln12Rqxx)x(q的敛散性 由于. 1,)2(ln)(ln11)(ln11, 1, 2lnlnlnlnlnln)(ln)(ln dln11121222qAqxqqAxxxdxx)x(qqAqAAqAq. 1, 11)2(ln, 1 dln112qqqqxx)x(qq1.无穷积分无穷积分l(4)无穷积分绝对收敛与条件收敛的定义无穷积分绝对收敛与条件收敛的定义若若 收敛，则称收敛，则称 绝对收敛绝对收敛；若若 收敛，但收敛，但 发散，则称发散，则称 条件收敛条件收敛。命题命题:若

8、若 收敛收敛,则则 也收敛。也收敛。adxxf| )(|adxxf)(adxxf)(adxxf| )(|adxxf)(adxxf| )(|adxxf)(xy0y=f (x)若积分，xxf收敛 d)(0则称f (x) 在 a,+)上的积分绝对收敛；若积分， )d( d)(00收敛发散而xxfxxf则称f (x)在a,+ )上的积分条件收敛.1.无穷积分无穷积分l(4)无穷积分绝对收敛与条件收敛的定义无穷积分绝对收敛与条件收敛的定义命题命题:若若 收敛收敛,则则 也收敛。也收敛。.| )(|)(AAAAdxxfdxxfadxxf| )(|adxxf)(5)无穷积分收敛的判别法无穷积分收敛的判别法l

9、无穷积分收敛的充要条件无穷积分收敛的充要条件引理：若引理：若f(x)是是a,+)上的上的非负非负可积函数，则可积函数，则 收敛的充要条件是：对一切收敛的充要条件是：对一切Aa，积分积分 有界。有界。adxxf)(Aadxxf)().)()()(lim)()()(非负有界存在收敛有界。收敛证明：必要性xfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfAaAaaAAaaFFFFFandxxfFdxxfdxxfnnnnnnanaAalim.,)()()(有极限。设序列有界序列单调递增序列令序列。收敛有界证明：充分性1, 1.,.| ,000nAnNnAnAANANnFFFFFNnNnn此时有可取则对任意的

10、取时当，即对.|)(|)()()()(11FdxxfFFdxxfdxxfdxxfFFNnxfAannaAanan即时有是非负函数，当再由(5)无穷积分收敛的判别法无穷积分收敛的判别法l定理定理1（比较判别法比较判别法）:设设f(x)与与g(x)在在a,+)上有定义，上有定义，且当且当xXa时有时有0f(x)g(x).又设又设f(x)与与g(x)在任一区间在任一区间a,b上可积，则上可积，则(1)由由 收敛可推出收敛可推出 也收敛；也收敛；(2)由由 发散可推出发散可推出 也发散。也发散。adxxg)(adxxg)(adxxf)(adxxf)(XAXXaXXaadxxgdxxgXAdxxgdxx

11、gdxxgdxxgdxxg)()()()(,)()()(时有即当收敛。收敛可知根据条件证明：由于收敛。所以由于aXXaadxxfdxxfdxxfdxxf)(,)()()(收敛。因此有界时，所以当收敛而所以时由已知条件：当XAXXXAXAXdxxfdxxfXAdxxgdxxgdxxgdxxfxgxfaXx)(,)(,)()()()().()(0 ,xy0y=g(x)ay=f (x) 判断. 1d1的敛散性xxx 由于), 1 ,11103xxxx而由例4知13dxx收敛,故由定理1知原积分收敛.有时运用下面比较判别法的极限形式更为方便. 1,1,11ppdxxp发散，收敛 . cos sin11

12、11都收敛与dxxxdxxxpp. 1,1,11ppdxxp发散，收敛.1sin11ppxxx.1cos11ppxxx (5)无穷积分收敛的判别法无穷积分收敛的判别法l推论（比较判别法的极限形式）:设当 xa 时，f(x)0，g(x) 0，它们在任意区间a,b上都可积，且则有以下结论：(1)当0k+时,若 收敛则 收敛；(2)当0k +时,若 发散则 发散。当0k0使使又设函数又设函数g(x)在在a,+ )上单调且趋于零上单调且趋于零(当当x+ 时时)，则，则上述无穷积分收敛。上述无穷积分收敛。.)()(adxxgxf.,)(aAMdxxfAaAadxxf)(5)无穷积分收敛的判别法无穷积分收

13、敛的判别法l定理定理3(阿贝尔判别法阿贝尔判别法): 设设f(x)与与g(x)在在a,+)上有定义，上有定义，并考虑无穷积分并考虑无穷积分若无穷积分若无穷积分 收敛，且函数收敛，且函数g(x)在在 a,+ ) 上单调有界，则无穷积分上单调有界，则无穷积分 收敛。收敛。.)()(adxxgxfAadxxf)(adxxgxf)()(；有界收敛可知积分积分证明：由已知条件无穷Aaadxxfdxxf)()(收敛；可知由定理adxlxgxf)()(2. 0)(lim,),)(.)(lim)(lim),)(lxgalxglxgxgaxgxxx且上单调在则函数设存在，上单调有界在由已知条件函数也收敛。所以a

14、aadxxfldxlxgxfdxxgxf)()()()()( 由于. 2|cos1cos|sin1AxdxA又又. 01)1 1xx上单调下降，且，在函数由狄利克莱判别法可知由狄利克莱判别法可知,.sin1条件收敛积分dxxx.sin1收敛积分dxxx., 2,2000nAnAnA则有取对任意取定的.2sin1|sin|1|sin|sin|sin|000002202)1(2)1(1nnnnnnnnnnnnnAndxxndxxndxxxdxxxdxxx.sin1条件收敛积分dxxx.sin1发散积分dxxx20n1A)(nx )|sin| (x 周期为 判断.dsin12的敛散性xx 由于.2s

15、in2sindsin2221112AAuxAduuuuduuxx令的敛散性。考察无穷积分1dsinxxx. 01,1. 2cos1cossinxxAxdx单调收敛。收敛，故所以dxxxxx121sindsin有另一种形式的广义积分, 积分区间可能是有限的但函数可能在区间的某些点无界. 比如, 考察 .d110 xx在x=0有一垂直的渐近线,在曲线、x轴和直线x=0与 x=1之间的区域是无界的.x1xyxy1 曲线与前面的广义积分在水平方向趋于无穷大不同, 这一区域在垂直方向趋向于无穷大.2. 2. 瑕积分瑕积分10 xdx面积x1x1;1axdx面积x1x1a现在令a0我们可以像前面一样以相同

16、的方式讨论这个广义积分: 对比0稍大的a值计算1d1axx并看一看a从正的方向趋于0(记为a0+)时出现什么情况.首先我们计算积分121121222d1aaaxxx现在求极限:121002)22(limd1limaaaaxx由于极限是有限的, 我们说广义积分收敛, 并且12d1axx从几何意义上来说从几何意义上来说,我们已经计算出我们已经计算出x=a和和x=1之之间的有限面积并得到间的有限面积并得到a从右边趋于从右边趋于0时的极限时的极限. 因因为极限存在为极限存在, 我们说积分收敛于我们说积分收敛于2, 如果积分不存如果积分不存在在, 我们就说广义积分发散我们就说广义积分发散.10 xdx面

17、积x1x1;1axdx面积x1x1a现在令a0若若 0, 函数函数f (x)在在 (x0, )内无界内无界, 则称点则称点x0为为f (x)的一个瑕点的一个瑕点. ;1)(的瑕点axxf.1ln1)( 0的瑕点是xxgx例如: x=a是2. 2. 瑕积分瑕积分l(1)定义定义a：设函数：设函数f(x)在在(a,b上有定义，且上有定义，且f(x)在任意在任意区间区间a+,b上可积上可积,但但xa+0时时f(x)无界，我们称无界，我们称a为为瑕点瑕点。若极限。若极限 存在，则称瑕积分存在，则称瑕积分收敛收敛，并定义，并定义否则称瑕积分否则称瑕积分发散发散。badxxf)(lim00；babadxx

18、fdxxf)(lim)(00badxxf)(2. 2. 瑕积分瑕积分l(1)定义定义b：设函数：设函数f(x)在在a,b)上有定义，且上有定义，且f(x)在任意在任意区间区间a, b -上可积上可积,但但xb-0时时f(x)无界，我们称无界，我们称b为为瑕点。若极限瑕点。若极限 存在，则称瑕积分存在，则称瑕积分 收敛，并定义收敛，并定义否则称瑕积分发散。否则称瑕积分发散。badxxf)(lim00；babadxxfdxxf)(lim)(00badxxf)(. ),()(dbapbapbaaxx为任意给定的常数其中求当 p0 时, 所求积分为通常的定积分, 且易求得积分值为,10;)(111时当

19、pabppa为其积分的瑕点, 且bapbapaxxaxx)(dlim)(d0bapaxp)(11lim10;)(11)(11lim1110pppabpabp当当p =1时时, a为瑕点为瑕点, 且且baaxxd原式;)ln(lnlimlnlim00abaxba. ),()(dbapbapbaaxx为任意给定的常数其中求当p 1时,bapaxx)(dlim0原式bapaxp)(11lim10.1,)(1111时积分发散当时积分值为故当pabppp.)(d的敛散性有同样结论对于积分bapxbx.)(11lim110ppabp. ),()(dbapbapbaaxx为任意给定的常数其中求.p，,p，d

20、xxbp1发散1收敛1,0特别地2. 2. 瑕积分瑕积分l(1)定义定义c：设函数：设函数f(x)在在(a,b)上有定义，且上有定义，且f(x)在任意在任意区间区间a+ , b -上可积上可积, a与与b均为均为f(x)的瑕点。的瑕点。若极限若极限 与与 都存在，则称瑕都存在，则称瑕积分积分 收敛，并定义收敛，并定义若上述两个极限中至少有一个极限不存在，就称若上述两个极限中至少有一个极限不存在，就称瑕积分瑕积分 发散。发散。cadxxf)(lim00；cabcbadxxfdxxfdxxf.)(lim)(lim)(0000badxxf)(bcdxxf)(lim00badxxf)(.d1 214的

21、收敛性研究xx12xy41xy 214d1xx阴影的面积表示 有麻烦的点是x=0, 而不是x= 1或x=2. 为处理这一情况, 我们将给定广义积分分为两个新的以x=0为其一个端点的广义积分:210120444d1d1d1xxxxxx12xy41xy 假如积分收敛, 我们现在能够运用前述的技巧来计算新的积分. 在这个例子中, 两个积分都发散, 因为)181)(31(lim31limd130232004axxxaaa204.1不存在积分x也发散类似的计算可得014d1xx因此, 原积分发散.很容易忽略因为被积函数在区间内部趋于无穷大而使积分为广义积分的情况. 比如, 说.8331241311213

22、214xdxx就是一个严重的错误.12xy41xy .1d112 xx求.)1arcsin(lim2sinlim21dlim21d21d1d1d0- 1010020011022102112xacrxxxxxxxxxx2. 2. 瑕积分瑕积分l(2)(2)瑕积分收敛的充要条件瑕积分收敛的充要条件柯西收敛原理柯西收敛原理:以以a为瑕点的瑕积分为瑕点的瑕积分 收敛的收敛的充要条件是充要条件是: 任给任给0, 存在存在0, 只要只要0 1 , 0 2 , 便有便有badxxf)(.|)(|21aadxxf2. 2. 瑕积分瑕积分l(3)瑕积分的绝对收敛与条件收敛瑕积分的绝对收敛与条件收敛若瑕积分若瑕积

23、分 收敛，则称瑕积分收敛，则称瑕积分 绝对收敛绝对收敛；若瑕积分若瑕积分 收敛，但瑕积分收敛，但瑕积分 发散，则称瑕发散，则称瑕积分积分 条件收敛条件收敛。命题命题:若瑕积分若瑕积分 收敛收敛,则则 也收敛。也收敛。badxxf| )(|badxxf)(badxxf)(badxxf| )(|badxxf)(badxxf| )(|badxxf)(2. 2. 瑕积分收敛的判别法瑕积分收敛的判别法l定理定理4（比较判别法比较判别法）:设设f(x)与与g(x)在在(a,b上有定义，上有定义，且且a是它们的瑕点。设当是它们的瑕点。设当x(a,c) 属于属于(a,b)时有时有0f(x)g(x)，则则(1)

24、由由 收敛可推出收敛可推出 也收敛；也收敛；(2)由由 发散可推出发散可推出 也发散。也发散。badxxg)(badxxg)(badxxf)(badxxf)(2. 2. 瑕积分收敛的判别法瑕积分收敛的判别法l推论（推论（比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式）:若若f(x)与与g(x)在在(a,b有定义，有定义，且且f(x) 0，g(x) 0，并有并有则则(1)当当0k+时时,若瑕积分若瑕积分 收敛则收敛则 收敛；收敛；(2)当当0k +时时,若瑕积分若瑕积分 发散则发散则 发散。发散。当当0k+时时,两瑕积分同时收敛或同时发散。两瑕积分同时收敛或同时发散。badxxg)(badxxg)(b

25、adxxf)(badxxf)(),()()(lim0可以为kkxgxfax 判别积分判别积分,dsinln )a20 xx,dcosln )b20 xx的敛散性的敛散性, 若其收敛并求其值若其收敛并求其值. 易知x=0为函数ln sinx在0, /2上的唯一瑕点, .2, 0cosln2上的唯一瑕点在为xx 0cosln)2(lim, 0sinlnlim212210 xxxxxx 另外, 作代换有xy22020,dsinlndcoslnAxxxx从而20d)coslnsin(ln2xxxAxx d )2sin21ln(2020202lnd2sinlndxxx2ln2d )ln(sin210tt

26、做变换做变换 t=2x2ln2dsinlndsinln21220tttt2ln2dsinln20tt2ln2 A.2ln2A故2ln2d )ln(sin2120ttA.R,ln0的敛散性判断瑕积分xdxx是正常积分。时，首先，当xdxxln00.0limlimlnlim,0,ln00ttttxtxettexx时当因为的瑕点。是积分时，当xdxxxln000.)(ln21limlnln1120100 xdxxxxdxx时，当.R,ln0的敛散性判断瑕积分xdxx的瑕点。是积分时，当xdxxxln000.0lnln , 01, 00100 xxxxxx使得时，取当收敛。时，当而1010 10 01

27、 dxxdxx收敛。时，当xdxxln01.R,ln0的敛散性判断瑕积分xdxx的瑕点。是积分时，当xdxxxln000.lnln , 1100 xxxxx时，当发散。时，当而1010 1 dxxdxx发散。时，当xdxxln1.11ln0当发散当收敛瑕积分xdxx2. 2. 瑕积分收敛的判别法瑕积分收敛的判别法l定理定理(狄利克莱判别法狄利克莱判别法):设积分设积分有唯一的瑕点有唯一的瑕点a, 是是的有界函数，的有界函数， g(x)单调且当单调且当xa时趋于零，则积分时趋于零，则积分收敛。收敛。badxxgxf)()(badxxgxf)()(badxxf)(2. 2. 瑕积分收敛的判别法瑕积

28、分收敛的判别法l定理定理(阿贝尔判别法阿贝尔判别法):设积分设积分 有唯一有唯一的瑕点的瑕点a, 收敛，收敛， g(x)单调有界，则积分单调有界，则积分收敛。收敛。badxxgxf)()(badxxgxf)()(badxxf)(10.)0(d1sin的敛散性rxxxr 收敛时而当时当10,10,11sin ,10dxxrxxxrrrr. )1cos1(coslim1coslim 1sin ,2010102不存在时当xdxxxr10.)0(d1sin的敛散性rxxxr 1022101sin1sin ,2dxxxxdxxxrrr时当.21cos1cos1cos 1sin ,2112时当xdxxxr

29、.01 , 0,2022xrrxxxr单调递增，关于在时当收敛时当由狄利克莱判别法知：dxxxrr101sin,210.)0(d1sin的敛散性rxxxr 1021021sin1sin ,2dxxxdxxxxrrr时当.10 1 , 0,222rrxxxr单调递增，且关于在时当收敛，得矛盾则由阿贝尔判别法知，收敛时若当dxxxdxxxrr102101sin,1sin,2发散发散时故当dxxxrr101sin,210.)0(d1sin的敛散性rxxxr 绝对收敛时当收敛时当发散时当dxxxrdxxxrdxxxrrrr1010101sin,101sin,21sin,2函数讨论 01)0(d)(sx

30、exsxs的敛散性. 考虑到01d)(xexsxsxexxexxsxsdd11101且当 s 10时, x = 0为其瑕点, 故该积分为混合型广义积分, 进一步有101.d,1 ) 1是通常的定积分时当xexsxs2) 当0 s 0时, 有, 12, 0limlim112pexexxxsxxsx11d 收敛故此时xexxs.)(,0收敛时综上所述可得ss01d)(xexsxsxexxexxsxsdd11101.p，,p，dxxp1111收敛发散2 2 含参变量的正常积分含参变量的正常积分l含参变量的积分含参变量的积分设设u=f(x,y)是是a,b c,d上的一个连续函数，对任意上的一个连续函数

31、，对任意的的y c,d, y到积分值的对应到积分值的对应形成了形成了c,d上的一个函数。上的一个函数。badxyxfy),(010sin ,sin:2dxxxxdxex例如2 2 含参变量的正常积分含参变量的正常积分1.连续性连续性定理定理1：设二元函数：设二元函数f(x,y)在闭矩形域在闭矩形域a,b c,d上上连续，则参变量积分连续，则参变量积分 在区间在区间c,d上连续。即对任意的上连续。即对任意的y0c,d, 有有badxyxfyg),()(.),(lim),(),(lim000bayybabayydxyxfdxyxfdxyxf.1lim 10220 xdx求.,1 , 12 , 01

32、1),(22算可交换顺序所以极限运算和积分运上连续在因为函数xxf.4arctan11lim1lim101021022010220 xxdxxdxxdxdxeyxdxeyxyxyyxy222210201020limlim.21)1 (21lim)21(limlim22222101001020yyyxyyxyeedxeyx.00limlim1010110202222dxdxextdxeyxtxtytyxy）点不连续。，在（函数00222yxeyx10201limlim)0 , 0(22exeyxxyxyxyxxyx时，有趋于当沿着2 2 含参变量的正常积分含参变量的正常积分2.可积性可积性定理定

33、理2：设二元函数：设二元函数f(x,y)在闭矩形域在闭矩形域a,b c,d上上连续，则函数连续，则函数 在区间在区间c,d上可积。上可积。且且即即badxyxfyg),()( badcdcdxdyyxfdyyg,),()(badcbadcdyyxfdxdxyxfdy.),(),(10)0, 0( ,dlnbaxxxxIab求).(ln1ln1abbaybayxxxxxdyx因为所以上连续在而,1 , 0baxy.11ln)1ln(1111dln101101010abydyydyxydxxdydyxdxxxxxIbababayybabayab2 2 含参变量的正常积分含参变量的正常积分3.可微性

34、可微性定理定理3：设二元函数：设二元函数 f(x,y) 与与 fy(x,y) 都在闭矩形域都在闭矩形域a,b c,d上连续，则函数上连续，则函数 在区在区间间c,d上可微。且上可微。且即即badxyxfyg),()(,),()(baydxyxfygbaybadxyxfdxyxfdyd.),(),(babaycybababadxcxfdttxfdxdxcxfdxcxfyxfdxyxfyg),(),(),(),(),(),()(证明：由定理假设可得即有可导，因此变上限积分定理上连续在积分上连续可知含参变量在则由设,)() 1(,)(,),(,),()(dtthycthycbatxfdxtxfthy

35、cybayycbaybaycyydxtxfdtdttxfdxycbatxf),(),(2,),(可知上连续，由定理在根据假设.),()()(),()( dxyxfyhdtthdyddxtxfdtdydygbayycycbay.d1)1ln(102xxxI求.) 1 (, 0)0( 0,1,d1)1ln()( 102IIIxxxI则令)11(11)1)(1 (),( ,1)1ln(),( 2222xxxxxxxfxxxf则令.),( ),( 1 , 0 1 , 0连续上在xfxf.d1)1ln(102xxxI求0,1.,d1)1ln()( 102xxxI)1ln(2ln21411)1ln()1l

36、n(21arctan11)11(11d)()( 21022102210 xxxdxxxxxx,fI)11(11),( ,1)1ln(),(222xxxxfxxxf.d1)1ln(102xxxI求)1ln(2ln21411)( 2I.) 1 (, 0)0( ,d1)1ln()(102IIIxxxI) 1 (2ln82ln81)1ln(arctan2ln21)1ln(8)1ln(2ln21411)( )0() 1 (1) 10210210210IdddIIII. 2ln8(1) I I2 2 含参变量的正常积分含参变量的正常积分4.积分上下限是参变量的函数的情况积分上下限是参变量的函数的情况考虑参

37、变量积分考虑参变量积分l若若f(x,y)在在 a,b c,d上连续上连续,u(y),v(y) 在在c,d上连续上连续,且值域包含于且值域包含于a,b之内之内,则则g(y)在在c,d上连续并可积。上连续并可积。l若若f(x,y)及及fy(x,y)在在 a,b c,d上均连续上均连续,u(y),v(y)在在c,d上可导，且值域包含于上可导，且值域包含于a,b之内之内,则则g(y)在在c,d上可导上可导,并有并有)()(),()(yvyudxyxfyg)()().(),()(),(),()(yvyuyyuyyufyvyyvfdxyxfyg)()(),(),(),()(yvyudxyxfyyvyuFy

38、g,),(),(),(),(),(),(vuydxyxfyvuyFyvfyvuvFyufyvuuF)( ),()( ),(),()( )( )( )()(yuyyufyvyyvfdxyxfyFyvvFyuuFygyvyuy则证明：设,),(),(vudxyxfyvuF有的三元连续函数，因此是连续，所以又因为的复合函数是关于),(),(),(.),(yvuyvuFyxfyvu)( ,dsin)(2xFyyxyxFxx求xxxxxxxxxxyxxxxyxycxxxxxxxxyyxyxFxxxxxxx232323222sin2sin3sinsin2sinsinsin2dos)(sin)(sind)s

39、in()( 2223 3 含参变量的广义积分含参变量的广义积分1.含参变量的无穷积分含参变量的无穷积分(1)无穷积分点点收敛无穷积分点点收敛设二元函数设二元函数f(x,y)在在ax0, 存在存在N(依赖依赖和和 y0),当当AN时，时，adxyxf),(0.| )(),(|00ygdxyxfAa.,),()(dycdxyxfyga).(),(lim00ygdxyxfAaA3 3 含参变量的广义积分含参变量的广义积分(3)含参变量无穷积分一致收敛含参变量无穷积分一致收敛定义：设无穷积分定义：设无穷积分 对于区间对于区间Y中的一切中的一切y都都收敛收敛(Y 可以是开区间，闭区间，半开半闭区间或无穷

40、区间可以是开区间，闭区间，半开半闭区间或无穷区间)。若。若对任给对任给0，存在一个与，存在一个与y无关的实数无关的实数Na，使当，使当AN时，对一切时，对一切yY，都有，都有则称含参变量的无穷积分则称含参变量的无穷积分 在在Y上一致收敛。上一致收敛。adxyxfyg),()(adxyxf),(,|),(|),(-),(|AaAadxyxfdxyxfdxyxf3 3 含参变量的广义积分含参变量的广义积分(4)无穷积分一致收敛的几何意义无穷积分一致收敛的几何意义(5)无穷积分不一致收敛的充分条件无穷积分不一致收敛的充分条件命题：设含参变量的无穷积分命题：设含参变量的无穷积分 在在Y上点点收敛。若存

41、在常数上点点收敛。若存在常数l0,不论不论N多么大多么大,总存在总存在AN及及yAY，使，使则无穷积分在则无穷积分在Y上不一致收敛。上不一致收敛。adxyxf),(, 0),(lim|),(|0kdxyxfldxyxfAyyAA或者.)0)(,), 0d0一致收敛在但不一致收敛收敛在含参变量的广义积分aaxxyxe-xy. 01, 0000 xexdyxexy-xy.,), 00收敛时当dyxex-xy.)0)(,), 0d0一致收敛在但不一致收敛收敛在含参变量的广义积分aaxxyxe-xyAxAxyA-xyeedyxe010100000,211eeedyexeAxAxAyxAy-x时，当取.

42、 1ln1) 1(00 xAxxAe由.), 0(d0不一致收敛在xyxe-xy.)0)(,), 0(d0一致收敛在但不一致收敛收敛在含参变量的广义积分aaxxyxe-xy. ), ,axeeedyxeaAAxAxyA-xy当.,1ln1, 0dyxeNAaNA-xy时，当取对.),d0一致收敛在axyxe-xy. 1ln1) 1(aAeaA由3 3 含参变量的广义积分含参变量的广义积分l(5)无穷积分一致收敛的充要条件无穷积分一致收敛的充要条件柯西收敛准则柯西收敛准则:无穷积分无穷积分 在区间在区间Y上一致收敛上一致收敛的充要条件是的充要条件是:对任给对任给0,存在与存在与y无关的实数无关的

43、实数N，使当，使当AN, AN时，对一切时，对一切yY,都有都有adxyxf),(.|),(|AAdxyxf(6)无穷积分一致收敛的无穷积分一致收敛的M判别法判别法l定理定理1（比较判别法比较判别法）:设当设当 yY时，对任意时，对任意Aa,函数函数f(x,y)关于关于x在区间在区间a,A上可积。又当上可积。又当xa时，对一切时，对一切yY，有有且无穷积分且无穷积分 收敛，则含参变量积分收敛，则含参变量积分在在Y上一致收敛上一致收敛。adxx)(adxyxf),()(| ),(|xyxf都有及对于任意的知：证明：由定理的条件可YyAAa.)(,)(0)(AAadxxNANANdxx时，有，当，

44、对收敛，即而已知无穷积分都成立。对从而有YydxyxfAA|),(|.)(| ),(|),(|AAAAAAdxxdxyxfdxyxf一致收敛在),(d1cos02xxxy2211cos ), 0 xxxyRyx对.2arctan1002xdxx而一致收敛在所以),(d1cos02xxxy(7)无穷积分一致收敛的狄利克莱判别法无穷积分一致收敛的狄利克莱判别法l定理定理2(狄利克莱判别法狄利克莱判别法)若函数若函数f(x,y)与与g(x,y)满足：满足：(1)当当x充分大后充分大后g(x,y)是是x的单调函数的单调函数( yY), 且当且当x+ 时时，对对 yY， g(x,y)一致趋于一致趋于0;

45、(2)对任意对任意Aa，积分，积分 存在且对存在且对yY 一致有界，一致有界，即存在常数即存在常数M，使对任意使对任意Aa及一切及一切 yY ，都有，都有则含参变量无穷积分则含参变量无穷积分 在在Y上一致收敛。上一致收敛。adxyxgyxf),(),(AaMdxyxf,| ),(|Aadxyxf),(8)无穷积分一致收敛的阿贝尔判别法无穷积分一致收敛的阿贝尔判别法l定理定理3(阿贝尔判别法阿贝尔判别法):若函数若函数f(x,y)与与g(x,y)满足满足：(1)当当x充分大后充分大后g(x,y)是是x的单调函数的单调函数( yY), 且且对对yY 一致一致有界，即存在常数有界，即存在常数M，使当

46、使当x a,+ )，yY时，有时，有(2) 在在Y上一致收敛。上一致收敛。则含参变量无穷积分则含参变量无穷积分 在在Y上一致收敛。上一致收敛。adxyxf),(adxyxgyxf),(),(;| ),(|Myxg一致收敛在), 0dsin0 xxxexy一致收敛。即关于收敛ydxxx,2 sin0单调递减。且关于时而xeyxxy, 1,), 0), 0一致收敛在由阿贝尔判别法), 0dsin0 xxxexy(9)(9)含参变量无穷积分的连续性和可积性含参变量无穷积分的连续性和可积性定理定理4：设函数：设函数f(x,y)在区域在区域a,+) c,d上上连续，且积分连续，且积分 在在c,d上一致收

47、敛，则上一致收敛，则(1) g(y) 在在c,d上连续；上连续；(2) g(y) 在在c,d上可积，且上可积，且adcadcdcdyyxfdxdxyxfdydyyg.),(),()(adycdxyxfyg,),()().0( 0badxxeebxax求积分 1 babxaxbaxyxyxeeexdye因为 .,), 0连续在函数baexy ,而时当axxyeebay 1100aeadxeaxax. 0一致收敛在a,bydxexy).0( 0badxxeebxax求积分 00baxybxaxdyedxdxxee .,), 0连续在函数baexy. 0一致收敛在a,bydxexy.lnln11 0

48、000abydyydyeydxedydyedxdxxeebababaxyxybabaxybxax(10)(10)含参变量无穷积分的可微性含参变量无穷积分的可微性定理定理5：设函数：设函数f(x,y)及及 在区域在区域a,+) c,d上连续，且积分上连续，且积分 在在c,d上点点收敛。上点点收敛。又设积分又设积分 在在c,d上一致收敛，则含参变上一致收敛，则含参变量积分量积分g(y)在在c,d上可导，且上可导，且adxyyxfyg.),()(adxyyxf),(adxyxfyg),()(yyxf),(收敛。收敛性：无穷积分110sinsindxxxdxxxI.sin50dxxxI：求无穷积分例5

49、.sin2921例条件收敛，参见积分Pdxxx，从而可积。点的函数值，使之连续在可重新定义函数因为的瑕点：不是积分0sin, 1sinlimsin00010 xxxxxdxxxxx上一致收敛。在则引入参变量积分, 0)(. 0,sin)(0ltgtdxxxetgtx.sin50dxxxI：求无穷积分例上可积。从而函数在任意区间点的值，使之连续，可重新定义函数在不是瑕点：因为, 00, 1sinlim000Axxxextxx., 0), 0,),(,sin),(ltxetxhxxtxftx设一致收敛。关于积分；一致有界：单调，关于关于tdxxxdxtxfetxetxhtxtx00sin),(1)

50、,(上一致收敛。在穷积分由阿贝尔判别法可知无, 0 sin)(0ldxxxetgtx上一致收敛。在则引入参变量积分, 0)(. 0,sin)(0ltgtdxxxetgtx.sin50dxxxI：求无穷积分例.,), 0,sin),(dctxxxetxftx设)., 0(,), 0(00dctdct使得则存在区间任取一致收敛。在所以而且有则,sin,1|1,|sin|,sin),(000dctxdxececdxeexexettxftxcxcxcxtxtx02202020200000sin11sin1|cos1)(cos1cos1|sin1)(sin1sin),()( xdxettxdxetxet

51、exdtxdxetxetexdtxdxedxttxftgtxtxtxtxtxtxtxtx.sin11sin0220 xdxettxdxetxtx即可知无穷积分由定理50sin)(dxxxetgtx,11sin),()( 200dcttxdxedxttxftgtx即.11sin),()( ), 0(), 0(2000txdxedxttxftgtttx均有对中任意取得一点，所以是由于.0 ,arctan)(tCttg.0 ,arctan2)(,2, 0)arctan(lim0)(limtttgCCttgtt即从而得出，即因此).(011|sin| )(|0000ttetdxedxxxetgtxtx

52、tx当0sin)(dxxxetgtx.sin)0(2)(lim000dxxxgtgt可得.0 ,arctan2)(tttg由.2sin 0dxxx即0sin)(dxxxetgtx.)sin(12dxxxI求积分.2sin0dxxx.2202sin22cos11 )1(22cos122cos1)sin(0000022dxxxxxxdxdxxxdxxx. 1)sin(2)sin(1022dxxxdxxxI.sin0:的瑕点不是被积函数注意xxx (11)(11)两个累次无穷积分可交换积分次序的充分条件两个累次无穷积分可交换积分次序的充分条件定理定理6：设函数：设函数f(x,y)在区域在区域a,+)

53、 c,+ )上连续。又设上连续。又设两个参变量积分两个参变量积分 分别关于分别关于y及及x在任意有穷区间在任意有穷区间c,d及及a,b上一致收敛，上一致收敛，并且两积分并且两积分 中至少有一个中至少有一个存在，则两积分存在，则两积分 都存在且相等，都存在且相等，即即 亦即可交换积分次序。亦即可交换积分次序。accadxyxfdydyyxfdx| ),(| ),(|与xadyyxfycdxyxfca,),(,),(及accadxyxfdydyyxfdx),(),(与accadxyxfdydyyxfdx.),(),(定理定理6：设函数：设函数f(x,y)在区域在区域a,+) c, +)上二元连续。

54、上二元连续。又又 分别关于分别关于y及及x在任意有穷在任意有穷区间区间c+,d及及a+,b上一致收敛，且上一致收敛，且中至少有一个存在，则中至少有一个存在，则accadxyxfdydyyxfdx| ),(| ),(|与cadyyxfdxyxf),(),(与accadxyxfdydyyxfdx.),(),(11)两个累次无穷两个累次无穷瑕积分瑕积分可交换积分次序的充分条件可交换积分次序的充分条件.202dxeJx证明.00222dtuedxeJtuutxx令.0)1(0222222dtuedtueeJetutuuu.0)1(00022222dtueduJduedueJJtuuu.), 0), 0

55、),( ,),()1(22上连续在令tufuetuftu.202dxeJx证明.0)1(00022222dtueduJduedueJJtuuu.4arctan21)1 (21)1 (2100200)1(20)1(00)1(02222222tdttdtetduuedtdtueduJtututu.0)1(0222222dtuedtueeJetutuuu2. 2. 含参变量的瑕积分含参变量的瑕积分l(1)定义定义：设函数：设函数f(x,y)在在(a,b Y(区间区间)上有定义，上有定义，且在且在a+,b Y上连续上连续,这里这里是任意充分小的数。此是任意充分小的数。此外对任意固定的外对任意固定的yY

56、，f(x,y)作为作为x的函数在的函数在x=a点附点附近无界，即近无界，即a为瑕点。则称为瑕点。则称 是一个以是一个以a为瑕点的含参变量的瑕积分。为瑕点的含参变量的瑕积分。Yydxyxfygba,),()(2. 2. 含参变量的瑕积分含参变量的瑕积分l(2)一致收敛的定义一致收敛的定义定义：设含参变量的瑕积分定义：设含参变量的瑕积分在在Y上点点收敛。若对任给上点点收敛。若对任给0，存在与存在与y无关的正数无关的正数0，使得当使得当00, 存在与存在与y无关的无关的0, 只只要要0 1 , 0 2 , 对一切对一切yY，都有都有Yydxyxfba,),(.|),(|21aadxyxf(4)(4)

57、含参变量的瑕积分一致收敛的含参变量的瑕积分一致收敛的M判别法判别法l定理定理7:设函数设函数f(x,y)在在(a,b Y(区间区间)上连续，且对于任意的上连续，且对于任意的yY， f(x,y)以以a为瑕点。又设为瑕点。又设f(x,y)在在(a,b Y上满足下列条件：上满足下列条件： 其中其中g(x)是定义在是定义在(a,b上的上的连续函数连续函数,且使得瑕积分且使得瑕积分收敛，则瑕积分收敛，则瑕积分 在在Y上一致收敛。上一致收敛。badxxg)(baYydxyxf,),(),(| ),(|xgyxf2.2.含参变量的瑕积分含参变量的瑕积分l(5)含参变量的瑕积分收敛的狄利克莱判别法含参变量的瑕

58、积分收敛的狄利克莱判别法l(6)含参变量的瑕积分收敛的阿贝尔判别法含参变量的瑕积分收敛的阿贝尔判别法l(7)含参变量的瑕积分的连续性和可积性含参变量的瑕积分的连续性和可积性定理定理8:设函数设函数f(x,y)在在(a,b c,d连续，且含参变量连续，且含参变量的瑕积分的瑕积分 在在 c,d上一致连续，则上一致连续，则(1) g(y)在区间在区间c,d上连续；上连续；(2) g(y)在在c,d上可积，且上可积，且badxyxfyg),()(dcbabadcdyyxfdxdxyxfdy.),(),(2.2.含参变量的瑕积分含参变量的瑕积分l(8)含参变量的瑕积分的可导性含参变量的瑕积分的可导性定理

59、定理9：设函数：设函数 f(x,y) 与与 fy(x,y) 都在区域都在区域(a,b c,d上连续，瑕积分上连续，瑕积分 在区间在区间c,d上点点收敛，而瑕积分上点点收敛，而瑕积分 在在c,d上一致上一致收敛，则含参变量的瑕积分收敛，则含参变量的瑕积分g(y)在在c,d上可导，上可导，且且badxyxf),(badxyyxf),(.),()(badxyyxfyg的值。的表达式及瑕积分：求含参变量的瑕积分例1021021arctan10 ,1)arctan()(6dxxxxItdxxxtxtg是瑕点。而不是瑕点1,0 xx111lim1arctanlim200200 xxxxxx收敛。瑕积分10

60、21arctandxxxxI1021010012011arctan2|1211241arctanlim111arctanlim收敛。收敛，因而而dxxxxxdxxxxxxxxxxx), 0( 1 , 0) 1 , 0 :1)1 (11arctan),(2222ttfRxxttfxxtxtxf补充定义上连续。和函数10 1 , 0),(上一致收敛。在dxtxf10 1 , 0),(上也一致收敛。在dxttxf102221arctan.),( ,1arctan|1)arctan(| ),(|收敛。而因为dxxxxRtxxxxxxtxtxf1010222222|arcsin11.),( ,11|1)

61、1 (1|),(|收敛。而因为xdxxRtxxxxtttxf. 10 ,112|1tanarctan11cos1111),()( 220222022cos1021022tttttdxdxxtdxttxftgx. 10 ,)1ln(2112)(2102tCttdtttg. 0, 0)0(1)arctan()(102Cgdxxxtxtg从而得可知由. 10),1ln(2)(2ttttg).21ln(2) 1 (1arctan102gdxxxxI3. 函数与函数与函数函数(1)函数函数是一个无穷瑕积分是一个无穷瑕积分(当当0时，积分收敛。时，积分收敛。.0,)(1110101dxexdxexdxex

62、xxx. 0,)(1110101dxexdxexdxexxxx均收敛。对一切实数收敛，因而无穷积分而无穷积分都有：对任意实数无穷积分11121211110lim1lim,dxexdxxexxexdxexxxxxxx也收敛。收敛，从而时，而当时是瑕积分；当时是正常积分；当积分1011010110101110, 1lim1lim11dxexdxxexexdxexxxxxxx3. 函数与函数与函数函数(2) 函数的性质函数的性质!.)() 1(,)(, 1) 1 (, 0),() 1(210nnnndxex0,)(01dxexx!.)() 1(,2222)(, 1|) 1 (, 0),(|)() 1

63、(00102100010002221nnnndtetdtetdxexedxedxexexedxdxexttxtxxxxxxx3. 函数与函数与函数函数(3) ()在在(0,+)连续连续；.)(11101dxexdxexxx0,)(01dxexx)., 0(,), 0(00dcdc使都存在区间任取连续。在证明：), 0()(11101dxexdxexxx一致收敛。在上连续在连续在,1110111101011101dcdxexdxexdcdxexdxexdxexdxexxxxxxx一致收敛。在时收敛，因而当而时，当一致收敛。在证明：,0, 10,10110111101dcdxexcdxexexex

64、dcxdcdxexxxcxcxx一致收敛。在均收敛，因而对任意的而时，当一致收敛。在证明：,1,11111111dcdxexddxexexexdcxdcdxexxxdxdxx3. 函数与函数与函数函数(4) 函数函数当当p1,q1是正常积分；是正常积分；当当p1,x=0是瑕点；是瑕点；当当q0且且q0时，时， 积分积分收敛。收敛。.)1 ()1 (0, 0,)1 (),(11101110112121dxxxdxxxqpdxxxqpqpqpqp收敛。收敛，从而时，而当因为21011210110011100)1 (110, 1)1 (lim1)1 (limdxxxdxxpxxxxqppqxpqpx

65、. 0, 0,)1 ()1 ()1 (),(11101110112121qpdxxxdxxxdxxxqpqpqpqp收敛。收敛，从而时，而当因为11112111011110121)1 ()1 (110, 1lim)1 (1)1 (limdxxxdxxqxxxxqpqpxqqpx.)1 ()1 (0, 0,)1 (),(11101110112121dxxxdxxxqpdxxxqpqpqpqp当当p0且且q0时，时， 积分收敛。积分收敛。.)1 (21011收敛dxxxqp1)1 ()1 (001111xqpqpxxxx当当p1,q1是正常积分；是正常积分；当当0p1,x=0是瑕点；是瑕点；当当0

66、q1,x=1是瑕点是瑕点.pppppxpdxxdxx211121001012121当当0p0且且q0时，时， 积分收敛。积分收敛。.)1 (11121收敛dxxxqp1)1 ()1 (011111xpqqpxxxx当当p1,q1是正常积分；是正常积分；当当0p1,x=0是瑕点；是瑕点；当当0q1,x=1是瑕点是瑕点.qqqqqxqdxxdxx21)1 (1)1 (1)1 (11112112121当当0q1时时3. 函数与函数与函数函数(5) 函数的性质函数的性质. 0, 0,sincos2),(),0( ,cos,1) 1 ()()(),(,)!1()!1()!1()()()(),(,)()()(),( ),0, 0(),(),(1201222212121212qpdqpxZnmnmnmnmnmnmqpqpqpqppqqpqp令3. 函数与函数与函数函数(5) 函数的性质函数的性质),(),(pqqp).,()(1 )()(1 )1 (),(1011011111011pqBdtttdtttdxxxqppqqptxqp令(5) 函数的性质函数的性质)()()(),(qpqpqp3. 函数