高三数学复习立体几何基础题题库一（有详细答案）(共184页)

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1、立体几何基础题题库一（有详细答案）1、二面角是直二面角，设直线与所成的角分别为1和2，则（A）1+2=900 （B）1+2900 （C）1+2900 （D）1+2900解析：C如图所示作辅助线，分别作两条与二面角的交线垂直的线，则1和2分别为直线AB与平面所成的角。根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角2. 下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是 （A） （B） （C） （D）D解析： A项：底面对应的中线，中线平行QS，PQRS是个梯形B项： 如图C项：是个平行四边形D项：是异面直线。3.

2、有三个平面，下列命题中正确的是 （A）若，两两相交，则有三条交线 （B）若，则 （C）若，=a，=b，则ab （D）若，=，则=D解析：A项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。B项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。C项：如图4. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线AB与直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为 C解析：平面AB1，如图：P点到定点B的距离与到定直线AB的距离相等，建立坐标系画图时可以以点B1B的中点为原点建立坐标系。5. 在正方体ABCDA1B1C1D1中与AD1成600角的面对角线的条数是 （A）4条

3、（B）6条 （C）8条 （D）10条C解析：如图这样的直线有4条，另外，这样的直线也有4条，共8条。6. 设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，则BCD是 （A）钝角三角形 （B）直角三角形 （C）锐角三角形 （D）不确定C解析：假设AB为a，AD为b，AC为c，且则，BD=，CD=，BC=如图则BD为最长边，根据余弦定理最大角为锐角。所以BCD是锐角三角形。7.设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题（ ） 若若 其中正确的命题的个数是（ ）A0个B1个C2个D3个B 解析：注意中b可能在上；中a可能在上；中b/，或均有，故只有一个正确命题8.如图所示，已知正四棱锥

4、SABCD侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为 （ ）A90B60C45D30B 解析：平移SC到，运用余弦定理可算得9. 对于平面M与平面N, 有下列条件:M、N都垂直于平面Q;M、N都平行于平面Q; M内不共线的三点到N的距离相等;l, M内的两条直线,且l/ M,m / N; l,m是异面直线,且l/ M,m / M;l/ N,m / N,则可判定平面M与平面N平行的条件的个数是（ ）A1B2C3D4只有、能判定M/N，选B10. 已知正三棱柱ABCA1B1C1中，A1BCB1，则A1B与AC1所成的角为 （A）450 （B）600 （C）900 （D

5、）1200C解析：作CDAB于D，作C1D1A1B1于D1，连B1D、AD1，易知ADB1D1是平行四边形，由三垂线定理得A1BAC1，选C。11. 正四面体棱长为1，其外接球的表面积为A.B. C. D.3解析：正四面体的中心到底面的距离为高的1/4。（可连成四个小棱锥得证12. 设有如下三个命题：甲：相交直线、m都在平面内，并且都不在平面内；乙：直线、m中至少有一条与平面相交；丙：平面与平面相交当甲成立时，A乙是丙的充分而不必要条件 B乙是丙的必要而不充分条件C乙是丙的充分且必要条件 D乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件解析：当甲成立，即“相交直线、m都在平面内，并且都不在平面内”时，

6、若“、m中至少有一条与平面相交”，则“平面与平面相交”成立；若“平面与平面相交”，则“、m中至少有一条与平面相交”也成立选（C）13. 已知直线m、n及平面，其中mn，那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集其中正确的是 解析：（1）成立，如m、n都在平面内，则其对称轴符合条件；（2）成立，m、n在平面的同一侧，且它们到的距离相等，则平面为所求，（4）成立，当m、n所在的平面与平面垂直时，平面内不存在到m、n距离相等的点14.空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（ ）A3B1或2C1或3D2

7、或3解析：C 如三棱柱的三个侧面。15若为异面直线，直线ca，则c与b的位置关系是（ ）A相交B异面C平行D 异面或相交解析：D 如正方体的棱长。16在正方体A1B1C1D1ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为（ ）ABCD解析：DB1D在平面AC上的射影BD与AC垂直，根据三垂线定理可得。17如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（ ）解析：C A，B选项中的图形是平行四边形，而D选项中可见图：18如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，ABC等于（ ）A45 B60C90 D12

8、0解析：B 如图右图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：AB与CD所在直线垂直；CD与EF所在直线平行AB与MN所在直线成60角；MN与EF所在直线异面其中正确命题的序号是（ ）ABCD解析：D19线段OA，OB，OC不共面，AOB=BOC=COA=60，OA=1，OB=2，OC=3，则ABC是（ ）A等边三角形B非等边的等腰三角形C锐角三角形D钝角三角形解析：B 设 AC=x，AB=y，BC=z，由余弦定理知：x2=12+32-3=7，y2=12+22-2=3，z2=22+32-6=7。 ABC是不等边的等腰三角形，选（B）20若a，b，l是两两异面的直线，a与b所成的角是，l与

9、a、l与b所成的角都是，则的取值范围是（ ）ABCD解析：D解 当l与异面直线a，b所成角的平分线平行或重合时，a取得最小值，当l与a、b的公垂线平行时，a取得最大值，故选（D）21.小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测树高时, 因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所示.他测得留在地面部分的影子长2.7m, 留在墙壁部分的影高1.2m, 求树高的高度（太阳光线可看作为平行光线）_.42米解析：树高为AB，影长为BE，CD为树留在墙上的影高，CE=米，树影长BE=米，树高AB=BE=米。22如图,正四面体（空间四边形的四条边长及

10、两对角线的长都相等）中,分别是棱的中点, 则和所成的角的大小是_.解析：设各棱长为2，则EF=，取AB的中点为M，即23OX，OY，OZ是空间交于同一点O的互相垂直的三条直 线，点P到这三条直线的距离分别为3，4，7，则OP长 为_.解析：在长方体OXAYZBPC中，OX、OY、OZ是相交的三条互相垂直的三条直线。又PZOZ，PYOY，PXOX，有 OX2+OZ2=49，OY2=OX2=9， OY2+OZ2=16，得 OX2+OY2+OZ2=37，OP=24设直线a上有6个点，直线b上有9个点，则这15个点，能确定_个不同的平面.解析： 当直线a，b共面时，可确定一个平面； 当直线a，b异面时

11、，直线a与b上9个点可确定9个不同平面，直线b与a上6个点可确定6个不同平面，所以一点可以确定15个不同的平面25. 在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点求证：EF和AD为异面直线.解析：假设EF和AD在同一平面内，（2分），则A，B，E，F；（4分）又A，EAB，AB，B，（6分）同理C（8分）故A，B，C，D，这与ABCD是空间四边形矛盾。EF和AD为异面直线26. 在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD的中点，若AC + BD = a ，ACBD =b，求.解析：四边形EFGH是平行四边形，（4分）=2=27. 如图，在三角形ABC中

12、，ACB=90，AC=b,BC=a,P是ABC 所在平面外一点，PBAB，M是PA的中点，ABMC，求异面直MC与PB间的距离.解析：作MN/AB交PB于点N（2分）PBAB，PBMN。（4分）又ABMC，MNMC（8分）MN即为异面直线MC与PB的公垂线段，（10分）其长度就是MC与PB之间的距离， 则得MN=AB=28. 已知长方体ABCDA1B1C1D1中, A1A=AB， E、F分别是BD1和AD中点.（1）求异面直线CD1、EF所成的角；（2）证明EF是异面直线AD和BD1的公垂线.（1）解析：在平行四边形中，E也是的中点，（2分）两相交直线D1C与CD1所成的角即异面直线CD1与E

13、F所成的角.（4分）又A1A=AB，长方体的侧面都是正方形，D1CCD1 异面直线CD1、EF所成的角为90.（7分）（2）证：设AB=AA1=a, D1F=EFBD1（9分）由平行四边形，知E也是的中点，且点E是长方体ABCDA1B1C1D1的对称中心，（12分）EA=ED，EFAD，又EFBD1，EF是异面直线BD1与AD的公垂线.（14分）29. ABC是边长为2的正三角形，在ABC所在平面外有一点P，PB=PC=，PA=，延长BP至D，使BD=，E是BC的中点，求AE和CD所成角的大小和这两条直线间的距离.解析：分别连接PE和CD，可证PE/CD，（2分）则PEA即是AE和CD所成角（

14、4分）在RtPBE中，PB=，BE=1，PE=。在AEP中，AE=，=AEP=60，即AE和CD所成角是60（7分）AEBC，PEBC，PE/DC，CDBC，CE为异面直线AE和CD的公垂线段，（12分）它们之间的距离为1（14分）30. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体的棱AB，BC，的中点，试证：E，F，G，H，M，N六点共面解析：EN/MF，EN与MF 共面，（2分）又EF/MH，EF和MH共面（4分）不共线的三点E，F，M确定一个平面，（6分）平面与重合，点H。（8分）同理点G（10分）故E，F，G，H，M，N六点共面31.三个互不重合的平面把空间

15、分成六个部份时，它们的交线有（ ）A1条B2条C3条D1条或2条D解析：分类：1）当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线； 2）当三个平面交于一条直线时，有一条交线，故选D32两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是（ ）A4个B5个C6个D8个解析：C 如四棱锥的四个侧面，个。33.在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点如果EF与HG交于点M，则（ ）AM一定在直线AC上BM一定在直线BD上CM可能在AC上，也可能在BD上DM不在AC上，也不在BD上解析：平面ABC平面ACD=AC，先证M平面ABC，M平面ACD，从而MACA 34. 用一个平面

16、去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是 .解析：6条35. 已知：本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法.解析：PQa,PQ与a确定一个平面36. 已知ABC三边所在直线分别与平面交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。（12分）本题主要考查用平面公理和推论证明共线问题的方法解析：A、B、C是不在同一直线上的三点过A、B、C有一个平面又 37. 已知：平面 求证：b、c是异面直线解析：反证法：若b与c不是异面直线，则bc或b与c相交38. 在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E、F分别是AB、CD的中点，EF=，求AD与BC所成角的大小（本题考查中位线法求异

17、面二直线所成角）解析：取BD中点M，连结EM、MF，则39. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，求异面直线CM与D1N所成角的正弦值.(14分)（本题考查平移法，补形法等求异面二直线所成角）解析：取DD1中点G，连结BG，MG，MB，GC得矩形MBCG，记MCBG=0则BG和MC所成的角为异面直线CM与D1N所成的角.而CM与D1N所成角的正弦值为40. 如图，P是正角形ABC所在平面外一点，M、N分别是AB和PC的中点，且PA=PB=PC=AB=a。（1）求证：MN是AB和PC的公垂线（2）求异面二直线AB和PC之间的距离解析：（1）连结AN，BN

18、，APC与BPC是全等的正三角形，又N是PC的中点AN=BN又M是AB的中点，MNAB同理可证MNPC又MNAB=M，MNPC=NMN是AB和PC的公垂线。（2）在等腰在角形ANB中，即异面二直线AB和PC之间的距离为.41空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平面 A可能有3个，也可能有2个 B可能有4个，也可能有3个C可能有3个，也可能有1个 D可能有4个，也可能有1个解析：分类，第一类，四点共面，则有一个平面，第二类，四点不共面，因为没有任何三点共线，则任何三点都确定一个平面，共有4个。.42. 下列命题中正确的个数是 三角形是平面图形 四边形是平面图形

19、四边相等的四边形是平面图形 矩形一定是平面图形A1个 B2个 C3个 D4个解析：命题是正确的，因为三角形的三个顶点不共线，所以这三点确定平面。命题是错误，因平面四边形中的一个顶点在平面的上、下方向稍作运动，就形成了空间四边形。命题也是错误，它是上一个命题中比较特殊的四边形。命题是正确的，因为矩形必须是平行四边形，有一组对边平行，则确定了一个平面。43. 如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有_1个。解析：如果有两个，则直线就在平面内，那么直线上的所有点都在这个平面内，这就与已知有一个点不在平面上矛盾，所以这条直线与这个平面的公共点最多有一个。44. 空间一条直线

20、及不在这条直线上的两个点，如果连结这两点的直线与已知直线_，则它们在同一平面内。答案：相交或平行解析：根据推论2，推论3确定平面的条件。45. 三角形、四边形、正六边形、圆，其中一定是平面图形的有_3个。解析：三角形的三个顶点不在一条直线上，故可确定一个平面，三角形在这个平面内；圆上任取三点一定不在一条直线上，这三点即确定一个平面，也确定了这个圆所在的平面，所以圆是平面图形；而正六边形内接于圆，故正六边形也是平面图形；而四边形就不一定是平面图形了，它的四个顶点可以不在同一平面内。46. 三条平行直线可以确定平面_个。答案：1个或3个解析：分类、一类三线共面，即确定一个平面，另一类三线不共面，每

21、两条确定一个，可确定3个。47. 画出满足下列条件的图形。(1)=1，a ，b ，ab=A(2)=a，b ，ba解析：如图1-8-甲，1-8-乙 48.经过平面外两点A，B和平面垂直的平面有几个？解析：一个或无数多个。当A，B不垂直于平面时，只有一个。当A，B垂直于平面时，有无数多个。 49. 设空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点，若AB12，CD4 ，且四边形EFGH的面积为12 ，求AB和CD所成的角. 解析： 由三角形中位线的性质知，HGAB，HECD， EHG就是异面直线AB和CD所成的角. EFGH是平行四边形，HG AB6，HE ，CD2， SEF

22、GHHGHEsinEHG12 sinEHG, 12 sinEHG12. sinEHG,故EHG45. AB和CD所成的角为45注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。50. 点A是BCD所在平面外一点，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点，且EF= AD，求异面直线AD和BC所成的角。（如图）解析：设G是AC中点，连接DG、FG。因D、F分别是AB、CD中点，故EGBC且EG= BC，FGAD，且FG=AD，由异面直线所成角定义可知EG与FG所成锐角或直角为异面直线AD、BC所成角，即EGF为所求。由BC=AD知EG=GF=AD，又EF=AD，由余弦定理可得cosEGF=0，即E

23、GF=90。 注：本题的平移点是AC中点G，按定义过G分别作出了两条异面直线的平行线，然后在EFG中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。51. 已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分别为BC、AD的中点。 求：AM与CN所成的角的余弦值；解析：(1)连接DM,过N作NEAM交DM于E，则CNE 为AM与CN所成的角。 N为AD的中点, NEAM省 NE=AM且E为MD的中点。设正四面体的棱长为1，则NC= 且ME=MD= 在RtMEC中，CE2=ME2+CM2=+= cosCNE=,又CNE (0,

24、) 异面直线AM与CN所成角的余弦值为.注：1、本题的平移点是N，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在CEN外计算CE、CN、EN长，再回到CEN中求角。2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。52. .如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7， 。求异面直线AB与CD所成的角。 解析：在BD上取一点G，使得，连结EG、FG 在BC

25、D中，故EG/CD，并且， 所以，EG=5；类似地，可证FG/AB，且， 故FG=3，在EFG中，利用余弦定理可得 cosFGE=，故FGE=120。 另一方面，由前所得EG/CD，FG/AB，所以EG与FG所成的锐角等于AB与CD所成的角，于是AB与CD所成的角等于60。53. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且ab求AC1与BD所成的角的余弦解一：连AC，设ACBD=0，则O为AC中点，取C1C的中点F，连OF，则OFAC1且OF=AC1，所以FOB即为AC1与DB所成的角。在FOB中，OB=，OF=，BE=，由余弦定理得cosOB=解二：取AC1中点O

26、1，B1B中点G在C1O1G中，C1O1G即AC1与DB所成的角。解三：延长CD到E，使ED=DC则ABDE为平行四边形AEBD，所以EAC1即为AC1与BD所成的角连EC1，在AEC1中，AE=，AC1=，C1E=由余弦定理，得cosEAC1=0所以EAC1为钝角根据异面直线所成角的定义，AC1与BD所成的角的余弦为54. 已知AO是平面的斜线，A是斜足，OB垂直，B为垂足，则直线AB是斜线在平面内的射影，设AC是内的任一条直线，解析：设AO与AB所成角为，AB与AC所成角为，AO与AC所成角为，则有。在三棱锥SABC中，SAB=SAC=ACB=，求异面直线SC与AB所成角的大小。（略去了该

27、题的1,2问）由SA平面ABC知，AC为SC在平面ABC内的射影，设异面直线SC与AB所成角为，则 ，由 得 ， ， ， 即异面直线SC与AB所成角为 。55. 已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，证明 。（略去了该题的2，3问）解析： 设在平面ABCD内射影为H，则CH为在平面ABCD内的射影， ， ，由题意 ， 。又 ， 从而CH为的平分线，又四边形ABCD是菱形， 与BD所成角为， 即56. 在正四面体ABCD中，E，F分别为BC，AD的中点，求异面直线AE与CF所成角的大小。解析： 连接BF、EF，易证AD平面BFC， EF为AE在平面BFC内的射影，设AE与CF所成角为， ，设正

28、四面体的棱长为，则 ，显然 EFBC， ， ， ， ， 即AE与CF所成角为 。57. 三棱柱，平面平面OAB，且，求异面直线与所成角的大小，（略去了该题的1问）解析： 在平面内作于C ，连，由平面平面AOB， 知，AO平面， ， 又 ， BC平面， 为在平面内的射影。设与所成角为，与所成角为， 则，由题意易求得 ， ，在矩形中易求得与所成角的余弦值：， ，即与所成角为 。58. 已知异面直线与所成的角为，P为空间一定点，则过点P且与，所成的角均是的直线有且只有（ ）A、1条 B、2条 C、3条 D、4条 解析： 过空间一点P作，则由异面直线所成角的定义知：与的交角为，过P与，成等角的直线与，

29、亦成等角，设，确定平面，交角的平分线为，则过且与垂直的平面（设为）内的任一直线与，成等角（证明从略），由上述结论知：与，所成角大于或等于与，所成角，这样在内的两侧与，成角的直线各有一条，共两条。在，相交的另一个角内，同样可以作过角平分线且与垂直的平面，由上述结论知，内任一直线与，所成角大于或等于，所以内没有符合要求的直线，因此过P与，成的直线有且只有2条，故选（B）59. 垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（ ）A.平行 B.相交C.异面 D.以上都有可能解析：D60. l1、l2是两条异面直线，直线m1、m2与l1、l2都相交，则m1、m2的位置关系是（ ）A.异面或平行 B.相交C.异

30、面 D.相交或异面解析：D 61. 在正方体ABCD-ABCD中,与棱AA异面的直线共有几条（ ）A.4 B.6C.8 D.10解析：A62.在正方体ABCD-ABCD中12条棱中能组成异面直线的总对数是（ ）A.48对 B.24对C.12对 D.6对解析：B棱AA有4条与之异面,所以,所有棱能组成412=48对,但每一对都重复计算一次,共有24对.63. 正方体ABCD-ABCD中,异面直线CD和BC所成的角的度数是（ ）A.45 B.60C.90 D.120解析：BADC=60即为异面直线CD和BC所成的角的度数为6064.异面直线a、b，ab，c与a成30角，则c与b成角的范围是 （ ）

31、A. B. C. D. 解A直线c在位置c2时,它与b成角的最大值为90,直线c在c1位置时,它与b成角的最小值是6065.如图，空间四边形ABCD的各边及对角线长都是1，点M在边AB上运动、点Q在边CD上运动，则P、Q的最短距离为（ ）解析：B当M,N分别为中点时。因为AB, CD为异面直线，所以M, N的最短距离就是异面直线AB,CD的距离为最短。连接BN,AN则CDBN,CDAN且AN=BN,所以NMAB。同理，连接CM,MD可得MNCD。所以MN为AB,CD的公垂线。因为AN=BN所以在RTBMN中，MN求异面直线的距离通常利用定义来求，它包括两个步骤:先证一条线段同时与两异面直线相交

32、垂直；再利用数量关系求解。在做综合题时往往大家只重视第二步，而忽略第一步。66. 空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点，EF3，则AD,BC所成的角为（ ）A.30 B.60C.90 D.120解B注：考察异面直线所成角的概念，范围及求法，需注意的是，异面直线所成的角不能是钝角，而利用平行关系构造可求解的三角形，可能是钝角三角形，望大家注意。同时求角的大小是先证明再求解这一基本过程。67. 直线a是平面的斜线，b在平内，已知a与b成60的角，且b与a在平内的射影成45角时，a与所成的角是（ ）A.45 B.60C.90 D.135解A68. m和n是分别在两个互相

33、垂直的面、内的两条直线，与交于l，m和n与l既不垂直，也不平行，那么m和n的位置关系是 A.可能垂直，但不可能平行 B.可能平行，但不可能垂直 C.可能垂直，也可能平行 D.既不可能垂直，也不可能平行解析：这种结构的题目，常常这样处理，先假设某位置关系成立，在此基础上进行推理，若无矛盾，且推理过程可逆，就肯定这个假设；若有矛盾，就否定这个假设。 设m/n,由于m在外，n在内， m/ 而过m与交于l m/l，这与已知矛盾， m不平行n. 设mn，在内作直线l, , a, ma. 又由于n和a共面且相交（若a/n 则nl，与已知矛盾） m, ml与已知矛盾， m和n不能垂直. 综上所述，应选（D）

34、.69. 如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E、F分别是AD、DD1的中点，则面EFC1B和面BCC1所成二面角的正切值等于 解析：为了作出二面角E-BC1-C的平面角，需在一个面内取一点，过该点向另一个面引垂线（这是用三垂线定理作二面角的平面角的关键步骤）。从图形特点看，应当过E（或F）作面BCC1的垂线.解析：过E作EHBC，垂足为H. 过H作HGBC1，垂足为G.连EG.面ABCD面BCC1，而EHBCEH面BEC1，EG是面BCC1的斜线，HG是斜线EG在面BCC1内的射影.HGBC1， EGBC1， EGH是二面角E-BC1-C的平面角。 在RtBCC1中：sinC1BC=

35、在RtBHG中：sinC1BC= HG=（设底面边长为1）. 而EH=1， 在RtEHG中：tgEGH= EGH=arctg 故二面角E-BC1-C 等于arctg.70. 将边长为1的正方形ABCD，沿对角线AC折起，使BD=.则三棱锥D-ABC的体积为 解析：设AC、BD交于O点，则BOAC 且DOAC，在折起后，这个垂直关系不变，因此BOD是二面角B-AC-D的平面角.由于DOB中三边长已知，所以可求出BOD： 这是问题的一方面，另一方面为了求体积，应求出高，这个高实际上是DOB中，OB边上的高DE，理由是： DEOB DE面ABC. 由cosDOB=，知sinDOE= DE= 应选（B

36、）71. 球面上有三个点A、B、C. A和B，A和C间的球面距离等于大圆周长的. B和C间的球面距离等于大圆周长的.如果球的半径是R，那么球心到截面ABC的距离等于 解析：本题考查球面距离的概念及空间想像能力. 如图所示，圆O是球的大圆，且大圆所在平面与面ABC垂直，其中弦EF是过A、B、C的小圆的直径，弦心距OD就是球心O到截面ABC的距离，OE是球的半径，因此，欲求OD，需先求出截面圆ABC的半径. 下一个图是过A、B、C的小圆.AB、AC、CB是每两点之间的直线段.它们的长度要分别在AOB、AOC、COB中求得（O是球心）.由于A、B间球面距离是大圆周长的，所以AOB=2=，同理AOC=

37、，BOC=.|AB|=R， |AC|=R， |BC|=. 在ABC中，由于AB2+AC2=BC2. BAC=90,BC是小圆ABC的直径. |ED|= 从而|OD|=. 故应选B.72. 如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA底面ABCD，该图中，互相垂直的面有 A.4对 B.5对 C.6对 D.7对答案（D）解析：要找到一个好的工作方法，使得计数时不至于产生遗漏73. ABCD是各条棱长都相等的三棱锥.M是ABC的垂心，那么AB和DM所成的角等于_ 解析：90连CM交AB于N，连DN，易知N是AB中点，ABCN，ABDN.74. 已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、P

38、C的中点.（1）求证：MNCD；（2）若PDA=45，求证MN面PCD.(12分)解析：75. 设P、Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心。如图：（1）证明：PQ平面AA1B1B；（2）求线段PQ的长。（12分）评注：本题提供了两种解法，方法一，通过平行四边形的对边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”；方法二，通过三角形的中位线与底边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”。本题证法较多。76. 如图，已知求证al解析：77. 如图，ABCD为正方形，过A作线段SA面ABCD，又过A作与SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H，求证：E、H分别是点A在直线

39、SB和SD上的射影。（12分）解析：78. 在正方体ABCDA1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心。求证：A1O平面GBD（14分）解析：79. 如图，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，其公垂线段AB的长为定值m，定长为n（nm）的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点。（1）求证：ABMN；（2）求证：MN的长是定值（14分）解析：80. 已知：平面与平面相交于直线a，直线b与、都平行，求证：ba证明：在a上取点P，b和P确定平面设与交于，与交于 b且b b且b 与重合，而， ，实际上是、a三线重合， ab81. 有三个几何事实(a，b表示直

40、线，表示平面)， ab， a， b其中，a，b在面外用其中两个事实作为条件，另一个事实作为结论，可以构造几个命题？请用文字语言叙述这些命题，并判断真伪正确的给出证明，错误的举出反例解析： ab a b b在外：ab b a a在外、是同一个命题：两条平行直线都在一个平面外，若其中一条与平面平行，则另一条也与该平面平行证明：过a作平面与交于 a a而ab b且b在外，在内 b：a ab b命题：平行于同一个平面的两条直线平行，这是错的，如右图82. 两个平面同时垂直于一条直线，则两个平面平行已知：a、b是两个平面，直线la，lb，垂足分别为A、B求证：ab思路1：根据判定定理证证法1：过l作平面

41、g ，agAC，bgBD，过l作平面d，adAE，bdBF，lalAClblBD ACBDACb，l、AC、BD共面同理AEb，ACAEf ，AC，AEa ，故ab思路2：根据面面平行的定义，用反证法证法2：设a、b有公共点P则l与P确定平面g，且agAP，bgBPlalAPlblBPl、AP、BP共面，于是在同一平面内过一点有两条直线AP、BP都与l垂直，这是不可能的故a、b不能有公共点， ab83. 已知：a、b是异面直线，a平面a，b平面b，ab，ba求证：ab证法1：在a上任取点P，显然Pbb于是b和点P确定平面g且g 与a 有公共点P a gb且b和a交于P， ba ， bb bb而

42、ab这样a 内相交直线a和b都平行于b ab证法2：设AB是a、b的公垂线段，过AB和b作平面g ，g b，过AB和a作平面d ，baaaabbbABaABa，ABbABb于是ABa 且ABb， ab84. 已知a、b、c是三条不重合的直线，、r是三个不重合的平面，下面六个命题：ac，bcab；ar，brab；c，c；r，r；ac，ca；ar，ra其中正确的命题是( )(A) (B) (C) (D) 解析：由公理4“平行于同一条直线的两条直线互相平行”可知命题正确；若两条不重合的直线同平行于一个平面，它们可能平行，也可能异面还可能相交，因此命题错误；平行于同一条直线的两个不重合的平面可能平行，

43、也可能相交，命题错误；平行于同一平面的两个不重合的平面一定平行，命题正确；若一条直线和一个平面分别平行于同一条直线或同一个平面，那么这条直线与这个平面或平行，或直线在该平面内，因此命题、都是错的，答案选AP85. 已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC，M、N分别是A1B1，AB的中点，P点在线段B1C上，则NP与平面AMC1的位置关系是( )(A) 垂直(B) 平行(C) 相交但不垂直(D) 要依P点的位置而定解析：由题设知B1MAN且B1M=AN，四边形ANB1M是平行四边形，故B1NAM，B1NAMC1平面又C1MCN，得CN平面AMC1，则平面B1NCAMC1，NP平面B1NC，

44、 NP平面AMC1答案选B86. 已知：正方体ABCDA1B1C1D1棱长为a(1) 求证：平面A1BD平面B1D1C；(2) 求平面A1BD和平面B1D1C的距离证明：(1) 在正方体ABCDA1B1C1D1中， BB1平行且等于DD1， 四边形BB1D1D是平行四边形， BDB1D1， BD平面B1D1C同理 A1B平面B1D1C，又A1BBD=B， 平面A1BD平面B1D1C解：(2) 连AC1交平面A1BD于M，交平面B1D1C于NAC是AC1在平面AC上的射影，又ACBD， AC1BD，同理可证，AC1A1B， AC1平面A1BD，即MN平面A1BD，同理可证MN平面B1D1C MN

45、的长是平面A1BD到平面B1D1C的距离，设AC、BD交于E，则平面A1BD与平面A1C交于直线A1E M平面A1BD，MAC1平面A1C， MA1E同理NCF在矩形AA1C1C中，见图921(2)，由平面几何知识得， 评述：当空间图形较为复杂时，可以分解图形，把其中的平面图形折出分析，利于清楚地观察出平面上各种线面的位置关系证明面面平行，主要是在其中一个平面内找出两条与另一个平面平行的相交直线，或者使用反证法87. 已知正三棱柱ABCA1B1C1，底面边长为8，对角线B1C=10，D为AC的中点(1) 求证AB1平面C1BD；(2) 求直线AB1到平面C1BD的距离证明：(1) 设B1CBC

46、1=O连DO，则O是B1C的中点在ACB1中，D是AC中点，O是B1C中点 DOAB1，又DO平面C1BD，AB1平面C1BD， AB1平面C1BD解：(2) 由于三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，D是AC中点， BDAC，且BDCC1， BD平面AC1，平面C1BD平面AC1，C1D是交线在平面AC1内作AHC1D，垂足是H， AH平面C1BD，又AB1平面C1BD，故AH的长是直线AB1到平面C1BD的距离由BC=8，B1C=10，得CC1=6，在RtC1DC中，DC=4，CC1=6，在RtDAH中，ADH=C1DC 即AB1到平面C1BD的距离是评述：证明线面平行的关键是在平面内找出与

47、已知直线平行的直线，如本题的DO本题的第(2)问，实质上进行了“平移变换”，利用AB1平面C1BD，把求直线到平面的距离变换为求点A到平面的距离88. 已知：直线a平面求证：经过a和平面平行的平面有且仅有一个证：过a作平面与交于，在内作直线与相交，在a上任取一点P，在和P确定的平面内，过P作bb在外，在内， b而a a，b确定的平面过a且平行于 过a，b的平面只有一个， 过a平行于平面的平面也只有一个89. 已知平面、其中=l，=a，=，a，=b，=，b上述条件能否保证有？若能，给出证明，若不能给出一个反例，并添加适当的条件，保证有不足以保证如右图如果添加条件a与b是相交直线，那么证明如下：a

48、abb a，b是内两条相交直线， 90. 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.已知：平面平面a，平面平面b，平面平面c.求证：a、b、c相交于同一点，或abc.证明：a，ba、ba、b相交或ab.(1)a、b相交时，不妨设abP，即Pa，Pb而a、b，aP，P，故P为和的公共点又c由公理2知Pca、b、c都经过点P，即a、b、c三线共点.(2)当ab时c且a，aac且ababc故a、b、c两两平行.由此可知a、b、c相交于一点或两两平行.说明：此结论常常作为定理使用，在判断问题中经常被使用.91. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上

49、，且B1EBF.求证：EF平面BB1C1C.证法一：连AF延长交BC于M，连结B1M.ADBCAFDMFB又BDB1A，B1EBFDFAEEFB1M，B1M平面BB1C1CEF平面BB1C1C.证法二：作FHAD交AB于H，连结HEADBCFHBC，BCBB1C1CFH平面BB1C1C由FHAD可得又BFB1E，BDAB1EHB1B，B1B平面BB1C1CEH平面BB1C1C，EHFHH平面FHE平面BB1C1CEF平面FHEEF平面BB1C1C说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.92. 已知：平面平面，线段AB分别交、于

50、点M、N；线段AD分别交、于点C、D；线段BF分别交、于点F、E，且AM=m,BN=n,MN=p，FMC面积=(m+p)(n+p),求：END的面积.解析：如图，面AND分别交、于MC，ND，因为，故MCND，同理MFNE，得FMCEND，NDMC（m+p)：m和ENFMn(n+p)SENDSFMC得SENDSFMC(m+p)(n+p)=(m+p)2END的面积为(m+p)2平方单位.93. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN.求证:MN平面AA1B1B.解析：本题是把证“线面平行”转化为证“线线平行”，即在平面ABB1A1内找一条直线与MN

51、平行，除上面的证法外，还可以连CN并延长交直线BA于点P，连B1P，就是所找直线，然后再设法证明MNB1P.分析二：要证“线面平行”也可转化为证“面面平行”，因此，本题也可设法过MN作一个平面，使此平面与平面ABB1A1平行，从而证得MN平面ABB1A1.94. 已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面（1）求证：EF平面GMC（2）若AB4，GC2，求点B到平面EFG的距离解析：第1小题，证明直线与平面垂直，常用的方法是判定定理；第2小题，如果用定义来求点到平面的距离，因为体现距离的垂线段无法直观地画出，因此，常常将这样的问题转化为直线到平

52、面的距离问题解：（1）连结BD交AC于O，E，F是正方形ABCD边AD，AB的中点，ACBD，EFACACGCC，EF平面GMC（2）可证BD平面EFG，由例题2，正方形中心O到平面EFG95. 已知：ABCD是矩形，SA平面ABCD，E是SC上一点求证：BE不可能垂直于平面SCD解析：用到反证法，假设BE平面SCD， ABCD；ABBE ABSB，这与RtSAB中SBA为锐角矛盾 BE不可能垂直于平面SCD96. 已知PA，PB，PC与平面所成的角分别为60，45，30，PO平面，O为垂足，又斜足A，B，C三点在同一直线上，且ABBC10cm，求PO的长解析：97. 已知：如图，AS平面SBC，SO平面ABC于O，求证：AOBC解析：连结AO，证明BC平面ASO98. 已知ABCD是矩形，SA平面ABCD，M、N分别是SC、AB的中点求证：MNAB解析：连结MB、MA，证明MBMA99. 已知：如图，平面a 平面b 直线l，Aa ，ABb ，Bb ，BCa ，Ca，求证：ACl证明： ABb ，lb lAB BCa ，la lBC ABBCB l平面ABC AC平面ABC lAC100. 已知：如图，P是BAC所在平面外一点，PDAB，D为垂足，PEAC，E为垂足，在平面BAC内过D作DFAB，过E作