计量经济学教学案

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1、.计量经济学教案应用经济学教研室20XX5月.目 录第1章 绪论 11.1计量经济学11.2计量经济学方法论2第2章 一元线性回归模型72.1回归分析概述72.2一元线性回归模型12第3章 多元线性回归模型 303.1多元线性回归模型303.2多元线性回归模型的统计检验393.3多元线性回归模型的置信区间43第4章 异方差性494.1异方差的概念494.2异方差的后果514.3异方差的检验524.4异方差的修正544.5案例居民储蓄模型估计56第5章 序列相关性595.1序列相关性595.2序列相关性的后果615.3序列相关性的检验625.4序列相关性的修正645.5案例地区商品出口模型估计6

2、7第6章 多重共线性706.1多重共线性706.2多重共线性的后果716.3多重共线性的检验736.4多重共线性的方法746.5案例服装市场需求函数75第7章 随机解释变量和虚拟变量787.1随机解释变量问题787.2虚拟变量模型83第8章 单方程计量经济学应用模型 898.1生产函数模型898.2需求函数模型96第9章 滞后变量模型 1029.1滞后变量模型的基本概念1029.2分布滞后模型的参数估计1039.3滞后变量模型的构造1079.4自回归模型的估计1099.5案例我国长期货币流通量需求模型111第10章 联立方程计量经济学模型理论与方法11310.1联立方程模型的基本概念11310

3、.2联立方程模型的结构式和简化式11510.3计量经济学方法中的联立方程问题118第11章 联立方程计量经济学模型的识别 12111.1模型的识别的概念12111.2模型的识别的阶条件和秩条件125第12章 联立方程模型的估计 13012.1联立方程模型的单方程估计方法13012.2联立方程模型的系统估计方法138.第一章 绪 论教学目的与要求通过本章学习,要求了解计量经济学的基本概念、计量经济学的内容体系以及本课程涉及的内容、计量经济学的主要应用、建立与应用计量经济学模型的工作步骤、学习计量经济学的重要性。要求掌握计量经济学的经济学科性质以及在经济学科中的地位,在建立与应用计量经济学模型的每

4、一步骤中应注意的关键问题。教学重点与难点本章重点是对计量经济学的经济学科性质的理解和在建立与应用计量经济学模型的每一步骤中应注意的关键问题。难点是如何将本章的知识用于指导全课程的学习。教学方法课堂讲授、实证分析与学生自学相结合。1.1计量经济学一、计量经济学计量经济学,是对经济学的作用存在有某种期待的结果,它把数理统计学应用于经济数据,以使数理经济学构造出来的模型得到经验上的支持,并获得数值结果。计量经济学可定义为实际经济现象的数量分析。这种分析基于理论与观测的并行发展,而理论与观测又通过适当的方法而得以联系。计量经济学研究经济定律的经验判断。本质上,计量经济学的研究方法是,利用统计推断的理论

5、和技术作为桥头堡,以达到经济理论和实际测算相衔接的目的。对经济的数量研究有几个方面,其中任何一个就其本身来说都不应该与经济计量学混为一谈。因此,经济计量学与经济统计学绝不是一样的。它也不等于我们所说的一般经济理论,即使这种理论中有很大部分具有确定的数量特征。也不应把计量经济学的意义与经济学中应用经济学看成是一样的。经验表明,统计学、经济理论和数学的三个方面的观点之一是实际理解现代经济生活中数量关系的必要条件,但任何一种观点都不是充分条件。这三者的统一才是强有力的工具；正是由于这三者的统一才构成了经济计量学。R.Frish,Economitrica,1933Comparison：Mathemat

6、ical Economics-the mathematical development of the economic theory Economic Statistics-concerned with descriptive statistics: developing and refiningEconomic data Econometrics-utilizes the data to estimate quantitative economic relationships and To test hypotheses about them.二、计量经济学模型模型models,是对现实的描

7、述和模拟。对现实的各种不同的描述和模拟方法,就构成了各种不同的模型：语义模型也称逻辑模型、物理模型、几何模型、数学模型和计算机模型等。经济理论语义模型例1：对供给不足下的生产活动,我们可以用产出量是由资本、劳动、技术等投入要素决定的,在一般情况下,随着各种投入要素的增加,产出量也随之增加,但要素的边际产出是递减的来描述。数理经济模型经济数学模型计量经济模型经济数学模型比较：数理经济模型：揭示经济活动中各个因素之间的理论关系,用确定性的数学方程加以描述。如可将例1中的语义模型写成数理经济模型： 或 计量经济模型：揭示经济活动中各个因素之间的定量关系,用随机性的数学方程加以描述：如可将例1中的语义

8、模型写成计量经济模型：三、计量经济学的内容体系1、 广义计量经济学和狭义计量经济学计量经济学作为经济学的一个分支学科,有其广泛的内容。一般将它分为广义计量经济学和狭义计量经济学。广义计量经济学,是利用经济理论、数学以及统计学定量研究经济现象的经济计算方法的统称,包括回归分析方法、投入产出分析方法、时间序列分析方法等。狭义计量经济学,也就是我们通常所说的计量经济学,以揭示经济现象中的因果关系为目的,在数学上主要应用回归分析方法。2、 理论计量经济学和应用计量经济学理论计量经济学：以介绍、研究计量经济学的理论与方法为主要内容,侧重于理论与方法的数学证明与推导,与数理统计联系极为密切。应用计量经济学

9、：以建立与应用计量经济学模型为主要内容,强调应用模型的经济学和经济统计学基础,侧重于建立与应用模型过程中实际问题的处理。3、 计量经济学建模理论与方法的发展传统方法结构模型方法50、60年代：以先验给定的经济理论为建立模型的出发点,以模型的参数估计为重心,以参数估计值与其理论预期值相一致为判断标准。试验方法70年代以后：从只有少数方程和变量入手,进行试验,包括在各种变量的组合中增删变量、或增删方程、或改变函数形式等,以求取得最佳模型。1.2计量经济学方法论一、传统或经典方法论建立模型一理论模型的设计1、理论或假说的陈述；2、理论的数学模型的设定；3、理论的计量经济模型的设定；二获取数据三模型的

10、参数估计四模型的检验1、经济意义的检验2、统计检验3、计量经济学检验4、预测检验五模型应用1、经济分析/构分析2、经济预测3、政策评价4、检验与发展经济理论例2：凯恩斯消费理论一理论模型的设计1、理论或假说的陈述基本的心理定律是,通常或平均而言,人们倾向于随着他们收入的增加而增加其消费,但比不上收入增加得那么多。John Maynard Keynes, The General Theory of Employment, Interest and Money即：边际消费倾向MPC：marginal propensity to consume大于0而小于1。确定模型所包含的变量：消费Y、X2、理论

11、的数学模型的设定数理经济学的设定： 1.2.1或： 1.2.2这里与分别表示一条直线的截距和斜率,其中就是对MPC的度量。拟定理论模型中待估参数的理论期望值0; 013、理论的计量经济学模型的设定 1.2.3 其中：误差项或干扰项stochastic disturbance term,是一个随机变量。该计量经济消费模型假设了消费对收入有线性关系,但两者的关系还是不准确的,它从一个家庭变到另一个家庭由误差项表示。图1.1凯恩斯消费函数及其计量经济模型a. 凯恩斯消费函数b. 凯恩斯消费函数的计量经济模型消费收入收入消费二样本数据的收集为了估计1.2.3所示的计量经济模型,即为了得到和,需要有关于

12、收入与消费支出的统计数据。表1.1给出了一组美国经济的数据。表1.1 Y和X数据年Y X年Y X1980198119821983198419852447.1 3776.32476.9 3843.12503.7 3760.32619.4 3906.62746.1 4148.52865.8 4279.81986198719881989199019912969.1 4404.53052.2 4539.93162.4 4718.63223.3 48383260.4 4877.53240.8 4821 模型的参数估计参数估计将对模型赋予经验内容,是一个纯技术的过程。包括对模型进行识别对联立方程模型而言、

13、估计方法的选择、软件的应用等内容。在一定的假设下面,通过普通最小二乘法,利用表1.1中的数据所估计的消费函数是 从方程1.2.4可知,在19801991年期间,边际消费倾向约为0.72,表明在此期间,实际收入每增加一美元,平均而言,实际消费支出增加约72美分。之所以说平均而言,是因为消费和收入之间没有准确的关系。四模型的检验1、 经济意义的检验主要检验模型参数估计量在经济意义上的合理性。主要方法是将模型参数的估计量与预先拟定的理论期望值进行比较,包括参数估计量的符号、大小、相互之间的关系,以判断其合理性。这里,00.721,经济意义合理。2、 统计检验统计检验是由统计理论决定的,目的在于检验模

14、型的统计学性质。通常最广泛应用的统计检验准则有拟合优度检验、变量和方程的显著性检验等。这里需要检验：0.72是否在统计意义上statistical小于1？3、 计量经济学检验计量经济学检验是由计量经济学理论决定的,目的在于检验模型的计量经济学性质。即运用所选定的估计方法如上面所说的普通最小二乘法时的前提假设是否存在。通常最主要的检验准则有随机误差项的序列相关检验和异方差性检验,解释变量的多重共线性检验等。4、 预测检验预测检验主要检验模型参数估计量的稳定性以及相对样本容量变化时的灵敏度,确定所建立的模型是否可以用于样本观测值以外的范围,即模型的所谓超样本特性。五模型应用当一个变量或几个变量发生

15、变化时会对其他变量以至经济系统产生什么样的影响1、经济分析/结构分析2、经济预测3、政策评价纯预测：假定1994年GDP为60万亿美元,问1994年的消费将是多少？经济分析/政策评价：1993年克林顿总统上任后宣布其经济计划,其中包括对年收入超过14万美元的人增税,假若政策改变的结果导致投资的下降,问这一收入政策对消费支出以至最后对就业的影响将如何？根据宏观经济理论：投资支出每改变1元,收入的改变由收入乘数M给出：因此,由模型中已得到的MPC=0.7196,可得到M=3.57。即投资减少1元,将最终导致收入减少3.6美元。于是,假定这一政策导致1994年投资支出下降1%,则可预算出收入下降1.

16、014%,相应的消费支出下降1.019%。表1.2 1994年加税政策的影响预测值加税后预测值政策影响绝对量政策影响相对量收入消费支出投资支出600004296817032593924253016861-608-438-170-1.014-1.019-1又问：政府认为4万亿美元的消费支出水平可维持当前约60.5%的失业率水平,问什么收入水平将保证消费支出的这一目标？4、检验与发展经济理论一方面,按照某种经济理论去建立模型,通过实际经济数据去拟合,根据拟合的好坏来检验经济理论；另一方面,根据实际数据来拟合各种模型,并通过分析总结拟合最好的模型所表现出来的变量间的关系,来探寻经济变化规律,即发现和

17、发展经济理论。二、计量经济学模型成功的三要素从上述建立计量经济学模型的步骤中,不难看出,任何一项计量经济学研究、任何一个计量经济学模型赖以成功的要素应该有三个：理论、方法、数据 Economic Theory-econometric modelStatistic Theory- econometric techniquesFacts-relevant data理论、方法、数据TheoryModelEconomicModelEstimation of the Economic Model with Therefined Data Using Econometric TechniquesFacts

18、DataStatistical theoryRefineDataEconometrictechniquesStructuralAnalysisForecastingPolicyEvaluation图1.2,The Econometric Approac第二章一元线性回归模型的理论与方法教学目的与要求了解最低要求：一元线性单方程计量经济学模型的基本理论与方法；推导和证明与普通最小二乘法有关的参数估计过程和结论；应用计算器进行线性单方程模型的普通最小二乘估计；独立完成建立一元线性单方程计量经济学模型的全过程工作。掌握较高要求：关于线性单方程积极性模型的基本假设,最小二乘法的基本原理；主要的统计检验

19、方法及应用。应用对应用能力的要求：学习该部分,要求建立一个实际的一元线性回归模型,用计算器完成参数估计量的计算与检验,最后提交一篇报告。教学重点与难点本章重点是关于线性单方程积极性模型的基本假设,最小二乘法的基本原理；主要的统计检验方法及应用。难点是推导和证明与普通最小二乘法有关的参数估计过程和结论。教学方法课堂讲授、实证分析与学生自学相结合。2.1 回归分析概述一、变量间的关系及回归分析的基本概念经济变量之间的关系,大体可分为两类：确定性变量关系或函数关系：研究的是确定现象非随机变量间的关系。统计依赖或相关关系：研究的是非确定现象随机变量间的关系。例2.1：圆面积=Fp,圆半径=p*圆半径*

20、圆半径, 函数关系； 农作物产量=F气温、降雨量、阳光、施肥量,统计依赖相关关系。 正相关 线性相关 不相关 相关系数： 有因果关系 回归分析统计依赖相关关系 负相关 -11 正相关 无因果关系 相关分析 非线性相关 不相关 负相关 注意：不线性相关并不意味着不相关；有相关关系并不意味着一定有因果关系；回归分析/相关分析研究一个变量对另一个些变量的统计依赖关系,但它们并不意味着一定有因果关系。回归分析对变量的处理方法存在不对称性,即区分应变量被解释变量和自变量解释变量：前者是随机变量,后者不是；相关分析则对称地对待任何变量,两个变量都被看作是随机的。回归分析是研究一个变量关于另一个些变量的依赖

21、关系的计算方法和理论。其用意在于通过后者的已知或设定值,去估计和或预测前者的总体均值。前一个变量被称为被解释变量Explained Variable或应变量Dependent Variable后一个变量被称为解释变量Explanatory Variable或自变量Independent Variable。回归分析构成计量经济学的方法论基础,其主要内容包括：、 根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计,求得回归方程；、 对回归方程、参数估计值进行显著性检验；、 利用回归方程进行分析、评价和预测。二、总体回归函数方程：PRF由于统计相关的随机性,回归方程关心的是根据解释变量的已知或给定值,考察被解

22、释变量的总体均值,即当解释变量取某个确定值时,与之统计相关的被解释变量所可能出现的对应值的平均值。例2.1：一个假想的社区人口总体有户家庭组成,要研究该社区每月家庭消费支出Y与每月可支配家庭X的关系,即知道了家庭的每月收入,预测每月消费支出的总体平均水平。为达到此目的,将该户家庭划分为组内收入差不多的组,以分析每一收入组的家庭消费支出表2.1表2.1某社区每月家庭收入与消费支出查统计表每月家庭收入X800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600每月家庭消费支出Y550 650 790 800 1020 1100 1200 1350 1370 1

23、500600 700 840 930 1070 1150 1360 1370 1450 1520650 740 900 950 1100 1200 1400 1400 1550 1750700 800 940 1030 1160 1300 1440 1520 1650 1780750 850 980 1080 1180 1350 1450 1570 1750 18000 880 0 1130 1250 1400 0 1600 1890 18500 0 0 1150 0 0 0 1620 0 1910共计3250 4620 4450 7070 6780 7500 6850 10430 9660

24、12110条件概率1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7条件均值650 770 890 1010 1130 1250 1370 1490 1610 1730由于不确定因素的影响,对同一收入水平X,不同家庭的消费支出不完全相同,但由于调查的完备性,给定收入水平X的消费支出Y的分布是确定的,即以X的给定值为条件的Y的条件分布Conditional distribution是已知的,如PY=550 | X=800=1/5。对Y的每一个条件概率分布,可得其条件均值conditional mean或条件期望值conditionalexpectation：EY |

25、X=,如EY| X=800=650散点图表示,随着收入的增加,消费平均地说也在增加,且Y的条件均值均落在一根正斜率的直线上。这条直线称为总体回归线。在给定解释变量条件下被解释变量的期望轨迹称为总体回归线population regression line,或更一般地称为总体回归曲线population regression curve。相应的函数方程： 2.1.1050015002500350010002000300004000称为双变量总体回归函数方程PRF。含义：回归函数PRF说明被解释变量的平均状态总体条件期望随解释变量X变化的规律。函数形式：可以是线性或非线性的。例中：为一线性函数。其

26、中,为未知然而固定的参数,称为回归系数regression coefficients总体回归函数方程的随机设定 个体家庭的消费支出与给定收入水平间的关系：聚集在该收入水平平均消费支出周围。对每一个个别家庭,记 2.1.2称为观察值围绕它的期望值的离差deviation,是一个不可观测的随机变量,又称为随机干扰项stochastic disturbance或随机误差项stochastic error。由2.1.2式,个别家庭的消费支出为： 2.1.3即,给定收入水平,个别家庭的支出可以表示为两部分之和：1该收入水平下所有家庭的平均消费支出E,称为系统性systematic或确定性determin

27、istic部分2其他随机或非确定性nonsystematic部分。2.1.3式称为总体回归函数方程PRF的随机设定形式。表明被解释变量除了受解释变量系统性影响外,还受其他未包括在模型中来而又集体地影响着的全部变量的随机性影响,即为这些集体变量的替代物。由于方程中引入了随机项,成为计量经济学模型,因此也称为总体回归模型。三、随机干扰项的含义随机干扰误差项是在模型设定中省略下来而由集体地影响着被解释变量的全部变量的替代物。随机误差项主要包括下列因素的影响：1在解释变量中被忽略的因素的影响；2变量观测值的观测误差的影响；3模型关系的设定误差的影响；4其他随机因素的影响。产生并设计随机误差项的主要原因

28、：1理论的含糊性；2数据的欠缺；3节省原则。四、样本回归函数SRF由于总体的信息往往无法掌握,实现的情况只能是在一次观测中得到总体的一个样本。问题：能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗？如果可以,如何从抽样中获得总体的近似信息？例2.2在例2.1的总体中有如下一个样本,问：能否从该样本中预测整个总体中对应于选定X的平均每月消费支出,即能否从该样本估计总体回归函数PRF？Y700650900950110011501200140015501500X800100012001400160018002000220024002600回答：能该样本散点图为：样本散点图近似于一条直线,画一条直线以尽好地拟合该

29、散点图,由于样本取自总体,可以该线近似地代表总体回归线。该成为样本回归线sample regression lines,其函数形式为： 2.1.4称为样本回归函数sample regression functionSRF。将2.1.4看成2.1.1的近似替代,则就为的估计量：为的估计量,=样本回归函数的随机形式 2.1.5式中,称为样本残差或剩余项residual,代表了其他影响的随机因素的集合体,可看成为的估计量。由于方程中引入了随机项,成为计量经济模型,因此也称为样本回归模型。回归分析的主要目的：根据样本回归函数SRF,估计总体回归函数PRF。即根据估计 即：设计一方法构造SRF,以使SR

30、F尽可能接近PRF,或者说使尽可能接近。注：这里真实的PRF可能无法无从知道YXXi样本与总体回归线YXXiYXXiYXXiYXXiYXXiYXXi.2一元线性回归模型一、线性回归模型的特征形如2.2.1的计量经济学模型称为一元线性回归模型双变量线性模型。其中,Y 为被解释变量,X为解释变量,是待估参数,为随机干扰项。 例：凯恩斯的绝对收入假设消费理论,认为消费是由收入唯一决定的,是收入的线性函数。其模型为： 2.2.2线性回归模型的特征：1.通过引入随机误差项,将变量之间的关系用一个线性随机方程来描述,并用随机数学的方法来估计方程中的参数,这就是线性回归模型的特征,也就是线性计量经济学模型的

31、特征。2.在线性回归模型中,被解释变量的特征由解释变量与随机误差项共同决定。单方程线性回归模型的一般形式为： i=1,2,n 2.2.3其中,被称为解释变量,被称为解释变量,为随机误差项,i为观测值下标,n为样本容量,为待估参数。二、线性回归模型的普遍性线性回归模型是计量经济学模型的主要形式,许多实际经济活动中经济变量间的复杂关系都可以通过一些简单的数学处理,使之化为数学上的线性关系。将非线性关系化为线性关系的常用的数学处理方法：1.直接置换法例如,商品的需求曲线是一种双曲线形式,商品需求量q与商品价格p之间的关系表现为非线性关系：显然,可以用和的置换,将方程变成：再如,拉弗曲线描述的税收s和

32、税率r的关系是一种抛物线形式：可以用进行置换,将方程变成：2、对数变化例如,著名的Cobb-Dauglas生产函数将产出量Q与投入要素之间的关系描述为幂函数的形式：方程两边取对数后,即成为一个线性形式：再如,生产中成本C与产量q的关系呈现指数关系：方程两边取对数后,即成为一个线性形式：3、级数展开例如,著名的CES生产函数将产出量Q与投入要素之间的关系描述为如下的形式：方程两边取对数后,得到：将式中在=0处展开台劳级数,取关于的线性项,即得道一个线性近似式。结论：实际经济生活中的许多问题,都可以最终化成线性问题,所以,线性回归模型有普遍意义。即使对于无法采取任何变换方法使之变成线性的非线性模型

33、,目前使用得较多的参数估计方法非线性最小二乘法,其原理仍然是以线性估计方法为基础。三、线性回归模型的基本假设由于回归分析的主要目的是要通过样本回归函数模型SRF尽可能准确估计总体回归函数模型PRF。即通过 2.1.5估计 2.1.61、技术线路：由于是的估计值,要求与的总体误差尽可能地小最小二乘法；由于,是的近似,要求尽可能接近尽可能接近对模型的解释变量与随机误差项作出合理假定。、线性回归模型在上述意义上的基本假设： 解释变量,是确定性变量,不是随机变量,而且解释变量之间互不相关。 随机误差项具有均值和同方差。即i=1,2,nVar= i=1,2,n其中E表示均值或期望,也可用表示；ar表示方

34、差,也可以用表示。 随机误差项在不同样本点之间是独立的,不存在序列相关。即Cov=0 ij i,j=1,2,n其中ov表示协方差。 随机误差项与解释变量之间不相关。即Cov=0 j=1,2,k i=1,2,n 随机误差项服从均值、同方差的正态分布。即 i=1,2,n在实际建立模型的过程中,除了基本假设外,对模型是否满足假设都要进行检验。这就是建立计量经济学模型步骤中计量经济学检验的任务。对于基本假设,根据中心极限定理,当样本容量趋于无穷大时,对于任何实际模型,都是满足的。由于解释变量是确定性变量,随机误差项是随机性变量,因此被解释变量是随机变量,且其分布特征与相同。四、一元线性回归模型的参数估

35、计：普通最小二乘法、 普通最小二乘法估计已知一组样本观测值,i=1,2,n,要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值,即样本回归线上的点与真实观测点的总体误差尽可能地小,或者说被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近,最小二乘法给出的判断的标准是：二者之差的平方和2.2.4最小。即在给定样本观测值之下,选择出、能使与之差的平方和最小。为什么用平方和？因为二者之差可正可负,简单求和可能将很大的误差抵消掉,只有平方和才能反映二者在总体上的接近程度。这就是最小二乘原则。根据微积分学的运算,可推得用于估计、的下列方程组：或 解得 方程组称为正则方程组。、 参数估计的离差形式记,的参数估计量可以写成：

36、 注：在计量经济学中,往往以小写字母表示对均值的离差。至此,完成了模型的基本估计任务。由于、的估计结果是从最小二乘原理得到的,故称为最小二乘估计量。、 样本回归线的性质：(1) 样本回归线通过和的样本均值。证：因为有(2) 估计的的均值等于实测的的均值。证：由于,则残差的均值为零。证：由正则方程：知,故 样本回归模型的离差形式deviation form： 2.2.9因为：按照离差形式,样本回归方程SPF可写为： 2.2.104残差和预测的不相关。证：在离差形式下,因：,故5残差与不相关。证：由正则方程：知五、最小二乘估计量的性质：高斯马尔可夫定理当模型参数估计出后,需考虑参数估计值的精度,即

37、是否能代表总体参数的真值,或者说需考察参数估计量的统计性质。一个用于考察总体的统计量,可从三个方面考察其优劣性：1、 线性性：即是否是另一随机变量的线性函数；2、 无偏性：即它的均值或期望值是否等于总体的真实值；3、 有效性：即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。高斯马尔可夫定理：在给定经典线形回归的假定下,最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量。关于最小二乘估计量的线性性与无偏性的证明：1、线性性：估计量、是的线形组合。证：2.无偏性：估计量、的均值期望等于总体回归参数真值与。证：3、有效性最小方差性：在所有线性无偏估计量中,最小二乘估计量、具有最小方差。先求、的方差 证明最小方

38、差性假设是其他方法得到的关于的线性无偏估计量:其中,为不全为零的常数。由满足无偏性,即可知:从而有：的方差 普通最小二乘估计量OLS具有线性、无偏性、最小方差性等优良性质。具有这些优良性质的估计量又称为最佳线性无偏估计量,即BLUE估计量。显然这些优良的性质依赖于对模型的基本假设。全部估计量线性无偏估计量BLUE估计量六、和的概率分布及随机误差项的方差的估计1、和的概率分布和分别是的线性组合,因此、的概率分布取决于Y。在是正态分布的假设下,Y是正态分布,因此和也服从正态分布,其分布特征密度函数由其均值和方差唯一决定。S记和的标准差分别为：S= 2、随机误差项的方差的估计在估计的参数和的方差和标

39、准差的表达式中,都含有随机扰动项方差方差。又称为总体方差。由于实际上是未知的,因此和的方差与标准差实际上无法计算。由于随机项不可观测,只能从的估计残差出发,对总体方差进行估计。可以证明总体方差的无偏估计量为 2.2.15在总体方差的无偏估计量求出后,估计的参数和的方差和标准差的估计量分别是的样本方差： 2.2.16的样本标准差： 2.2.17样本方差： 2.2.18的样本标准差： 2.2.19 例2.3 在收入-消费支出比例中,参数估计及标准差的计算如下：收入X支出Y12345678910平均求和8001000120014001600180020002200240026001700700650

40、9009501100115012001400155015001110-900-700-500-300-100100300500700900-410-460-210-160-1040902904403903690003220001050004800010004000270001450003080003510001680000810000490000250000900001000010000900002500004900008100003300000640000100000014400001960000256000032400004000000484000057600006760000322000

41、00652754855957105911611263136514661568111002321107401984531674119393512576995464933727七、一元线性回归模型的统计检验1、 拟合优度检验拟合优度检验：对样本回归直线与样本观测值之间拟合优度的检验。度量拟合优度的指标：判定系数1总离差平方和的分解已知由一组样本观测值,i=1,2,n得到的回归直线为而Y的第i个观测值与样本均值的离差可分解为两部分之和： 2.2.20其中,是样本回归直线理论值回归拟合值与观测值的平均值之差,可认为是回归线解释的部分：是实际观测值与回归拟合值之差,是回归直线不能解释的部分。 XY=来自

42、回归于是： 2.2.21,为实测的Y值围绕其均值的总离差平方和Total Sum of Squares记为TSS；为估计的Y值围绕其均值的离差平方和,称为回归平方和Explained Sum of Squares,记为ESS；,为实测的Y值围绕其估计值的离差平方和,称为残差平方和 记为RSS。TSS=ESS+RSS 称为总离差分解式,说明的观测值围绕其均值的总离差可分解为两部分,一部分来自回归线,另一部分则来自随机势力。（） 判定系数记2.2.22称为样本判定系数,表明,在总离差平方和中,回归平方和所占的比重越大,残差平方和所占的比重越小,则回归直线与样本点拟合得越好。的性质与其他算法： 由于

43、于是TSS=ESS+RSS可写成：(3) 判定系数与相关系数的关系两个变量与之间真实的线性相关程度可以用总体相关系数表示:在总体未知的情况下,利用样本给出的的一个无偏估计为 ,称为与之间的协方差:,分别为的样本方差与的样本方差。于是 2.2.27存在： 2.2.28在回归分析中,是一个比r更有意义的度量,因为前者显示因变量的变异中由解释变量解释的部分占怎样一个比例,即对一个变量的变异在多大程度上决定另一个变量的变异,提供一个总的度量,而后者则没有这种价值。在收入消费支出例中,2、 参数显著性检验t检验回归分析是要通过样本所估计的参数来代替总体的参数,尽管从统计性质上已知,如果有足够多的重复抽样

44、 ,则所估计出的的期望均值就是 ,但在一次抽样中,不一定就等于。那么,在一次抽样中,与的差异有多大,是否明显,这就需要进一步进行显著性检验,包括对取值范围的假设检验于对落入以为中心的某一范围的区间检验。1假设检验的原理：首先根据实际问题对所考察的总体提出一个论断,称为统计假设,记为,然后根据样本的有关信息,对的真伪进行判断,作出拒绝或接受的决策。假设检验的基本思想是基于小概率事件原理的反证法。该原理认为小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的。在原假设下构造一个事件,这个事件在原假设是正确的条件下是一个小概率事件。随即抽取一组容量为n的样本观测值进行该事件的试验,如果该事件发生了,说明原假设是

45、正确是错误的,因为不应该出现的小概率事件出现了。因而应该拒绝原假设。反之,如果该小概率事件没有发生出现,就没有理由拒绝原假设,应该接受原假设。2对总体参数进行显著性检验的思路由于总体参数是未知的,因此首先需给出一个的假设值如以代表,及提出原假设：。如果为真,则存在一个以为中心的区间,使得在多次抽样中的参数估计值以很大的概率称为置信度如95%落入该区间,亦即在一次抽样中,参数估计值在该区间外的概率称为置信性水平非常小如5%。但如果我们确实在一次抽样中得到的参数估计值落在了该区间之外,即小概率事件发生了,则有理由认为原假设是不真实的,从而拒绝原假设。这时,当原假设确实为真而拒绝它所犯错误的概率是很

46、小的如为5%。 3对总体参数进行显著性检验的步骤 经济计量学中常用的对总体参数的假设检验为：=0。因此,如果某一=0显著成立,则意味着它所对应的变量X对于因变量Y的线性作用为零,X不是重要的解释变量,不应保留在模型中。在一元线性回归模型中,在随机误差项为正态分布的假设下,由于则可构造统计量 t = t 即该t统计量服从自由度为n-2的t分布。用t统计量进行参数显著性检验的步骤： 对总体参数提出假设 原假设 ： , 对立假设/备则假设 ： 以原假设构造t统计量,并由观测数据计算其值 t = 式中,为参数估计量的标准差：= 给定显著水平,查自由度为n-2的t分布表,得临界值;若| t | ,则拒绝

47、,接受：,即认为所对应的变量对被解释变量的影响不容忽视；若| t | =,则接受：,即认为所对应的变量对被解释变量没有明显的影响。同样地,由于,可构造统计量 2.2.31来对总体参数进行假设检验。其中在收入消费支出中,根据的估计值可得 因此,可拒绝的假设,认为收入X是消费支出的主要解释变量。f临界域2.5%临界域2.5%接受域95%临界域2.5%临界域2.5%接受域95%t0八、回归系数的置信区间检验假设检验可以通过一次抽样的结果检验总体参数可能的假设值的范围最常用的是假设为总体参数值为零,但是它并没有指出在一次抽样中样本参数值到底离总体参数的真值有多近。要判断样本参数的估计值在多大程度上可以

48、近似地替代总体参数的真值,往往需要通过构造一个以样本参数的估计值为中心的区间,来考察它以多大的可能性概率包含着真实的参数值。这种方法就是参数检验的置信区间的方法。要判断估计的参数值离真实的参数值有多近,可预先选择一个概率,试求一个正数,使得随即区间包含参数的真值的概率为。即：如果存在这样一个区间,称之为置信区间；称为置信系数置信度,称为显著性水平；置信区间的端点称为置信限或临界值。如果,则意味着在重复抽样过程中,由样本求得的置信区间,在100个中应有95个包含有真实的总体参数。简述为；随机区间包含真实参数值的概率为95%。1的置信区间在假设检验中,已知在总体参数的真实值为的情况下,存在一个随机置信区间使得在多次抽样中,可使样本参数估计值以一定的概率落在该区间内。在构造了t统计量的情况下,上述表示即为或 于是,在的置信度下,的置信区间为