电磁场理论习题

《电磁场理论习题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电磁场理论习题（17页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、.电磁场理论习题一1、求函数在点1,1,2处沿方向角,的方向的方向导数.解：由于=y= -1=2xy=0=2z=3,所以2、求函数xyz在点5, 1, 2处沿着点5, 1, 2到点9, 4, 19的方向的方向导数。解：指定方向l的方向矢量为lex+ey+ez 4ex+3ey+17ez其单位矢量所求方向导数3、已知=x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z,求在点0,0,0和点1,1,1处的梯度。解：由于ex+ey+ez所以,=3ex-2ey-6ez=6ex+3ey4、运用散度定理计算下列积分：S是z=0 和 z=1/2所围成的半球区域的外表面。解：设：A=xz2ex+ey+ez则由散度定理

2、可得5、试求A和A: A=xy2z3ex+x3zey+x2y2ez 解：1A=y2z3+0+0= y2z3A= A=A=A=A=习题二1、总量为q的电荷均匀分布于球体中,分别求球内,外的电场强度。解: 设球体的半径为a,用高斯定理计算球内,外的电场。由电荷分布可知,电场强度是球对称的,在距离球心为r的球面上,电场强度大小相等,方向沿半径方向。在球外,ra,取半径为r的球面作为高斯面,利用高斯定理计算：对球内,ra,也取球面作为高斯面,同样利用高斯定理计算：2、半径分别为a,bb,球心距为cc0时。但场点位于z0时,电场的z向量为5、已知半径为a的球内,外电场分布为求电荷密度.解:从电场分布计算

3、计算电荷分布,应使用高斯定理的微分形式:用球坐标中的散度公式,并注意电场仅仅有半径方向的分量,得出6、求习题2-1的电位分布解：均匀带电球体在球外的电场为 Er=球内电场为球外电位 a为球内电位为7、电荷分布如图所示。试证明,在rl处的电场为E=证明:用点电荷电场强度的公式及叠加原理,有E=当rl时,=将以上结果带入电场强度表达式并忽略高阶小量,得出E=8、真空中有两个点电荷,一个电荷q位于原点,另一个电荷q/2位于a,0,0处,求电位为零的等位面方程。解：由点电荷产生的电位公式得电位为零的等位面为其中, 等位面方程简化为即此方程可以改写为这是球心在,半径为的球面。9、一个圆柱形极化介质的极化

4、强度沿其轴方向,介质柱的高度为L,半径为a,且均匀极化,求束缚体电荷分布及束缚面电荷分布。解：选取圆柱坐标系计算,并假设极化强度沿其轴向方向,如图示,由于均匀极化,束缚体电荷为。在圆柱的侧面,注意介质的外法向沿半径方向,极化强度在z方向,故在顶面,外法向为,故在底面,外法向为,故10、假设x0的区域为电解质,电解质的介电常数为3o,如果空气中的电场强度V/m,求电介质中的电场强度。解：在电介质与空气的界面上没有自由电荷,因而电场强度的切向分量连续,电位移矢量的法向分量连续。在空气中,由电场强度的切向分量,可以得出介质中电场强度的切向分量；对于法向分量,用,即,并注意,得出。将所得到的切向分量相

5、叠加,得介质中的电场为V/m11、一个半径为a的导体球面套一层厚度为b-a的电解质,电解质的介电常数为,假设导体球带电q,求任意点的电位。解：在导体球的内部,电场强度为0。对于电介质和空气中的电场分布,用高斯定理计算。在电介质或空气中的电场取球面为高斯面,由得出电场为 在介质中arb电位为arb b12、真空中有两个导体球的半径都为a,两球心之间距离为d,且da,试计算两个导体之间的电容。解：因为球心间距远大于导体的球的半径,球面的电荷可以看作是均匀分布。由电位系数的定义,可得,让第一个导体带电q, 第二个导体带电-q,则,由化简得习题三1、球形电容器内,外极板的半径分别为a,b,其间媒质的电

6、导率为,当外加电压为时,计算功率损耗并求电阻。解：设内,外极板之间的总电流为,由对称性,可以得到极板间的电流密度为=从而=,=单位体积内功率损耗为=总功率耗损为 P= =由P=,得 R=2、一个半径为a的导体球作为作为电极深埋地下,土壤的电导率为。略去地面的影响,求电极的接地电阻。解：当不考虑地面影响时,这个问题就相当于计算位于无限大均匀点媒质中的导体球的恒定电流问题。设导体球的电流为,则任意点的电流密度为=,=导体球面的电位为去无穷远处为电位零点=接地电阻为=3、如图,平板电容器间由两种媒质完全填充,厚度分别为和,介电常数分别为和,电导率分别为和,当外加电压U时,求分界面上的自由电荷面密度。

7、解：设电容器极板之间的电流密度为J,则 J于是即分界面上的自由面电荷密度为4、 内,外导体半径分别为a,c的同轴线,其间填充两种漏电媒质,电导率分别为arb和brc,求单位长度的漏电电阻。解：设单位长度从内导体流向外导体的电流,则电流密度为=各区域的电场为=arb=br 内,外导体间的电压为=+=+因而,单位长度的漏电电阻为=+5、一个半径为10 cm的半球形接地导体电极,电极平面与地面重合,如图,若土壤的电导率为0.01S/m ,求当电极通过的电流为100A时,土壤损耗的功率。解：半球形接地器的电导为接地电阻为土壤损耗的功率为 W6、 内,外半径分别为a,b的无限长空心圆柱中均匀分布着轴向电

8、流,求柱内,外的磁感应强度。解：使用圆柱坐标系。电流密度沿轴线方向为=由电流的对称性,可以知道磁场只有圆周分量。用安培环路定律计算不同区域的磁场。当ra时,磁场为0。当arb时,选取安培回路为半径等于r 且与导电圆柱的轴线同心的圆。该回路包围的电流为=由=,得=当r时,=磁感应强度如下：时,=时,=为了计算磁化电流,要求磁化强度：时,=,=时,=,=0在r=a的界面上计算磁化面电流时,可以理解为在两个磁介质之间有一个很薄的真空层。这样,其磁化面电流就是两个磁介质的磁化面电流只和,即=+这里的和分别是从磁介质到真空中的单位法向。如果去从介质1到介质2的单位法向是n, 则有=一代入界面两侧的磁化强

9、度,并注意=,得=+ = 11、空气绝缘的同轴线,内导体的半径为a,外导体的半径为b,通过的电流为I。设外导体壳的厚度很薄,因而其储蓄的能量可以忽略不计。计算同轴线单位长度的储能,并有此求单位长度的自感。解：设内导体的电流均匀分布,用安培环路定律可求出磁场。时,=时,=单位长度的磁场能量为=+ =+故得单位长度的自感为=+其中的第一项是内导体的内自感。12、一个长直导线和一个圆环半径为在同一平面内,圆心与导线的距离是,证明它们之间互感为证明：设直导线位于z轴上,由其产生的磁场其中各量的含义如图所示。磁通量为上式先对积分,并用公式得所以互感为习题四1、在两导体平板之间的空气中传播的电磁波其电场强

10、度矢量其中为常数.试求(1) 磁场强度矢量(2) 两导体表面上的面电流密度解:(1) 由麦克斯未方程组得对上式积分得即(2) 导体表面上得电流存在于两导体相向的一面,故在z=0表面上,法线=面电流密度在z=0表面上,法线=-,面电流密度2、 在理想导电壁限定的区域0x内存在一个如下的电磁场：这个电磁场满足的边界条件如何？导电壁上得电流密度的值如何？解：在边界x=0处有n所以,导电壁上的电流密度河电荷密度的值为在x0处电磁场满足的边界条件为同理,在有3、一段由理想导体构成的同轴线,内导体半径为,外导体半径为,长度为,同轴线两端用理想导体板短路。已知在区域内的电磁场为（1） 确定之间的关系。（2）

11、 确定。（3） 求及面上的。解：由题意可知,电磁场在同轴线内形成驻波状态。1之间的关系。因为所以2因为所以,3因为是理想导体构成的同轴线,所以边界条件为,在的导体面上,法线,所以在的导体面上,法线,所以4、已知真空中电场强度,式中。试求：（1） 磁场强度和坡印廷矢量的瞬时值。（2） 对于给定的z值例如z0,试确定随时间变化的轨迹。（3） 磁场能量密度,电场能量密度和坡印廷矢量的时间平均值。解：（1） 由麦克斯韦方程可得对上式积分,得磁场强度瞬时值为故坡印廷矢量的瞬时值（2） 因为的模和幅角分别为所以,随时间变化的轨迹是圆。3磁场能量密度,电场能量密度和坡印廷矢量的时间平均值分别为习题五1、电磁

12、波在真空中传播,其电场强度矢量的复数表达式为试求：（1） 工作频率。（2） 磁场强度矢量的复数表达式。（3） 坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值。解：1由题意可得所以工作频率2磁场强度矢量的复数表达式为其中波阻抗。3坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值。电磁波的瞬时值为V/mA/m所以,坡印廷矢量的瞬时值 W/同理可得坡印廷矢量的时间平均值 W/2、理想介质中,有一均匀平面电场波沿z方向传播,其频率。当时,在处,电场强度的振幅,介质的。求当时,在z62m处的电场强度矢量,磁场强度矢量和坡印廷矢量。解：根据题意,设均匀平面电场为式中,所以当,z62m时,电场强度矢量,磁场强度矢量和坡印廷矢量为故此时3、已

13、知空气中一均匀平面电磁波的磁场强度复矢量为H=试求：1波长、转播方向单位矢量及转播方向与z轴的夹角2常数A3电场强度复矢量。解：1波长、转播方向与z轴的夹角分别为,故2因为,所以+=解之得A=3。3电场强度矢量=4、设无界理想媒质,有电场强度复矢量：1是否满足。2由求磁场强度复矢量,并说明是否表示电磁波。解：采用直角坐标系。（1） 考虑到于是同理,可得（2） 根据题意知所以所形成的场在空间均无能量传播,即均不能表示电磁波。5、假设真空中一均匀平面电磁波的电场强度复矢量为1电场强度的振幅、波矢量和波长。2电场强度矢量和磁场强度矢量的瞬时表达式。解：1依题意知,电场强度的振幅而所以波矢量,其中从而

14、,2电场强度的瞬时表达式为磁场强度矢量的瞬时表达式为6、 为了抑制无线电干扰室内电子设备,通常采用厚度为5个趋肤深度的一层铜皮包裹该室。若要求屏蔽的频率是10kHz100MHz,铜皮的厚度应是多少。解：因为工作频率越高,趋肤深度越小,故铜皮的最小厚度应不低于屏蔽10kHz时所对应的厚度。因为趋肤深度所以,铜皮的最小厚度为7、如果要求电子仪器的铝外壳至少为5个趋肤深度,为防止20kHz200MHz的无线电干扰,铝外壳应取多厚。解：因为工作频率越高,趋肤深度越小,故铝壳的最小厚度应不低于屏蔽20kHz时所对应的厚度。因为铝壳为5个趋肤深度,故铝壳的厚度应为7、 已知平面波的电场强度试确定其传播方向

15、和极化状态；是否横电磁波？解：传播方向上的单位矢量为,即E的所有分量均与其传播方向垂直,所以此波为横电磁波。改写电场为显然均与垂直。此外,在上式中两个分量的振幅并不相等,所以为右旋椭圆极化波。9、假设真空中一平面电磁波的波矢量其电场强度的振幅,极化于z轴方向。试求：（1） 电场强度的瞬时表达式。（2） 对应的磁场强度矢量。解：（1） 电场强度的瞬时表达式为V/m其中：2对应的磁场强度矢量为A/m10、真空中一平面电磁波的电场强度矢量为V/m（1） 此电磁波是何种极化？旋向如何？（2） 写出对应的磁场强度矢量。解：此电磁波的x分量的相位滞后y分量的相位,且两分量的振幅相等,故此波为左旋面极化波。

16、其对应的磁场强度矢量为习题六1、距离电偶极子多远的地方,其电磁场公式中与成反比的项等于与成反比的项。解：电偶极子产生的电磁场中与成反比的项以电场为例为与成反比的项为所以2、假设一电偶极子在垂直于它的方向上距离100km处所产生的电磁强度的振幅等于100,试求电偶极子所辐射的功率。解：由的表达式知,电偶极子的远区辐射场的电场强度振幅为又根据的表达式,有因此代入具体数值得 W3、计算一长度等于0.1的电偶极子的辐射电阻。解：根据式,知电偶极子的辐射电阻为4、已知某天线的辐射功率为100 W,方向性系数为D3。求：1处,最大辐射方向上的电场强度振幅。2若保持辐射功率不变,要使处的场强等于原来处的场强

17、,应选取方向性系数D等于多少的天线。解：1最大辐射方向上的电场强度振幅为代入具体数值得2符合题意的方向性系数为代入具体数值得5、两个半波振子天线平行放置,相距。若要求它们的最大辐射方向在偏离天线阵轴线的方向上,问两个半波振子天线馈电电流相位差应为多少。解：当两个半波振子天线馈电电流相位差满足条件时,由它们组成的天线阵的最大辐射方向取决于相邻阵元之间的电流相位差。因此习题七1、什么叫截止波长？为什么只要的波才能在波导中传输？答：导行波系统中,对于不同频率的电磁波有两种工作状态传输与截止。介于传输与截止之间的临界状态,即由所确定的状态,该状态所确定的频率称为截止频率,该频率所对应的波长称为截止波长

18、。由于只有在时才能存在导行波,则由可知,此时应有即所以,只有或的电磁波才能在波导中传输。2、何谓工作波长,截止波长和波导波长？它们有何区别和联系？解：工作波长就是TEM波的相波长。它由频率和光速所确定,即式中,称为自由空间的工作波长,且。截止波长是由截止频率所确定的波长,且波导波长是理想导波系统中的相波长,即导波系统内电磁波的相位改变所经过的距离。波导波长与的关系为3、何谓相速和群速？为什么空气填充波导中波的相速大于光速,群速小于光速？解：相速是电磁波等相位点移动的速度。群速是包络波上某一恒定相位点移动的速度。根据平面波斜入射理论,波导内的导行波可以被看成平面波向理想金属表面斜入射得到的,如图

19、所示。从图中可以看出,由于理想导体边界的作用,平面波从等相位面D上的A点到等相位面B上的M点和F点所走过的距离是不同的,。但在相同的时间内,相位改变量相同。这必要求沿即Z轴方向的导行波的相速比沿方向的平面波的相速大。对于空气媒质,则有。MCBADEF从图中还可以看出,平面波从A传到M点,但其能量只是从A传到E点,显然,故能量传播的速度。对于空气媒质,根据相对论,任何物质的运动速度都不能超过光速,所以,群速这一体现电磁波物质特性,表征电磁波能量传播快慢的物理量的确小于光速。4、何谓波导的色散特性？波导为什么存在色散特性？答：波导中波的相速和群速都是频率活波长的函数。这种相速随频率的变化而改变的特

20、性称为波的色散特性。因此,波导中传输的导行波属于色散型波。波导中电磁波产生色散的原因是由波导系统本身的特性所导致的,即波导传输结构特定的边界条件使得波导内只能传输这种相速与频率有关的导行波。5、矩形波导中波型指数m和n的物理意义如何？矩形波导中波型的场结构的规律怎样？答：m,n表征不同的导行波型的电磁场结构模式。m代表沿x方向场量变化的半驻波数;n表示沿y方向场量变化的半驻波数。根据m,n与和的关系可知：对于TM波,由于,所以m,n都不能同时为零,故没有TM,TM,TM场型;对于TE波,由于,所以m,n都不能同时为零,即没有TE场型。并且由于m,n代表的是沿x和y方向的半驻波个数,所以很容易由基本场结构小巢TE,TE,TE,TM构造出其它场型的场结构,只不过是沿x或y方向增加若干个TE,TE,TE,TM的小巢而已。6、矩形波导中的,和有何区别于联系？它们与哪些因素有关？解：1相速其大于媒质中的光速,与波导的口面尺寸,电磁波的频率或波长,波导中的媒质及媒质中的光速有关。2群速其小于媒质中的光速,与频率,波导的口面尺寸,波导中的媒质及媒质中的光速有关。群速,相速,光速的关系是3截止波长它与传输模式,波导的截面尺寸有关。4波导波长它与工作波长频率,截止波长有关。17 / 17