2022高考数学一轮复习 第六章 数列 6.4 数列的综合应用练习 文

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1、2022高考数学一轮复习 第六章 数列 6.4 数列的综合应用练习 文考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.数列的通项公式及前n项和的求法掌握数列的通项公式及求和方法2017课标全国,17;2017北京,15;2016天津,18;2015山东,19解答题2.数列的综合应用能综合应用等差、等比数列解决相应问题2017天津,18;2016浙江,17;2016四川,19选择题、解答题分析解读综合运用数列,特别是等差数列、等比数列的有关知识,解答数列综合问题和实际问题,培养学生的理解能力、数学建模能力和运算能力.数列是特殊的函数,是高考的常选考点.历年高考考题中低、中、高档试题均有出现,需引起充

2、分的重视.本节内容在高考中分值为12分左右,属于中档题.五年高考考点一数列的通项公式及前n项和的求法1.(2017山东,19,12分)已知an是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.(1)求数列an的通项公式;(2)bn为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求数列的前n项和Tn.解析(1)设an的公比为q,由题意知:a1(1+q)=6,q=a1q2,又an0,解得a1=2,q=2,所以an=2n.(2)由题意知:S2n+1=(2n+1)bn+1,又S2n+1=bnbn+1,bn+10,所以bn=2n+1.令cn=,则cn=.因此Tn=c1+c

3、2+cn=+,又Tn=+,两式相减得Tn=+-,所以Tn=5-.2.(2017北京,15,13分)已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求an的通项公式;(2)求和:b1+b3+b5+b2n-1.解析(1)设等差数列an的公差为d.因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n-1.(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.从而b1+b3+b5+b2n-1=1+3+32+3n-1=.3.(2016天津,18,13分)已知an是等

4、比数列,前n项和为Sn(nN*),且-=,S6=63.(1)求an的通项公式;(2)若对任意的nN*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列(-1)n的前2n项和.解析(1)设数列an的公比为q.由已知,有-=,解得q=2,或q=-1.又由S6=a1=63,知q-1,所以a1=63,得a1=1.所以an=2n-1.(2)由题意,得bn=(log2an+log2an+1)=(log22n-1+log22n)=n-,即bn是首项为,公差为1的等差数列.设数列(-1)n的前n项和为Tn,则T2n=(-+)+(-+)+(-+)=b1+b2+b3+b4+b2n-1+b2n=2n2.4.(

5、2014课标,17,12分)已知an是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.(1)求an的通项公式;(2)求数列的前n项和.解析(1)方程x2-5x+6=0的两根为2,3,由题意得a2=2,a4=3.设数列an的公差为d,则a4-a2=2d,故d=,从而a1=.所以an的通项公式为an=n+1.(2)设的前n项和为Sn,由(1)知=,则Sn=+,Sn=+.两式相减得Sn=+-=+-.所以Sn=2-.教师用书专用(513)5.(2015湖北,19,12分)设等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,等比数列bn的公比为q.已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求

6、数列an,bn的通项公式;(2)当d1时,记cn=,求数列cn的前n项和Tn.解析(1)由题意有,即解得或故或(2)由d1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=,于是Tn=1+,Tn=+.-可得Tn=2+-=3-,故Tn=6-.6.(2015安徽,18,12分)已知数列an是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.(1)求数列an的通项公式;(2)设Sn为数列an的前n项和,bn=,求数列bn的前n项和Tn.解析(1)由题设知a1a4=a2a3=8,又a1+a4=9,可解得或(舍去).由a4=a1q3得公比为q=2,故an=a1qn-1=2n-1.(2)Sn=2n-1,又bn=-

7、,所以Tn=b1+b2+bn=+=-=1-.7.(2015山东,19,12分)已知数列an是首项为正数的等差数列,数列的前n项和为.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=(an+1),求数列bn的前n项和Tn.解析(1)设数列an的公差为d.令n=1,得=,所以a1a2=3.令n=2,得+=,所以a2a3=15.解得a1=1,d=2,所以an=2n-1.(2)由(1)知bn=2n22n-1=n4n,所以Tn=141+242+n4n,所以4Tn=142+243+n4n+1,两式相减,得-3Tn=41+42+4n-n4n+1=-n4n+1=4n+1-.所以Tn=4n+1+=.8.(2014湖北

8、,19,12分)已知等差数列an满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)记Sn为数列an的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.解析(1)设数列an的公差为d,依题意,得2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)4=4n-2,从而得数列an的通项公式为an=2或an=4n-2.(2)当an=2时,Sn=2n.显然2n60n+800成立.当an=4n-2时,Sn=2n2.令2n260

9、n+800,即n2-30n-4000,解得n40或n60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n;当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.9.(2014安徽,18,12分)数列an满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),nN*.(1)证明:数列是等差数列;(2)设bn=3n,求数列bn的前n项和Sn.解析(1)证明:由已知可得=+1,即-=1.所以是以=1为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)得=1+(n-1)1=n,所以an=n2.从而bn=n3n.Sn=131+232+333+n3n,3Sn=132+233+(n-1)3n+

10、n3n+1.-得-2Sn=31+32+3n-n3n+1=-n3n+1=.所以Sn=.10.(2014山东,19,12分)在等差数列an中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=,记Tn=-b1+b2-b3+b4-+(-1)nbn,求Tn.解析(1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d),即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,所以数列an的通项公式为an=2n.(2)由题意知bn=n(n+1).所以bn+1-bn=2(n+1),所以当n为偶数时,Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+(-bn-1+bn)=4+8+12+2n=,当

11、n为奇数时,若n=1,则T1=-b1=-2,若n1,则Tn=Tn-1+(-bn)=-n(n+1)=-,n=1时,满足上式.所以Tn=11.(2013重庆,16,13分)设数列an满足:a1=1,an+1=3an,nN+.(1)求an的通项公式及前n项和Sn;(2)已知bn是等差数列,Tn为其前n项和,且b1=a2,b3=a1+a2+a3,求T20.解析(1)由题设知an是首项为1,公比为3的等比数列,所以an=3n-1,Sn=(3n-1).(2)b1=a2=3,b3=1+3+9=13,b3-b1=10=2d,所以公差d=5,故T20=203+5=1 010.12.(2013安徽,19,13分)

12、设数列an满足a1=2,a2+a4=8,且对任意nN*,函数f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cos x-an+2sin x满足f =0.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=2,求数列bn的前n项和Sn.解析(1)由题设可得, f (x)=an-an+1+an+2-an+1sin x-an+2cos x.对任意nN*,f =an-an+1+an+2-an+1=0,即an+1-an=an+2-an+1,故an为等差数列.由a1=2,a2+a4=8,解得an的公差d=1,所以an=2+1(n-1)=n+1.(2)由bn=2=2=2n+2知,Sn=b1+b2+bn=2n+2+=

13、n2+3n+1-.13.(2013湖南,19,13分)设Sn为数列an的前n项和,已知a10,2an-a1=S1Sn,nN*.(1)求a1,a2,并求数列an的通项公式;(2)求数列nan的前n项和.解析(1)令n=1,得2a1-a1=,即a1=.因为a10,所以a1=1.令n=2,得2a2-1=S2=1+a2.解得a2=2.当n2时,2an-1=Sn,2an-1-1=Sn-1,两式相减得2an-2an-1=an.即an=2an-1.于是数列an是首项为1,公比为2的等比数列.因此,an=2n-1.所以数列an的通项公式为an=2n-1.(2)由(1)知nan=n2n-1.记数列n2n-1的前

14、n项和为Bn,于是Bn=1+22+322+n2n-1,2Bn=12+222+323+n2n.-得-Bn=1+2+22+2n-1-n2n=2n-1-n2n.从而Bn=1+(n-1)2n.考点二数列的综合应用1.(2017天津,18,13分)已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求an和bn的通项公式;(2)求数列a2nbn的前n项和(nN*).解析(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又

15、因为q0,解得q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.由S11=11b4,可得a1+5d=16,联立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,an的通项公式为an=3n-2,bn的通项公式为bn=2n.(2)设数列a2nbn的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,有Tn=42+1022+1623+(6n-2)2n,2Tn=422+1023+1624+(6n-8)2n+(6n-2)2n+1,上述两式相减,得-Tn=42+622+623+62n-(6n-2)2n+1=-4-(6n-2)2n+1=-(3n-4)2n+2-16.得Tn=(3n-4)2n+2+16.

16、所以,数列a2nbn的前n项和为(3n-4)2n+2+16.2.(2016浙江,17,15分)设数列an的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,nN*.(1)求通项公式an;(2)求数列|an-n-2|的前n项和.解析(1)由题意得则又当n2时,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得an+1=3an.又因为a2=3=3a1,所以数列an是首项为1,公比为3的等比数列.所以,数列an的通项公式为an=3n-1,nN*.(2)设bn=|3n-1-n-2|,nN*,则b1=2,b2=1.当n3时,由于3n-1n+2,故bn=3n-1-n-2,n3.设数列bn的

17、前n项和为Tn,则T1=2,T2=3.当n3时,Tn=3+-=,经检验,n=2时也符合.所以Tn=3.(2016四川,19,12分)已知数列an的首项为1,Sn为数列an的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q0,nN*.(1)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列an的通项公式;(2)设双曲线x2-=1的离心率为en,且e2=2,求+.解析(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到an+2=qan+1,n1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故an+1=qan对所有n1都成立.所以,数列an是首项为1,公比为q的等比数列.从而an=qn-1.由a2,a

18、3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+a2+a3,所以a3=2a2,故q=2.所以an=2n-1(nN*).(2)由(1)可知,an=qn-1.所以双曲线x2-=1的离心率en=.由e2=2解得q=.所以,+=(1+1)+(1+q2)+1+q2(n-1)=n+1+q2+q2(n-1)=n+=n+(3n-1).4.(2015天津,18,13分)已知an是各项均为正数的等比数列,bn是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求an和bn的通项公式;(2)设cn=anbn,nN*,求数列cn的前n项和.解析(1)设数列an的公比为q,数列bn的公差为d,由题意知

19、q0.由已知,有消去d,整理得q4-2q2-8=0.又因为q0,解得q=2,所以d=2.所以数列an的通项公式为an=2n-1,nN*;数列bn的通项公式为bn=2n-1,nN*.(2)由(1)有cn=(2n-1)2n-1,设cn的前n项和为Sn,则Sn=120+321+522+(2n-3)2n-2+(2n-1)2n-1,2Sn=121+322+523+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,上述两式相减,得-Sn=1+22+23+2n-(2n-1)2n=2n+1-3-(2n-1)2n=-(2n-3)2n-3,所以,Sn=(2n-3)2n+3,nN*.教师用书专用(59)5.(2017江苏,1

20、9,16分)对于给定的正整数k,若数列an满足:an-k+an-k+1+an-1+an+1+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数n(nk)总成立,则称数列an是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列an是“P(3)数列”;(2)若数列an既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:an是等差数列.证明(1)证明:因为an是等差数列,设其公差为d,则an=a1+(n-1)d,从而,当n4时,an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3,所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,因此等

21、差数列an是“P(3)数列”.(2)数列an既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,当n3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,当n4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.由知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),an+2+an+3=4an+1-(an-1+an).将代入,得an-1+an+1=2an,其中n4,所以a3,a4,a5,是等差数列,设其公差为d.在中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d,在中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d,所以数列an是等差数列

22、.6.(2015浙江,17,15分)已知数列an和bn满足a1=2,b1=1,an+1=2an(nN*),b1+b2+b3+bn=bn+1-1(nN*).(1)求an与bn;(2)记数列anbn的前n项和为Tn,求Tn.解析(1)由a1=2,an+1=2an,得an=2n(nN*).由题意知,当n=1时,b1=b2-1,故b2=2.当n2时,bn=bn+1-bn,整理得=,所以bn=n(nN*).(2)由(1)知anbn=n2n,因此Tn=2+222+323+n2n,2Tn=22+223+324+n2n+1,所以Tn-2Tn=2+22+23+2n-n2n+1.故Tn=(n-1)2n+1+2(n

23、N*).7.(2014广东,19,14分)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,且Sn满足-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,nN*.(1)求a1的值;(2)求数列an的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有+0,a1=2.(2)由-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,得Sn-(n2+n)(Sn+3)=0,又an0,所以Sn+30,所以Sn=n2+n,所以当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2+n-1=2n,又由(1)知,a1=2,符合上式,所以an=2n.(3)证明:由(2)知,=,所以+=+=+=+a1+3,a4a2+5,an=log2bn,则bn的前n

24、项和Sn为()A.8(2n-1)B.4(3n-1)C.(4n-1)D.(3n-1)答案C4.(人教A必5,二,4,B2,变式)中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,则第二天走了()A.192里B.96里C.48里 D.24里答案B5.(2018福建六校联考,17)若数列an的前n项和Sn满足Sn=2an+1.(1)求an的通项公式;(2)设bn=log2(-an+1),求数列的前

25、n项和Tn.解析(1)当n=1时,a1=S1=2a1+1,得a1=-1;当n2时,根据题意得Sn-1=2an-1+1,所以an=Sn-Sn-1=(2an+1)-(2an-1+1)=2an-2an-1(n2),即=2(n2).数列an是首项为-1,公比为2的等比数列.an=(-1)2n-1=-2n-1.(2)由(1)得bn=log2(-an+1)=log22n=n.=-,Tn=+=1-=.6.(2018广东汕头金山中学期中考试,17)已知数列an是等比数列,a2=4,a3+2是a2和a4的等差中项.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=2log2an-1,求数列anbn的前n项和Tn.解析(

26、1)设数列an的公比为q(q0),因为a2=4,所以a3=4q,a4=4q2.因为a3+2是a2和a4的等差中项,所以2(a3+2)=a2+a4,即2(4q+2)=4+4q2,化简得q2-2q=0.因为公比q0,所以q=2.所以an=a2qn-2=42n-2=2n(nN*).(2)因为an=2n,所以bn=2log2an-1=2n-1,所以anbn=(2n-1)2n,则Tn=12+322+523+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,2Tn=122+323+524+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1.由-得,-Tn=2+222+223+22n-(2n-1)2n+1=2+2-(2n-1)2

27、n+1=-6-(2n-3)2n+1,所以Tn=6+(2n-3)2n+1.7.(2017广东10月百校联考,17)已知数列an的前n项和Sn=n(na1+1).(1)求数列an的通项公式;(2)求数列an2n-1的前n项和Tn.解析(1)Sn=n(na1+1),a1=(a1+1),a1=1,Sn=n(n+1),Sn-1=n(n-1)(n2),两式相减得an=n(n2),而当n=1时,a1=1也满足an=n,所以an=n(nN*).(2)Tn=1+221+322+423+n2n-1,则2Tn=12+222+323+(n-1)2n-1+n2n,两式相减,得-Tn=1+21+22+2n-1-n2n=-

28、n2n=2n(1-n)-1,Tn=(n-1)2n+1.8.(2017福建福州八中第六次质检,17)在等比数列an中,公比q1,等差数列bn满足b1=a1=3,b4=a2,b13=a3.(1)求数列an与bn的通项公式;(2)记cn=(-1)nbn+an,求数列cn的前2n项和S2n.解析(1)设等差数列bn的公差为d.则有解得或(舍去),所以an=3n,bn=2n+1.(2)由(1)知cn=(-1)n(2n+1)+3n,则S2n=(3+32+33+32n)+(-3)+5+(-7)+9+-(4n-1)+(4n+1)=+(5-3)+(9-7)+(4n+1-4n+1)=+2n.考点二数列的综合应用9

29、.(2018河南中原名校11月联考,10)设函数f(x)满足f(n+1)=(nN*),且f(1)=2,则f(40)=()A.95B.97C.105D.392答案D10.(2017河南新乡第一次调研,6)已知各项均不为0的等差数列an满足a3-+a11=0,数列bn为等比数列,且b7=a7,则b1b13=()A.16B.8C.4D.25答案A11.(2016福建四地六校第一次联考,9)设数列an是以3为首项,1为公差的等差数列,bn是以1为首项,2为公比的等比数列,则+=()A.15B.60C.63D.72答案B12.(2018广东珠海二中期中,18)已知数列an与bn满足an+1-an=2(b

30、n+1-bn),nN*,bn=2n-1,且a1=2.(1)求数列an的通项公式;(2)设cn=,Tn为数列cn的前n项和,求Tn.解析(1)因为an+1-an=2(bn+1-bn),bn=2n-1,所以an+1-an=2(bn+1-bn)=2(2n+1-2n+1)=4,所以an是等差数列,首项a1=2,公差为4,所以an=4n-2.(2)cn=(2n-1)2n.Tn=c1+c2+c3+cn=12+322+523+(2n-1)2n,2Tn=122+323+524+(2n-1)2n+1,-得 -Tn=12+222+223+22n-(2n-1)2n+1=2+2-(2n-1)2n+1=-6-(2n-3

31、)2n+1,Tn=6+(2n-3)2n+1.13.(2017广东韶关六校联考,17)已知等差数列an的前n项和为Sn,且S3=9,a1,a3,a7成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)当ana1时,数列bn满足bn=,求数列bn的前n项和Tn.解析(1)设an的公差为d.等差数列an的前n项和为Sn,且S3=9,a1,a3,a7成等比数列,解得或当时,an=3;当时,an=2+(n-1)=n+1.an的通项公式为an=3或an=n+1.(2)ana1,an=n+1,bn=2n+1,b1=22=4,=2.bn是以4为首项,以2为公比的等比数列,Tn=2n+2-4.B组20162018年模

32、拟提升题组(满分:80分时间:60分钟)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018湖北孝感六校联考,10)已知数列an满足:a1=1,an+1=(nN*).若bn+1=(n-2)(nN*),b1=-,且数列bn是单调递增数列,则实数的取值范围是()A.B.1C.D.n)都成立的是()A.am-anC.am-an答案A二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2017江西南昌模拟,14)已知数列an的通项为an=(-1)n(4n-3),则数列an的前50项和T50=.答案1004.(2016安徽皖江名校联考,16)数列an满足:a1=,且an+1=(nN*),则+=.答案+三、解答题(每小题

33、15分,共60分)5.(2018福建福州八校联考,17)已知公差不为0的等差数列an的前三项和为6,且a2,a4,a8成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=,数列bn的前n项和为Sn,求使Sn的n的最大值.解析(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d(d0),依题意可得即d0,a1=1,d=1,an=n.(2)由(1)可得bn=-.Sn=+=1-.令1-,得n14,n的最大值为13.6.(2018广东佛山一中期中考试,17)在等差数列an中,a1=3,其前n项和为Sn,等比数列bn的各项均为正数,b1=1,公比为q,且b2+S2=12,q=.(1)求an与bn;(2)证明:+

34、.解析(1)设数列an的公差为d.因为所以解得q=3或q=-4(舍),d=3.故an=3+3(n-1)=3n,bn=3n-1.(2)证明:因为Sn=,所以=.故+=.因为n1,所以0,所以1-1, 所以,即+.7.(2017湖南长沙长郡中学模拟,17)已知an是等差数列,bn是等比数列,Sn为数列an的前n项和,a1=b1=1,且b3S3=36,b2S2=8(nN*).(1)求an和bn;(2)若anan+1,求数列的前n项和Tn.解析(1)设an的公差为d,bn的公比为q,由题意得解得或an=2n-1,bn=2n-1或an=(5-2n),bn=6n-1.(2)若anan(nN*),a1=1,该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列,an+2log2bn=-1.(1)分别求数列an,bn的通项公式;(2)求数列anbn的前n项和Tn.解析(1)设d为等差数列an的公差,则d0,由a1=1,a2=1+d,a3=1+2d分别加上1,1,3后成等比数列,得(2+d)2=2(4+2d),解得d=2(舍负),所以an=1+(n-1)2=2n-1,又因为an+2log2bn=-1,所以log2bn=-n,则bn=.(2)由(1)知anbn=(2n-1),则Tn=+,Tn=+,-,得Tn=+2-.Tn=+2-,Tn=1+2-=3-=3-.