2022年高中数学 2.3 圆的方程 2.3.4 圆与圆的位置关系教案 新人教B版必修2

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1、2022年高中数学 2.3 圆的方程 2.3.4 圆与圆的位置关系教案 新人教B版必修2教学分析教材通过例题介绍了利用方程判断两圆的位置关系让学生进一步感受坐标方法在研究几何问题中的作用值得注意的是针对学生的实际情况来学习坐标法讨论两圆的位置关系，对于基础较差的学生，建议不学习，对于基础较好的学生可以作为课后阅读教材，否则本节课的教学目标完不成三维目标1掌握圆与圆的位置关系的判定，培养学生分析问题和解决问题的能力2了解用坐标方法讨论两圆位置关系，体会坐标方法在研究几何问题中的作用，提高应用能力重点难点教学重点：利用方程判定两圆位置关系教学难点：用坐标方法讨论两圆位置关系课时安排1课时导入新课设

2、计1.前面我们学习了利用方程判断点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，那么，圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何利用方程判断圆与圆之间的位置关系呢？教师板书课题：圆与圆的位置关系设计2.我们知道，日食和月食都是一种自然现象，如果把月球、地球、太阳都抽象成圆，那么这两种自然现象就展现了两圆的位置关系，如何利用方程来描述这一现象呢？教师点出课推进新课讨论结果：外离外切相交内切内含dRrdRr|Rr|dRrd|Rr|d|Rr|思路1例1判断下列两个圆的位置关系：(1)C1：x2y22x30，C2：x2y24x2y30；(2)C1：x2y22y0，C2：x2y22x60.解：(1)已知两圆的方程可分别变形

3、为(x1)2y222，(x2)2(y1)2()2.由此可知圆心C1的坐标为(1,0)，半径r12；圆心C2的坐标为(2，1)，半径r2.设两圆的圆心距为d，则：d|C1C2|.r1r22，r1r22.所以r1r2dRr时，圆C1与圆C2外离；当dRr时，圆C1与圆C2外切；当|Rr|dRr时，圆C1与圆C2相交；当d|Rr|时，圆C1与圆C2内切；当d|Rr|时，圆C1与圆C2内含变式训练1在平面直角坐标系中分别作出圆心为C1(0,0)，C2(1,1)，半径分别为1,2的两圆， 并判断两圆的位置关系解：作出两圆，如下图两圆半径分别记作r1和r2，则r11，r22，圆心距d|C1C2|，于是，1

4、|r1r2|dr1r23，所以两圆相交2判断圆C1：x2y22x6y260与圆C2：x2y24x2y40的位置关系，并画出图形解：由已知得圆C1：(x1)2(y3)236，其圆心C1(1,3)，半径r16；圆C2：(x2)2(y1)21，其圆心C2(2，1)，半径r21.于是|C1C2|5.又|r1r2|5，即|C1C2|r1r2|，所以两圆内切如下图3x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系是()A相离 B相交 C外切 D内切解析：圆O1：x2y22x0(x1)2y21，故圆心为(1,0)，半径为1.圆O2：x2y24y0x2(y2)24，故圆心为(0,2)，半径为2.则圆心距d.而

5、2112，即两圆相交答案：B例2试用坐标方法讨论两圆位置关系(本题针对学生实际选用)解：如下图所示，以O1为坐标原点，使x轴通过O1，O2，且O2在x轴的正半轴上，建立直角坐标系xOy.这样，可设O2的圆心的坐标为(d,0)这时两圆的圆心距等于d，两圆的方程分别为x2y2r(xd)2y2r. 将两式联立，研究此方程组的解，整理可得x.将x值代入，得y2r.由此可见，如果|r1r2|dr1r2则等式右边两个因式都为正数，于是方程组有解，且有两解这时相应的两圆相交于两点(如下图)如果：r1r2d或|r1r2|d，则等式右边分子的因式中至少有一个为0，则方程组有唯一解，这时两圆相切(外切或内切)(上

6、图(2)(3)如果：r1r2d，则方程组无解，这时两圆不相交(相离或内含)(上图(4)(5)思路2例3已知圆C1：x2y22x6y10，圆C2：x2y24x2y110，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长分析：因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程，联立方程组，消去x2项、y2项，即得两圆的两个交点所在的直线方程，利用勾股定理可求出两圆公共弦长解：设两圆交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则A、B两点坐标满足方程组，得3x4y60.因为A、B两点坐标都满足此方程，所以3x4y60即为两圆公共弦所在的直线方程易知圆C1的圆心(1,3)，半径r3.又点C1到直线的距离为d.所以AB22，即两圆

7、的公共弦长为.点评：处理圆有关的问题，利用圆的几何性质往往比较简单，要注意体会和应用本题中求两圆公共弦所在直线方程可以作为结论记住变式训练判断下列两圆的位置关系，如果两圆相交，请求出公共弦的方程(1)(x2)2(y2)21与(x2)2(y5)216，(2)x2y26x70与x2y26y270.解：(1)根据题意，得两圆的半径分别为r11和r24，两圆的圆心距d5.因为dr1r2，所以两圆外切(2)将两圆的方程化为标准方程，得(x3)2y216，x2(y3)236.故两圆的半径分别为r14和r26，两圆的圆心距d3.因为|r1r2|dr1r2，所以两圆相交两圆方程相减得公共弦的方程：6x6y20

8、0，即3x3y100.例4求过点A(0,6)且与圆C：x2y210x10y0切于原点的圆的方程分析：如下图所求圆经过原点和A(0,6)，且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上根据这三个条件可确定圆的方程解：将圆C化为标准方程，得(x5)2(y5)250，则圆心为C(5，5)，半径为5.所以经过此圆心和原点的直线方程为xy0.设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2.由题意，知O(0,0)，A(0,6)在此圆上，且圆心M(a，b)在直线xy0上，则有解得于是所求圆的方程是(x3)2(y3)218.点评：求圆的方程，一般可从圆的标准方程和一般方程入手，至于选择哪一种方程形式更恰当，要根据题目的条件而

9、定，总之要让所选择的方程形式使解题过程简单变式训练求经过点A(4，1)，且与已知圆C：(x1)2(y3)25相外切于点B(1,2)的圆的方程解：如下图，设所求的圆C的方程为(xa)2(yb)2R2.因为C既在弦AB的垂直平分线上，又在直线BC上，AB中垂线方程为xy20，BC所在直线的方程为x2y50，所以，圆心C的坐标应满足方程组解得a3，b1.因为所求圆C过点A(4，1)，所以(43)2(11)2R25.所以，所求圆的方程为(x3)2(y1)25.1在(xk)2(y2k5)25(k1)2(k1)所表示的一切圆中，任意两圆的位置关系是()A相切或相交 B相交 C相切 D内切或相交答案：C2已

10、知圆x2y2m0与圆x2y26x8y0没有公共点，则实数m的取值范围为()A10m0 B100m10 Cm100 D答案：C3半径为5且与圆x2y26x8y0相切于原点的圆的方程是_答案：x2y26x8y04一圆过两圆x2y26x30和x2y26y30的交点，圆心在直线xy60上，求此圆的方程答案：x2y29x3y305求圆心在直线xy40上，且经过两圆x2y24x30和x2y24y30的交点的圆的方程解：设经过两已知圆的交点的圆的方程为x2y24x3(x2y24y3)0(1)，则其圆心坐标为(，)所求圆的圆心在直线xy40上，40，.所求圆的方程为x2y26x2y30.求经过原点，且过圆x2

11、y28x6y210和直线xy50的两个交点的圆的方程解法一：由求得交点(2,3)或(4,1)设所求圆的方程为x2y2DxEyF0.因为(0,0)，(2 3)，(4,1)三点在圆上，所以解得所以所求圆的方程为x2y2xy0.解法二：设过交点的圆系方程为x2y28x6y21(xy5)0(为参数)将原点(0,0)代入上述方程得.则所求方程为x2y2xy0.本节课学习了：利用方程判断两圆位置关系，解决与两圆有关的问题本节练习A1,2题这堂课是建立在初中已经对圆与圆的位置关系有个粗略地了解的基础上，对这个位置关系的进一步深化，而且前一堂课学习过直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的研究和直线与圆的位置关

12、系的研究方法是类似的，所以可以用类比的思想来引导学生自主地探究圆与圆的位置关系作为解析几何的一堂课，判断圆与圆的位置关系，体现的正是解析几何的思想：用代数方法处理几何问题，用几何方法处理代数问题所以在教材处理上，对判断两圆位置关系用了几何方法，使学生对解析几何的本质有所了解圆的参数方程一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，即并且对于t的每一个允许值，由方程所确定的点M(x，y)都在一条曲线上，那么方程组就叫这条曲线的参数方程，联系x，y之间的关系的变数叫做参变数，简称参数参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数相对于参数方

13、程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程参数方程能把曲线上的点坐标通过参数直接地写出来，因此，能比较清楚地表明曲线上点的坐标的特点，尤其是借助于参数方程，可以使有的问题变得容易解决这也正是在解有关问题时，将普通方程化为参数方程来解的原因当然在解答有关问题时，根据问题的需要，有时也将参数方程化为普通方程，比如研究有关曲线的性质时，由于我们对普通方程下曲线性质比较熟悉，这时，常把曲线参数方程化为普通方程来研究问题圆的参数方程参数方程：其中，为参数，圆心为(a，b)，r为半径需注意的两点：(1)标准方程含有a，b，r，当a，b，r确定下来时，圆的参数方程才唯一地确定下来，确定圆的参数方程同样需要三个独立条件(2)要掌握圆的标准方程(xa)2(yb)2r2与参数方程(为参数)之间的互化