2022度高中数学第一章空间几何体1.3.2球的体积和表面积课时作业新人教A版必修2

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1、2022度高中数学第一章空间几何体1.3.2球的体积和表面积课时作业新人教A版必修2 【选题明细表】 知识点、方法题号球的表面积、体积1,4,6,7,10与球有关的三视图3,11与球有关的“切”“接”问题2,5,8,9基础巩固1.两个球的表面积之差为48,它们的大圆周长之和为12,这两个球的半径之差为(C)(A)4(B)3(C)2(D)1解析:令S球1=4R2,S球2=4r2,由题可知4R2-4r2=48, 又2R+2r=12, 得R-r=2.2.长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点落在球O的表面上,已知AB=3, AD=4,BB1=5,那么球O的表面积为(D)(A)25(B)200(C

2、)100(D)50解析:由长方体的体对角线为外接球的直径,设球半径为r,则2r=5,则r=,4r2=4()2=50.3.(2018湖南师大附中高一测试)某几何体的三视图如图所示,它的体积为(C)(A)72(B)48(C)30(D)24解析:由三视图可知,该几何体的上方是一个以3为半径的半球,下方是以3为底面半径,以5为母线长的圆锥,所以其体积V=33+32=18+12=30.4.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为S1、S2,则S1S2等于(C)(A)11(B)21(C)32(D)41解析:由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,设球的半径为1,则S1=6,S2

3、=4.所以S1S2=32,故选C.5.将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中,水面升高4 cm,则钢球的半径是.解析:圆柱形玻璃容器中水面升高了4 cm,则钢球的体积为V=324=36,即有R3=36,所以R=3.答案:3 cm6.(2018黑龙江伊春高一测试)边长为4的正方形ABCD的四个顶点在半径为5的球O的表面上,则四棱锥O-ABCD的体积是.解析:因为ABCD外接圆的半径r=4,又因为球的半径为5,所以球心O到平面ABCD的距离d=3,所以=(4)23=32.答案:327.如图所示(单位:cm)四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.解

4、:S球=422=8(cm2),S圆台侧=(2+5)=35(cm2),S圆台下底=52=25(cm2),即该几何体的表面积为8+35+25=68(cm2).又V圆台=(22+25+52)4=52(cm3),V半球=23=(cm3).所以该几何体的体积为V圆台-V半球=52-=(cm3).能力提升8.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍,则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为(C)(A)43(B)31(C)32(D)94解析:作轴截面如图,则PO=2OD,CPB=30,CB=PC=r,PB=2r,圆锥侧面积S1=6r2,球的面积S2=4r2,S1S2=32.故选C.9.圆柱形容器内盛有高度为8

5、 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是(D)(A) cm(B)2 cm(C)3 cm(D)4 cm解析:设球的半径为r,则V水=8r2,V球=4r3,加入小球后,液面高度为6r,所以r26r=8r2+4r3,解得r=4.故选D.10.(2018陕西咸阳二模)已知一个三棱锥的所有棱长均为,求该三棱锥的内切球的体积.解:如图,AE平面BCD,设O为正四面体A-BCD内切球的球心,则OE为内切球的半径,设OA=OB=R,又正四面体ABCD的棱长为,在等边BCD中,BE=,所以AE=.由OB2=OE2+BE2,得R2=(-R)2+,

6、解得R=,所以OE=AE-R=,即内切球的半径是,所以内切球的体积为()3=.探究创新11.将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体(四面体的每个面都是正三角形)的容器里,求这个正四面体的高的最小值.名师点拨:四个小球在正四面体内一定是两两相切的,球心连起来构成一个正四面体.解:由题意,如图所示,在正四面体S-ABC的底面上放三个钢球,上面再放一个钢球时,正四面体的高最小.且连接小钢球的球心又得到一个棱长为2的小正四面体M-NEF,且两个正四面体的中心重合于点O,取NEF的中心O1,连接NO1,则NO1=,MO1=.由正四面体的性质知其中心O与O1的距离OO1=MO1=.从而OO2=OO1+1=+1.故正四面体的高的最小值为4OO2=+4.