中考数学复习 第23课时 矩形、菱形、正方形测试

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1、中考数学复习 第23课时 矩形、菱形、正方形测试基础达标训练1. 下列性质中菱形不一定具有的性质是()A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直C. 对角线相等D. 既是轴对称图形又是中心对称图形2. (xx上海)已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是()A. BACDCA B. BACDACC. BACABD D. BACADB3. (xx河南)如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定ABCD是菱形的只有()第3题图A. ACBDB. ABBCC. ACBDD. 124. (xx广安)下列说法：四边相等的四

2、边形一定是菱形顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形对角线相等的四边形一定是矩形经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分其中正确的个数为()A. 4 B. 3 C. 2 D. 15. (xx兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，ADB30，AB4，则OC()A. 5 B. 4 C. 3.5 D. 3 第5题图 第6题图6. 如图，在ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DECA，DFBA.下列四个判断中，不正确的是()A. 四边形AEDF是平行四边形B. 如果BAC90，那么四边形AEDF是矩形C. 如果AD平分BAC，那么四边

3、形AEDF是菱形D. 如果ADBC且ABAC，那么四边形AEDF是正方形7. (xx淮安)如图，在矩形纸片ABCD中，AB3，点E在边BC上，将ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若EACECA，则AC的长是()A. 3 B. 6 C. 4 D. 5 第7题图 第8题图8. (xx泸州)如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AEBD，垂足为F，则tanBDE的值是()A. B. C. D. 9. (xx丽水)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图所示，在图中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且I

4、JAB，则正方形EFGH的边长为_ 第9题图10. (xx徐州)如图，矩形ABCD中，AB4，AD3，点Q在对角线AC上，且AQAD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP_ 第10题图 第11题图 11. (xx十堰)如图，菱形ABCD中，AC，BD交于点O，DEBC于点E，连接OE，若ABC140，则OED_ 第12题图12. (xx怀化)如图，在菱形ABCD中，ABC120，AB10 cm，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为_cm. 第13题图13. (6分)(xx岳阳)求证：对角线互相垂直的平行

5、四边形是菱形小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程已知：如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，_求证：_.14. (8分)(xx邵阳)如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，OBCOCB. (1)求证：平行四边形ABCD是矩形；(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形第14题图15. (8分)(xx盐城)如图，矩形ABCD中，ABD、CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F.(1)求证：四边形BEDF为平行四边形；(2)当ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由第15题图16. (8分)(

6、xx南雅中学第七次阶段检测)如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，BEAG于点E，DFAG于点F.(1)证明：ABEDAF；(2)若AGB30，求EF的长第16题图17. (8分)(xx鄂州)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E.(1)求证：AFECDE；(2)若AB4，BC8，求图中阴影部分的面积第17题图能力提升训练1. (xx芙蓉区二十九中模拟)如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(xy)，下列四个说法：x2y249；

7、xy2；2xy449；xy9.其中说法正确的是()A. B. C. D. 第1题图2. (xx安徽)如图，在矩形ABCD中，AB5，AD3.动点P满足SPABS矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PAPB的最小值为()A. B. C. 5 D. 第2题图 第3题图3. (xx青竹湖湘一二模)如图，在矩形纸片ABCD中，AB6，BC10，点E在CD上，将BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，点G在AF上，将ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：EBG45；DEFABG；SABGSFGH；AGDFFG.其中正确的个数为()A. 1 B. 2 C. 3 D. 44.

8、 (xx江西)已知点A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，连接AC，BC得到矩形AOBC，点D在边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应点为A，若点A到矩形较长两对边的距离之比为13，则点A的坐标为_5. (xx绍兴)如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GECD，GFBC，AD1500 m，小敏行走的路线为BAGE，小聪行走的路线为BADEF.若小敏行走的路程为3100 m，则小聪行走的路程为_m.第5题图6. (9分)(xx广州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，COD关于CD的对称图形为CED. (1)求证：四边形OCED是菱形；(2)

9、连接AE，若AB6 cm，BC cm.求sinEAD的值；若点P为线段AE上一动点(不与点A重合)，连接OP.一动点Q从点O出发，以1 cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5 cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间第6题图拓展培优训练1. (xx长郡教育集团第二届澄池杯)如图，在矩形ABCD中，AB8，BC12，点E是BC的中点，连接AE，将ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sinECF()A. B. C. D. 第1题图 第2题图2. (xx长郡教育集团第二届澄池杯)如

10、图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.有直角MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转MPN，旋转角为(090)，PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的有()(1)EFOE；(2) S四边形OEBFS正方形ABCD14；(3)BEBFOA；(4)OGBDAE2CF2.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个特殊四边形的相关证明与计算巩固集训1. (8分)(xx广东省卷)如图所示，已知四边形ABCD、ADEF都是菱形，BADFAD，BAD为锐角(1)求证：ADBF；(2)若BFBC，求ADC的

11、度数第1题图2. (8分)(xx麓山国际实验学校二模)如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且ADEBAD，AEAC. (1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)若DA平分BDE，AB5，AD6，求AC的长第2题图3. (8分)(xx南雅中学二模)在平行四边形ABCD中，过点D作DEAB于点E，点F在边CD上，DFBE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF3，BF4，DF5，求证：AF平分DAB.第3题图4. (8分)(xx襄阳)如图，AEBF，AC平分BAE，且交BF于点C，BD平分ABF，且交AE于点D，连接CD. (

12、1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若ADB30，BD6，求AD的长第4题图5. (8分)(xx青竹湖湘一三模)已知，正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DFBE，连接AE、AF，过点A作AHED于点H.(1)求证：ADFABE；(2)若BC3BE，BE1，求tanAED的值第5题图6. (8分)(xx长沙中考模拟卷三)如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，使B、C、E三点在同一直线上，连接BF，交CD于点G.(1)求证：CGCE；(2)若正方形边长为4，求菱形BDFE的面积第6题图7. (9分)(xx长沙中考模拟卷六)如图，在ABCD中，AEBC于点

13、E，AFCD于点F，BD与AE、AF分别相交于点G、H.(1)求证：ABEADF；(2)若AGAH，求证：四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，将ADF绕A点顺时针旋转，若ADF恰好与ACE重合，求旋转角n(0n360)第7题图8. (9分)(xx兰州)如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：BDF是等腰三角形；(2)如图，过点D作DGBE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.判断四边形BFDG的形状，并说明理由；若AB6，AD8，求FG的长第8题图答案1. C2. C3. C4. C5. B【解析】在矩形ABCD中，AB4，

14、ADB30，BAD90，BD8，矩形对角线相等且互相平分，OCACBD4.6. D【解析】DECA，DFBA，四边形AEDF是平行四边形，故A选项正确；BAC90，四边形AEDF是平行四边形，四边形AEDF是矩形，故B选项正确；AD平分BAC，EADDAF，又DEAC，EDADAFEAD，AEDE，又四边形AEDF是平行四边形，四边形AEDF是菱形，故C选项正确；如果ADBC且ABBC不能判定四边形AEDF是正方形，故D选项错误7. B【解析】由折叠可知，BAEEAC，EACECA，BAC2BCA，四边形ABCD是矩形，B90，3ACB90，ACB30，AB3，AC2AB6.8. A【解析】A

15、DBC，BECE，又四边形ABCD是矩形，BEFDAF，BEADBFFDEFAF12，设EFx，则AF2x，BEFAEB，BEAEEFBE，BE2EFAE3x2，BEx，AB2AE2BE26x2，ABx，ABBEAEBF，BFx，在RtBDC中，BD3x，DF2x，在RtDFE中，tanBDE.9. 10【解析】如题图，由赵爽弦图可知，GHIHEJEFKFGL，GLHIEJFK，FLGIHJEK，设HIm，IJAB， HJFKAB，即m2m14，解得m6，在RtGHI中，HI6，GI628，GH10，即正方形EFGH的边长为10.10. 【解析】AC5，AQAD3，CQ2，又ADAQ，ADQA

16、QD，CQPAQD，ADQCQP，ADBC，ADQCPQ，CQPCPQ，CPCQ2，BP321，AP.11. 20【解析】四边形ABCD是菱形，OBODBD，ABDCBD，ABC140，CBD ABC 70，DEBC，BDE20，OEBDOD，OEDBDE20.12. 1010【解析】PBC是等腰三角形，有以下三种情况：(1)当以点P为顶点时，则点P在线段BC的垂直平分线上，如解图所示，此时最小值是10；(2)以点B为顶点时，则点P的轨迹是在以点B为圆心，BC长为半径的圆周上，由解图易知，P，A两点间最短距离是与点A重合，又点P不与点A重合，故舍去；(3)以点C为顶点时，则点P的轨迹是在以点C

17、为圆心，BC长为半径的圆周上，由解图易知，线段AF的长即为最短距离，在RtABE中，AB10，ABE18012060，AEABsin605，在RtAEC中，AE5，ACE30，AC2AE10，AFACCF1010，即P，A两点间的最短距离为(1010) cm.第12题解图13. 已知：ACBD；求证：ABCD是菱形证明：ACBD，AOBAOD90，又在ABCD中，AOAO，BODO，AOBAOD，ABAD，同理BCCD，在ABCD中，ADBC，ABBCCDDA，四边形ABCD是菱形14. (1)证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，DAOOCB，ADOOBC，又OBCOCB，DAOADO

18、，OBOC，OAOD，OBODOAOC，即ACBD，平行四边形ABCD是矩形；(2)解：使矩形ABCD为正方形的条件为：ABAD.(答案不唯一)15. (1)证明：四边形ABCD是矩形，ABDC，ADBC，ABDCDB，BE平分ABD，DF平分CDB，EBDABD，FDBCDB，EBDFDB，DFEB，又ADBC，EDBF，四边形BEDF是平形四边形；(2)解：当ABE30 时，四边形BEDF是菱形理由如下：BE平分ABD，ABD2ABE60，EBDABE30，四边形ABCD是矩形，A90，EDBEBD30，EBED，又四边形BEDF是平行四边形，四边形BEDF是菱形16. (1)证明：四边形

19、ABCD是正方形，DAFBAE90，ABAD，AFD90，DAFADF90，BAEADF，在ABE和DAF中，ABEDAF(AAS)；(2)解：在正方形ABCD中，ADBC，DAFAGB30，在RtADF中，AFD90，AD6，AF3，DF3，由(1)得ABEDAF，AEDF3，EFAFAE33.17. (1)证明：AFC是由ABC折叠得到的，AFAB，FB，四边形ABCD是矩形，ABCD，BD90，AFCD，FD，FEADEC，AFECDE(AAS)；(2)解：由(1)知AFECDE，AECE，DEADAE8CE，在RtDCE中，由勾股定理得CE2DE2CD2，CE2(8CE)242，解得C

20、E5，SACEAECD5410，即图中阴影部分面积为10.能力提升训练1. B【解析】由勾股定理得x2y2大正方形边长的平方，即大正方形的面积49，故正确；小正方形的面积为4，边长为2，即xy2，故正确；四个直角三角形的面积再加上中间正方形的面积4等于大正方形的面积49，即xy442xy449，故正确；(xy)2x2y22xy，由可知2xy45，x2y22xy494594，xy9，故错误2. D【解析】如解图，设PAB底边AB上的高为h，SPABS矩形ABCD，得ABhABAD，h2为定值，在AD上截取AE2，作EFAB，交CB于点F，故点P在直线EF上 ，作点A关于直线EF的对称点A，连接A

21、B，交直线EF于点P，此时PAPB最小，且PAPBPAPBAB.第2题解图3. C【解析】BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，12，CEFE，BFBC10，在RtABF中，AB6，BF10，AF8，DFADAF1082，设EFx，则CEx，DECDCE6x，在RtDEF中，DE2DF2EF2，(6x)222x2，解得x，ED，ABG沿BG折叠，恰落在线段BF上的点H处，34，BHBA6，AGHG，EBG23ABC45，正确；HFBFBH1064，设AGy，则GHy，GF8y，在RtHGF中，GH2HF2GF2，y242(8y)2，解得y3，AGGH3，GF5，AD，ABG与DEF不相

22、似，错误；SABG639，SFGHGHHF346，SABGSFGH，正确；AGDF325，而GF5，AGDFGF，正确，正确第3题解图4. (，3)或(，1)或(2，2)【解析】由折叠性质可知，OAOA4，假设点A坐标为(x，y)则有x2y24216，点A到矩形较长两对边的距离之比为13，可分为两种情况：A至AC的距离为A至OB距离的3倍，可得y11，y22，代入x2y216得，x1，x22，又A处于y轴右侧，A为(，1)或(2，2)；A至OB的距离为A至AC的距离的3倍，可得y33，代入x2y216得x3，又A处于y轴右侧，A为(，3)，综上所述，A为(，3)或(，1)或(2，2)第5题解图

23、5. 4600【解析】由题意得，BAAGGE3100 m，AB1500 m，AGGE310015001600 m，BD为对角线，DBC45，而GEDC，DGE45，DEG为等腰直角三角形，DEGE，如解图，过点G作GHAB，易证AGHEFC，AGEF，ABADDEEFABAD(GEAG)300016004600 m.6. (1)证明：四边形ABCD是矩形，ACBD，且AC、BD互相平分，DOCO，已知COD与CED关于CD对称，CODCED，COCE，DODE，CE CODODE，四边形OCED是菱形；(2)解：如解图，连接EO交CD于点F，延长EO交AB于点H，四边形OCED是菱形，EOCD

24、，且EO、CD互相平分，EFFO，DFFC3，FOBC，即EHBC，且EFFOBC，又FOBC，在矩形ABCD中，ABCD，ABC90，四边形FHBC是矩形，FHBC，HBFC3，AHABHB3，EHEFFH，ABCD，EHCD，EHAB，AE2AH2EH232()2，解得AE，sinAEH，sinDAEsinAEH；第6题解图第6题解图如解图，在AE上取点P，过点P作PMAD于点M，tOPAP，sinDAE，MPAP，tOPAPOPPM，当点O、P、M共线时，tOPPMOM取得最小值，OMAD，在矩形ABCD中，ABAD，BODO，OMAB，且点O为BD的中点，OM为ABD的中位线，tOMA

25、B3，OMAB，RtEHARtEOP，PEAE3，APAEEP，故AP的长为 cm，点Q走完全程需要3 s.拓展培优训练1. D【解析】过E作EHCF于点H，由折叠的性质得：BEEF，BEAFEA，点E是BC的中点，CEBE，EFCE，FEHCEH，AEBCEH90，在矩形ABCD中，BAEBEA90，BAECEH，BEHC，ABEEHC，AE10，EH，sinECF. 第1题解图2. D【解析】四边形ABCD是正方形，OBOC，OBEOCF45，BOC90，BOFCOF90，EOF90，BOFBOE90，BOECOF，在BOE和COF中，BOECOF(ASA)，OEOF，EOF90，EFOE

26、，故(1)正确；S四边形OEBFSBOFSBOESBOFSCOFSBOCS正方形ABCD，S四边形OEBFS正方形ABCD14，故(2)正确；BECF，BEBFBFCFBCOA，故(3)正确；EOGBOE，OEGOBE45，OEGOBE，OEOBOGOE，OGOBOE2，OBBD，OEEF，OGBDEF2，在BEF中，EF2BE2BF2，EF2AE2CF2，OGBDAE2CF2，故(4)正确特殊四边形的相关证明与计算巩固集训1. (1)证明：四边形ABCD、四边形ADEF都是菱形，ABADAF，ABF是等腰三角形，又BADFAD，ADBF；(2)解：由(1)知ABADAF，又ABBC，BFBC

27、，ABAFBF，ABF是等边三角形，BAF60，又BADFAD，BAD30，又四边形ABCD是菱形，ADCBAD180，ADC180BAD150.2. (1)证明：ADEBAD，ABDE，AEAC，BDAC，AEBD，四边形ABDE是平行四边形；(2)解：DA平分BDE，ADEBDA，ADEBAD，BADBDA，BDAB5，设BFx，则DF5x，AD2DF2AB2BF2，62(5x)252x2，解得x，AF，BD平分AC，AC2AF.3. 证明：(1)四边形ABCD为平行四边形，DCAB，即DFBE，又DFBE，四边形BFDE为平行四边形，又DEAB，即DEB90，四边形BFDE为矩形；(2)

28、由(1)知平行四边形BFDE为矩形，BFC90，在BFC中，CF3，BF4，根据勾股定理得，BC5，四边形ABCD是平行四边形，ADBC5，ADDF5，DAFDFA，DCAB，DFAFAB，DAFFAB，即AF平分DAB.4. (1)证明：AEBF，ADBCBD，BD平分ABF，ABDCBD，ABDADB，ABAD，同理可证ABBC，ADBC，四边形ABCD是平行四边形，又ABAD，四边形ABCD是菱形；(2)解：四边形ABCD是菱形，BD6，ACBD，ODBD3，在RtAOD中，cosADBcos30，AD32.5. (1)证明：四边形ABCD是正方形，ADFABE90，ADAB，在ADF和

29、ABE中，ADFABE(SAS)；(2)解：如解图，过点E作EGAD，交DA的延长线于点G，第5题解图AGEGABABE90，四边形ABEG是矩形，GEAB，四边形ABCD是正方形，ABGEBCCDAD3BE，又BE1，CEBCBE4，在RtABE中，由勾股定理得，AE，在RtCDE中，由勾股定理得，DE5，SADEADGE33，又SADEAHDE，AH，在RtAEH中，由勾股定理得EH，tanAED.6. (1)证明：连接DE交BF于点O，则DEBF，第6题解图ODGOGD90，CBGCGB90，CGBOGDCDECBG，又BCDC，BCGDCE，BCGDCE(ASA)，CGCE；(2)解：

30、正方形边长BC4，BDBC4，DCBC4，菱形BDFE的面积为S4416，菱形BDFE的面积为16.7. (1)证明：AEBC于点E，AFCD于点F，AEBAFD90，四边形ABCD是平行四边形，ABEADF，ABEADF；(2)证明：AGAH，AGHAHG，AGBAHD，ABEADF，BAGDAH，BAGDAH(ASA)，ABAD，四边形ABCD是平行四边形且ABAD，平行四边形ABCD是菱形；(3)解：ADF恰好与ACE重合，ADAC，FAE即为所求角，又由(2)可得，ADDCBCABAC，ADC和ACB均为等边三角形，ABCADC60，BADBCD120，又AEBC，AFDC，BAEDAF30，FAE120303060，即n60.8. (1)证明：由折叠的性质可得，DBCDBF，四边形ABCD是矩形，ADBC，ADBDBC，DBFADB，BFDF，BDF是等腰三角形；(2)解：四边形BFDG是菱形理由如下：四边形ABCD是矩形，ADBC，即DFBG，DGBF，四边形BFDG是平行四边形，由(1)得BFDF平行四边形BFDG是菱形；矩形ABCD中AB6，AD8，A90，BD10，四边形BFDG是菱形，BDGF，GF2OF，BD2OD，OD5，tanADB，OF，FG.