2022年高中数学第5章推理与证明5.2直接证明与间接证明5.2.2间接证明：反证法讲义含解析湘教版选修

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1、2022年高中数学第5章推理与证明5.2直接证明与间接证明5.2.2间接证明：反证法讲义含解析湘教版选修1反证法的定义先假设原命题的否定成立，从这个假设出发，经过推理，得出与已知事实相矛盾的结论，这个矛盾的结果说明原命题结论的否定不成立，从而间接肯定了原命题结论成立，这种间接证法称为反证法2反证法的一般步骤(1)反设；(2)归谬；(3)结论小问题大思维1用反证法证明命题“若p，则q”时，綈q假，q即为真吗？提示：是的在证明数学问题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者中居其一，綈q是q的反面，若綈q为假，则q必为真2反证法与逆否命题证明的区别是什么？提示：反证法的理论依据是p与綈p真假性相反

2、，通过证明綈p为假命题说明p为真命题，证明过程中要出现矛盾；逆否命题证明的理论依据是“pq”与“綈q綈p”是等价命题，通过证明命题“綈q綈p”为真命题来说明命题“pq”为真命题，证明过程不出现矛盾用反证法证明否定型命题 直线ykxm(m0)与椭圆W：y21相交于A，C两点，O是坐标原点当点B在W上且不是W的顶点时，求证：四边形OABC不可能为菱形自主解答假设四边形OABC为菱形因为点B不是W的顶点，且ACOB，所以k0.由消去y并整理得(14k2)x28kmx4m240.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则，km，设AC的中点为M，则M，因为M为AC和OB的交点，且m0，k0，所以直线OB

3、的斜率为.因为k1，所以AC与OB不垂直所以OABC不是菱形，与假设矛盾所以四边形OABC不可能是菱形1用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法2用反证法证明数学命题的步骤1设函数f(x)ax2bxc(a0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数求证：f(x)0无整数根证明：假设f(x)0有整数根n，则an2bnc0(nZ)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，ab为偶数，则an2bnc为奇数，即n(anb)为奇数n，anb均为奇数，又ab为偶数，ana为奇

4、数，即a(n1)为奇数，n1为奇数，这与n为奇数矛盾f(x)0无整数根用反证法证明“至多”“至少”型命题 已知a1，求证三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实数解自主解答假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：这与已知a1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解用反证法证明“至多”“至少”等问题的两个关注点(1)反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的(2)常用题型：对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法2

5、已知a1a2a3a4100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.证明：假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a125，a225，a325，a425，则a1a2a3a425252525100，这与已知a1a2a3a4100矛盾，故假设错误所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.用反证法证明“唯一”型命题 用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行自主解答由两条直线平行的定义和几何图形可知，过点A至少有一条直线与直线a平行假设过点A还有一条直线b与已知直线a平行，即bbA，ba.因为ba，由平行公理知bb.这与假设bbA矛盾，所以假设错误，原

6、命题成立巧用反证法证明唯一性命题(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性3设a1，函数f(x)(1x2)exa.证明：f(x)在(，)上仅有一个零点证明：因为a1，所以f(0)1a0，所以f(0)f(ln a)180，这与三角形内角和为180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个

7、直角假设ABC中有两个直角，不妨设A90，B90.上述步骤的正确顺序为_解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为.答案：6已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：， ， 不成等差数列证明：假设，成等差数列，则2，即ac24b，而b2ac，即b，所以ac24，所以()20，即.从而abc，与a，b，c不成等差数列矛盾，故，不成等差数列一、选择题1设a，b，c(，0)，则a，b，c()A都不大于2B都不小于2C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2解析：因为abc6，所以三者不能都大于2.答案：C2用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设()A三个内角

8、都不大于60B三个内角都大于60C三个内角至多有一个大于60D三个内角至多有两个大于60解析：因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60”，即“三个内角都大于60”答案：B3已知数列an，bn的通项公式分别为anan2，bnbn1(a，b是常数)，且ab，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有()A0个 B1个C2个 D无穷多个解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得anbn，由题意ab，nN*，则恒有anbn，从而an2bn1恒成立，不存在n使anbn.答案：A4有以下结论：已知p3q32，求证

9、：pq2，用反证法证明时，可假设pq2；已知a，bR，|a|b|2.故的假设是错误的，而的假设是正确的答案：D二、填空题5用反证法证明命题“a，b为整数，若ab不是偶数，则a，b都不是偶数”时，应假设为_解析：“a，b都不是偶数”指“a，b都是奇数”，它的反面是“a，b不都是奇数”答案：a，b不都是奇数6命题“a，bR，若|a1|b1|0，则ab1”用反证法证明时应假设为_解析：“ab1”的反面是“a1或b1”，所以设为a1或b1.答案：a1或b17完成以下反证法证题的全过程设a1，a2，a7是1,2，7的一个排列，求证：乘积p(a11)(a22)(a77)为偶数证明：反设p为奇数，则a11，

10、a22，a77均为奇数因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数_ _ 0.但0奇数，这一矛盾说明p为偶数解析：将a11，a22，a77相加后，再分组结合计算答案：(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)8若下列两个方程x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是_解析：两个方程至少有一个方程有实根，考虑起来比较复杂，可以考虑其反面，即“两个方程都无实根”，这样求得a的集合记为A，那么原命题所求a的取值范围即为RA，解法如下：若两个方程都无实根2a1.则Aa|2a1，故RAa|a2或a1答案：(，21，)三、解答题9已知二次函数f(x)ax2bxc(

11、a0)的图象与x轴有两个不同的交点，f(c)0，且当0x0.(1)证明：是函数f(x)的一个零点；(2)试用反证法证明：c.证明：(1)f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，f(x)ax2bxc0有两个不等实根，设为x1，x2.f(c)0，c是f(x)0的一个根，不妨令x1c.又x1x2，x2 (c)，是f(x)0的一个根，即是函数f(x)的一个零点(2)由(1)知c，故假设0，又当0x0，f0，与f0矛盾，假设不成立，c.10已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列解：(1)当n1时，a1S12a12，则a11.又anSn2，所以an1Sn12，两式相减得an1an，所以an是首项为1，公比为的等比数列，所以an.(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN)，则2，所以22rq2rp1. 又因为pqr，所以rq，rpN.所以式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立所以假设不成立，原命题得证