论行列式计算技巧

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1、论行列式的计算方法黄正敏（莆田学院数学系2002级，福建 莆田）摘要：归纳行列式的各种计算方法，并举例说明了它们的应用，同时对若干特殊 例子进行推广。关键词：行列式；范德蒙行列式；矩阵；特征植；拉普拉斯定理；析因法；辅助 行列式法行列式的计算灵活多变，需要有较弓II的技巧。当然，任何一个n阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知，n阶行列式的展开式有 n!项，计算量很大，一般情况下不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。值的注意的是：在应用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第1行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。接下来要介绍计算行列式的两种最基本方法一一化三角形法和按行（列

2、）展开法。方法1 化三角形法化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形 行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列 式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作 为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。例1:浙江大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题（重庆大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1 22 3Dn = 3 4+R+I*

3、 n 11小题）的解答中需要计算如下行列式的值:3 IIIn -1n4 IIIn15 III12r4+kd+，146 III n 2 n 1分析显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第1列开始；每一列与它一列中有 n-1个数是差1的，根据行列 式的性质，先从第n-1列开始乘以一1加到第n歹第n-2列乘以一1加到第n-1 列，一直到第一列乘以一1加到第2歹上然后把第1行乘以一1加到各行去，再将其 化为三角形行列式，计算就简单多了。解：111211Dn =311+H+Hn 1 -n 1III11川11-nIII 1 -n1III111 (i=2,i|,n)

4、2 r =% .100ri-n1 m 110 m 0 -n0 川-n 01 - HI n 0川010|020|-n+b+Fn -20|0n-1-nin001I0- n001 n(n 1)：)n 2100-n01n 一 10川0-n0i川-nRb0F-nIIIf0F00III000 III 001 n(n 1)n 2n -1(fn)(n)(nz(-1)2(n 1)2问题推广例1中，显然是1,2,，n-1,n这n个数在循环，那么如果是a,a1,an-2,a n-1 这n个无规律的数在循环，行列式该怎么计算呢？把这种行列式称为 “循环行列式”。 2从而推广到一般，求下列行列式：一a。 a a 2an

5、 工 a aiDn =：| a2 a3 a，a a 2 a3a0aa2IIIana0aIII解：令 A =+q，+41+4Fa2 a3 a，HI_aa? a3 HI白先注目，右 u为n次单位根（即IIIanIII an,：(A w c,i =0,1，n-1)III aIIIaan 1 Ian 二r bra1a0un=1),则有：一11 u A I u2=1,.用到u=un中等）一 ao +au +H| +anAunJ1 I.11k.in _1ani +a0u +111 +an/U ；(这里*：una2a3u |la1u-ai +a?u +川 +aounj1n 1_unao +au + 川 +a

6、nuIau +au2 +| +anun+aunN +aiun，+|+anu2nJ3:aoun,+aun + 川 +anu2n/1- 1u= (a0 +au +U| +an,un) u2=f(u) -其中 f (u)=ao au III anun nJ.Jaw=cos2Lk+i $访红k为n次本原单位根 n n二有:wn = 1,wk # 1(0 k n)于是：1,w,w2, III ,wn 互异且为单位根一 1 1wj记：Wj = w2j, (j =0,1，川,n-1)方阵W = (Wo,W1| ,Wn)+ +Wn j则由上述知：A wj = f wi wj故 Aw = (Awj, Aw1,1

7、 |l, Awn)=(f (wo)w0, f (w)w1，|l, f (wn4)wn)f (w)= (w0,W,wn,)JL111 w显然 w =(wo, wi,川,wni) = 1 w2- nn1J w1n 4w2(n4) w(n4)(n 4) w为范德蒙行列式从而有:Aw| =| w| f (1) f (w)川 f (wn,)=|A w. A =Dn =f(1) f(w) * f(wn)又例1中，循环的方向与该推广在方向上相反所以例1与a0a0ai III _ aia2 IIInan/anao III相对应(n D(n Z而Dn与D：只相差(1) 2个符号(n 1)(n Z即得：D;=(-

8、1)2f(1) f(w)川 f(wn)从而当(%,%|自)=(12,|,n)时对单位根U = Wk 1,总有： f (u) =1 2u 3u2 |l|nunf(1)=1 2 |l| n =n(f (u) -uf (u) =1 u u2 | uni n = -nf(u)=-n1 -u一一 xn -1 n而又 =.(x。w )=1 x x III x , x -1 km令x =1n 1则有：n (1Wk) =1+1 + 111 + 1= nk 1(n (nN)从而有：D =(-1)2f(1) f(w)川 f(wn)=(-1)=(-1)(-1)(-1)与例1的答案一致。方法2 按行（列）展开法（降阶

9、法） 设Dn =aj为n阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有Dn =aA +a2A2 +|产狗从0 =1,2,|儿n)或 Dn = alj Aja2j A2 j H anj Anj j - 1,2,1 H ,n其中Aj为Dn中的元素aj的代数余子式按行（列）展开法可以将一个 n阶行列式化为n个n-1阶行列式计算。若继续 使用按行（列）展开法，可以将 n阶行列式降阶直至化为许多个 2阶行列式计算， 这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算里,仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此, 应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某

10、一行（列）化为有较多的零元 素，再按该行（列）展开。例2,计算20阶行列式9D20201918川IIIIIIIII181716191817201918分析这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至 化许许多多个2阶行列式计算，需进行20! *20-1次加减法和乘法运算，这人根本 是无法完成的，更何况是 n阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则 很快就可算出结果。注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1,因此，可按下述方法计算:解:13(i =2|,20) 4L +i：20211 1 | 1 1 10 2 | 2 2 20 0 III=21 (-1)20

11、1 218 =-21 21800HI00200HI000111 HI 111123 |11 18 19 202 -11 HI 111212 |11 17 18 19ci + -ci3-1 -1 川 111D20 321 H| 16 17 18I+qqq-i+(111119)+ddri-i+4R4+4F+*+19 -1 -1 川-1 -1120 19 18 |ll 32120 -1 -1 川-1 -1 -1以上就是计算行列式最基本的两种方法， 接下来介绍的一些方法，不管是哪种, 都要与行列式的性质和基本方法结合起来。下面是一常用的方法： 方法3递推法应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具有相

12、同结构的较低阶行列式（比 如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根 据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求 得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。注意用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即 很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。10小题要证如下行列式例3,2003年福州大学研究生入学考试试题第二大题第 式： +PaP0HI01a + PaPHI0Dn = 01a+PIII00 III 1 二：一n 1 J； n 1一证明：Dn=一毛一，其中 a -p（虽然这是一道证明题，但我们可以

13、直接求出其值，从而证之。）分析此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余 的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式 1。从行列式的左上方往右下方看, 即知D-1与D具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。证明：。按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有:Dn=(a+P) Dn 1- aPDn 2这是由D-1和Dn-2表示D的递推关系式。若由上面的递推关系式从 n阶逐阶往 低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n阶行列式，因此，可考虑将其变形为：Dn-： Dn1=D1二-Dn2=一：( Dn1一 工 2)或 Dn

14、-： Dn二 Dn1-二-Dn2=：( DnL Dn 2)现可反复用低阶代替高阶，有：Dn-阻 1=P(Dn 1-血 2)=P 2( Dn 2- Dn 3)= P Dn 3- Dn 4)=|.Bn/(D2 sD1)邛n 2(a +P)2 -aP -a(a + P) = Pn(|(| (1)同样有：Dn-% 1=豆(Dn -PDn 2)=口 2( D02- P D03)1 Dn 3- P Dn 4)=|=an/(D2 PD1) =an 2(a +P)2 -aP -P(ct +P)=otn|川| (2)因此当口 P时n 1 _ 二 n 1由(1) (2)式可解得：Dn a _ P证毕。点评虽然我们

15、从一个行列式中可以看出有低阶的相同的结构，然后得到一递推关系式，但我们不要盲目乱代， 一定要看清这个递推关系式是否可以简化我们的计算，如果不行的话，就要适当地换递推关系式，如本题。方法4 加边法(升阶法)有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的阶行列式较易(列)有一个相方法称为加边法或升阶法。当然，加边后必须是保值的，而且要使所得的高加法适用于某一行计算。要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。n-1个元素的倍数的情况。同的字母外，也可用于其列(行)的元素分别为 加边法的一般做法是：a)1Dna21IIIIIIaina1a11a21IIIIIIIIIana

16、na2nb1b2a11a21HIHIHIanan1IIIannan1IIIannbnHI特殊情况取a1 = a2 = IH = an = 1或当然加法不是随便加一行一列就可以了。那么加法在何时才能应用呢？关键是观察每 行或每列是否有相同的因子。如下题：例4、计算n阶行列式:82,X11X1X2X1X22,X21X1X2X1X2X1X2X1X22,Xn +1分析我们先把主对角线的数都减1，这样我们就可明显地看出第一行为X1与X1,X2,Xn相乘,第二行为X2与X1,X2，,Xn相乘, ,第n行为Xn与X1,X2,，Xn相乘。这样就知道了该行列式每行有相同的因子X1,X2,，4,从而就可考虑此法。

17、解：IIIXn1X1X2IIIXnIIIX1X2(i =1,IH , n)_X110III0IIIX2XnX201III0ri 1 - Xir1Dn1X1X20X21X1X20X2X12,X210XnX1XnX22C1 , XiCi 1(i =1,HI ,n)1Xi2X1X2IIIXni 1010III0001III0nn=17 X2i 1Xn1-Xn 00 III 10001111n书注意在家一定要记住，加边法最在的特点就是要找出每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可利用行列式的性质把绝大部分元素化为零，然后再化为三角形行列式，这样就达到了简化计算的效果。方法5 拆行（列）法由行列式拆项性

18、质知，将已知行列式拆成若干个行列式之积，计算其值，再得原行列 式值，此法称为拆行（列）法。由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可 拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素, 而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式的这一性质，有时较 容易求得行列式的值。例5、南开大学2004年研究生入学考试题第 1大题，要求下列行列式的值：设n阶行列式：a11a12a21a 22川a1nIII a2nan1an2IIIann且满足aj = a/，j =1,2,1 ,n,对任意数b,求n阶行列式“i+b a2+b H

19、I an+ba2i +ba22+b川a?n+b+4+i+i且其中有一个数是b,显然用拆行anl +ban2+bIIIann+b又令A =alla21*an1a12I 11a1na22HIa2nan2 HIann且小= -a,i , j=1, 2,na11+ ba12+ bIIIa1n+ ba11a12+ bina1n+ bba12+bIIIa1 nDn =a21十b*a22+ b4IIIa2n+ bri=a21ia22+ b卜Hla2ni+ b+ba224+ bIIIa2nan1+ ban2+ bIIIann+ ban1an2+ bHlann+ bban2+bIIIann分析该行列式的每个元素

20、都是由两个数的和组成, （列）法。解：+ b+ b+ ba11a12IIIa1 n十banba1 n+ b1a12ina21a22HIa2n+ ba21ba2n+ b+ b1a22in+iA+4414an1an2HIann+ban1bann+ b1an2ina1na2nhFanna11a12IIIa1n0111IIIa1n1a12UIa1na21a22IIIa2na211IIIa2n1a22HIa2n+i+ bb+d+111 +b4an1an2IIIannan11IIIann1an2HIannnnn=1 b A2iIII b Ai =1 bv Ai 1i =1i,j 1:有：A=1,且A=-A

21、即 A* A= E.大由A1 =A一 ，十、1 11.又(A) =(A ) =(A) =-(A)=一A* . . J. A也为反对称矩阵又 Aj(i, j =1,2,IH,n)为 A 的元素.有工Aj =0i=1,j 1n从而知：Dn=1+bAj =1i 4,j 1方法6数学归纳法一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。（数学归纳法的步骤大家都比较熟悉，这里就不再说了）例6证明:2cos I 101 2cos F 101 2cos I+k+100

22、0000III00III00III00_sin(n+1)日:：sin 6III 2cos 日1III 1 2cos 9(sin 二：0)证：当n =1,2时，有:D =2cos1sin(1 1户sin 丁D22cosu112cos usin(2 1)usin1结论显然成立。现假定结论对小于等于即有：n -1时成立。Dnsin( n - 2 1)。Dnsin(n -1 1)u将Dn按第1列展开，得:2cos 81III002cose12cos6HI001Dn =* *4i441q tq, F00III2cos 日1000III12cos 日(nJ.)00III02cosBIII0Fr0IIIr2

23、cosi0III100rr128sln)= 2cosu D -D-2cos6 sin(n-1+1)8 sin(n-2+1* sin 二sin 12cos 1 sinni -sin(n-1户sin2cos 1 sinni -sinn二 cos【cosm sin1sinisinnr cos cosm sinsin 1sin(n 1户sin1故当对n时，等式也成立。得证。接下来介绍一些特殊的行列式计算方法，但却很实用。方法7 析因法如果行列式D中有一些元素是变数 x (或某个参变数) 的多项式，那么可以将行列式 D 当作一个多项式f(x),然后对行列式施行某些变换，求出f(x)的互素的一次因式，使得

24、 f(x)与这些因式的乘积 g(x)只相差一个常数因子 C,根据多项式相等的定义，比较 f(x)与g(x)的 某一项的系数，求出 C值，便可求得D=Cg(x)。那在什么情况下才能用呢？要看行列式中的两行(其中含变数x),若x等于某一数 加时，使得两行相同，根据行列式的性质，可使得 D=0o那么x -a1便是一个一次因式，再 找其他的互异数使得 D=0,即得到与D阶数相同的互素一次因式，那么便可用此法。例7 .兰州大学2004招收攻读硕士研究生考试工试题第四大题第(1)小题。需求如下行列式的值。Dn 1 二a a2x a2FF卜卜FFa2 a3a2 a3III anIII anIi1III an

25、III x分析根据该行列式的特点，当x = ai. i =1,2|,n时，有Dn由=0。但大家认真看一下，该行列式Dn+1是一个 n+1次多项式，而这时我们只找出了n个一次因式x-ai. i =1,21|I,n,那么能否用析因法呢？我们再仔细看一下，每行的元素的和数都是列，现提出公因式样的，为： ai +x,那么我们从第 2列开始到第 n+1列都加到第1 i 4a ai +x,这样行列式的次数就降了一次。从而再考虑析因法。i 1解：n“ aix a1i 1n“ aix xi 4n“ ai xa2i 4an1 4 a2 III anann1 x a2 IIIan44=( ai +x)：:i=11

26、a2a3 IIIanan1a2a3 III xa2 IHa2 IHi Ia3 IHa3 IHn ai xa2i i1a11 x一 一,Dn =:1a21a2a2 IH a2 IHb ha3 IHa3 IHanx显然当：x = ai. i=1,2,|,n 时，Dn书=0又Dn书为n次多项式。二设 Dn+ =C(xa1)(xa2)|(xan)又Dn书中x的最高次项为xn ,系数为1，二C=1, Dn书=(x-a1)(x-a2)lll(x-an)因此得：nDn 1 (C ai x)Dn 1i 1n=0a x)(x-a1)(x-a2)IH(x-an) i 1点评该题显然用析因法是最简便，但大家不要一味

27、地只找使它等于多只能有n个数使它等于0,而行列式又是n+1阶是一个n+1次多项式,0的数，而该最 从而我们想到的就是得用行列式的性质把行列式的次数降低一次，使得原n+1次多项式变为一个一次多项式和一个n次多项式的乘积。进而便可求得其值。凡事要懂得变通，一道题不可能用一种方法就可以马上解得。在析因法中，对于一个n次多项式，当你最多只能找出r个使其行列式为零时，就要把它化为一个n - r次多项式与一个r次多项式的乘积。但一般找出的使其行列式为零的个数与行列式的次数差太多时，不用本法。方法8 .辅助行列式法 辅助行列式法应用条件：行列式各行（列）和相等，且除对角线外其余元素都相同。解题程序：1）在行

28、列式D的各元素中加上一个相同的元素x,使新行列式D*除主对角线外，其余元素均为0;2）计算D*的主对角线各元素的代数余子式Ai （i =1,2,|n）;n3) D =D* -xZ Aj1i.j 1例8 .大连理工大学2004年硕士生入学考试高等代数i3t题，第一大题填空题第2小题需求下列n阶行列式的值。1 1川12-n111M2-n1D n =1*.*+4+2-n1III11解：在Dn的各元素上加上（1）后，则有：00III0 2-n=(-1) 2(1-n)n00III 2-n(Dn)* =.,*pI+rs2-n0III0n(n -4)又An =&1=川=21=(一1) 1-n)nJ,其余的为

29、零。nn(n 二)nDn =(Dn)* Aj =(-1)亍(1-n)n 、A1i,j 1i 1n(n 4)n(n 4)= (T) 2(1 -n)n ,(-1) 2 n (1 -n)nJn(n 4)=(T尸(1-n)n4点评若知道辅助行列式法的解题程序，用此法就可轻松地解出此题。但根据该行列式的特点，我们也可以用加边法，把大部分元素化为零，再化为三角形行列式也可轻易解出该 行列式。以下几种方法是利用到公式，所以有的方法在这只简单地给出其应用，只要记住公式, 会应用就行。方法9利用拉普拉斯定理拉普拉斯定理的四种特殊情形：151)Ann0 = A BA AAnn BmmCmnBmm22 A；CnmT

30、4旧0 Bmm3)0BmmAnnCmn= (-i)mn AnBmm4)CB,nmmmAn0= (-1)mn AnBmmaot例9计算n阶行列式：1a IIIP IIIb P P P HI ct 解：a a a a III ab 口 a -P P HI P(i =2, n -1)nDn0P-aa 0 HI 0/口+ 一/匕*1,+r+九 (n -1)ab +(n-2)心0 IH0- HI0IM 一 (n_2)x(n_2)0000IIIa-P(n-1)aaaIIIb口 +(n -2)PPPIIIC2 十Ci00CC - P0III(i=3|n)000ct _ PIIIaP00利用拉普拉斯定理= p

31、：+；(n -2) - -ab(n-1) ： - -)n方法10.利用范德蒙行列式范德蒙行列式:DnDn1111XiX2X3xn2222XiX2X3xnnnJ.n An AXiX2X3xn(a-n+ 1尸(a-n +2产(a-n十1)1(a-n+2)n/9例10计算n阶行列式=.(xi- xj )1 j ：i m-BA| = ZnJm|ZEm-BA 得证。那么对于A,B分别是nxm和mxn矩阵，九#0能否得到：En AB =1 Em BA证:答案是肯定的。-A En 0 二 En AB -AEm -B Em _0 Em.有：1n A#En+ABBEm又件n -A/En，二件 103 日儿Emj

32、 lBEnBEm.1 1 人= %En BA+Em En AB yn m Em - BA即得：对A, B分别为nxm和mn矩阵，九00时，有：En二AB 二卜总午BA则当九=1 时，有：|En+AB1 = Em+BA.引理得证。例11. 2003年全国硕士研究生入学考试数学试卷三第九题的解答中需要计算如下行列式的 值。解：令矩阵a +ba2a3HIana1a2 +ba3manDn=a1a2出十bIIIan*41a31-a1a2a3w%+ba1 +ba2a3IIIana1a2 +ba3ana1a2c%+bIIIanA 二III+baia2ana3a3则可得:A=bEn +3a1a1aia2a3a

33、3a3a3a3III= bEn(& ,a2,anIIIannbEnBn n其中Bn 1 = 1 1T1, C1 n = a1 ,a2 ,III,an那么根据上面所提到的引理可得:Dn =bEn BC =bn,b C1nBn1又 C1；nBn X =(a1 , a2 , HI , an )1)n，可得：Dn =bn* a +b)i 1方法12利用方阵特征值与行列式的关系。5.1也以例11为例a ba2a3川an解:Mna1a2 +b a3 IIIan=Aa2as+bIIIan:a3：Aa2a3IIIan+ba % a %=bEn + a 氏4a %出 III ana3 III ana3 HI a

34、n =bEna3生川an显然bEn的n个特征值为b, b,111, b。An的n个特征值为z a,0,0,|,0。i 1n故M n的特征值为 b + a,&bIL,.b由矩阵特征值与对应行列式的关系知：T nlnDn =Mn =bnr ai b)i卫注Mn的特征值也可由特征值的定义得到。点评本题行列式比较特殊，可以用到此方法，对于其他的行列式，本方法一般不适用，在 这仅给出做此方法参考。问题的推广例11中，主对角线上的元素为 a +b(i =1,2,5，n),那么我们使得主对角线上的元素为n个任意数，可得下列一般的行列式:113.17.1Dn,1a 2a 3IIIa112a 3ina1a2,

35、3m*411a1a2a3ina1a2a3inla h分析ai, a2 JU,an上面我们已经介绍了多种方法，根据这题行列式的特点，每行都有相同的因子,所以本题适用加边法。(本题有多种解法，据上分析，仅以加边法推出。解:aiTaia2a3IIIana2a3Wan12a3an0 ai0 a1a?a3a2a3a2a3IIIan00III02 -a20III040-0m卜000n ai1 a1-1 入一a1(i =2,|,n)-10-10-10a1a 2a 3aianG +c-4 -ai(i =2,M, n)1 - a 10IIIIII0n -an(n 1)n a nnn二(1 ).11(i -a)

36、= ： ( i -a) ai. ： ( j -aj)i h i -ai i 七i Z1j =1jH特别地，当?=ai+b 时(i =1,2,|, n) nnDn =Z bn-+bn =bn，(b +Z ai)与例 11 的答案一致。 i 1i 以上总共给出了计算行列式的12种方法，其中一些是常见的些是最基本的方法，还有一些是特殊但很实用的方法。在课外书中还有其他的一些方法，如：极限法、换元法、导数 法、差分法、积分法等，但这些方法用处不多，所以不加以介绍。本人认为只要理解和掌握以上12种方法，不管哪种行列式计算，都可以迎刃而解。而且一个题目有时候要由多种解法并用，或一个题可由多种方法独自解出，这就需看大家的灵活应用程度，能否找出一个最简便的方法解出其值。参考文献：1、李师正等高等代数复习解题方法与技巧高等教育出版社20052、张贤科许甫华高等代数学清华大学出版社20003、刘学鹏等高等代数复习与研究南海出版公司 19954、张禾瑞郝金丙新高等代数高等教育出版社19935、许甫华张贤科高等代数解题方法清华大学出版社20016、北大数学系高等代数高等教育出版社19887、李永乐研究生入学考试线性代数北京大学出版社20008、张敬和等数学二考研题典丛书东北大学出版社2004.39、张永曙考研数学应试强化辅导与解题指南西北工业大学出版社1999.510、各高校历年研究生入学考试试卷